5-многогранник - 5-polytope
 5-симплекс (гексатерон) |
 5-ортоплекс , 2 11 (Пентакросс) |
 5-куб (Пентеракт) |
 Расширенный 5-симплексный |
 Ректифицированный 5-ортоплекс |
 5-полукуб . 1 21 (Демипентеракт) |
В пятимерной геометрии , A пятимерного многогранник или 5-многогранник представляет собой 5-мерный многогранник , ограниченный (4-многогранника) грани. Каждая полиэдральная ячейка делится ровно на две грани 4-многогранника .
Определение
5-многогранник - это замкнутая пятимерная фигура с вершинами , ребрами , гранями , ячейками и 4-гранями . Вершина - это точка, в которой встречаются пять или более ребер. Ребро - это отрезок линии, на котором встречаются четыре или более граней, а грань - это многоугольник, на котором встречаются три или более ячеек. Клетка - это многогранник , а 4-грань - это 4-многогранник . Кроме того, должны быть соблюдены следующие требования:
- Каждая ячейка должна соединяться ровно с двумя 4-гранями.
- Соседние 4-грани не находятся в одной и той же четырехмерной гиперплоскости .
- Фигурка не является составной частью других фигур, отвечающих требованиям.
Характеристики
Топология любого заданного 5-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения .
Значение характеристики Эйлера, используемой для характеристики многогранников, бесполезно обобщается на более высокие измерения, независимо от их базовой топологии. Эта неадекватность характеристики Эйлера для надежного различения различных топологий в более высоких измерениях привела к открытию более сложных чисел Бетти.
Точно так же понятие ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики скручивания поверхности тороидальных многогранников, и это привело к использованию коэффициентов кручения.
Классификация
5-многогранники можно классифицировать на основе таких свойств, как « выпуклость » и « симметрия ».
- 5-многогранник является выпуклым, если его граница (включая его ячейки, грани и ребра) не пересекается с самим собой, а отрезок прямой, соединяющий любые две точки 5-многогранника, содержится в 5-многограннике или его внутренности; в противном случае он невыпуклый . Самопересекающиеся 5-многогранники также известны как звездные многогранники по аналогии со звездообразными формами невыпуклых многогранников Кеплера-Пуансо .
- Равномерная 5-многогранник имеет группу симметрии , при которых все вершины эквивалентны, и его грани являются равномерные 4-многогранники . Грани однородного многогранника должны быть правильными .
- Полуправильный 5-многогранник содержит два или более типов регулярных 4-многогранника граней. Есть только одна такая фигура, называемая полувзаимодействием .
- Регулярный 5-многогранник имеет всю одинаковую регулярную 4-многогранник грань. Все правильные 5-многогранники выпуклы.
- Призматические 5-многогранник построена по декартово произведение из двух нижних одномерных многогранников. Призматический 5-многогранник однороден, если его множители однородны. Гиперкуба является призматическим (произведением а квадрат и в куб ), но рассматривается отдельно , поскольку она имеет отличные от тех , унаследованных от его факторов симметрий.
- 4-пространства тесселяция является разделением четырехмерного евклидова пространства в регулярную сетку polychoral граней. Строго говоря, тесселяции не являются многогранниками, поскольку они не ограничивают объем «5D», но мы включаем их сюда для полноты картины, потому что они во многом похожи на многогранники. Равномерное пространство 4-тесселяция является одной вершины которого связаны с пространственной группой и чьи грани являются равномерными 4-многогранники.
Правильные 5-многогранники
Правильные 5-многогранники могут быть представлены символом Шлефли {p, q, r, s} с s {p, q, r} полихоральными гранями вокруг каждой грани .
Таких выпуклых правильных 5-многогранников ровно три :
- {3,3,3,3} - 5-симплекс
- {4,3,3,3} - 5 куб.
- {3,3,3,4} - 5-ортоплекс
Для трех выпуклых правильных 5-многогранников и трех полуправильных 5-многогранников их элементами являются:
| Имя |
Символ (ы) Шлефли |
Диаграмма (ы) Кокстера |
Вершины | Края | Лица | Клетки | 4-гранный | Симметрия ( порядок ) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5-симплекс | {3,3,3,3} |    |
6 | 15 | 20 | 15 | 6 | А 5 , (120) |
| 5-куб | {4,3,3,3} |  |
32 | 80 | 80 | 40 | 10 | ВС 5 , (3820) |
| 5-ортоплекс | {3,3,3,4} {3,3,3 1,1 } |
 
|
10 | 40 | 80 | 80 | 32 |
ВС 5 , (3840) 2 × Д 5 |
Равномерные 5-многогранники
Для трех полуправильных 5-многогранников их элементами являются:
| Имя |
Символ (ы) Шлефли |
Диаграмма (ы) Кокстера |
Вершины | Края | Лица | Клетки | 4-гранный | Симметрия ( порядок ) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Расширенный 5-симплексный | т 0,4 {3,3,3,3} | |
30 | 120 | 210 | 180 | 162 | 2 × А 5 , (240) |
| 5-полукуб | {3,3 2,1 } ч {4,3,3,3} |
  
|
16 | 80 | 160 | 120 | 26 год | D 5 , (1920) ½BC 5 |
| Ректифицированный 5-ортоплекс | т 1 {3,3,3,4} т 1 {3,3,3 1,1 } |
|
40 | 240 | 400 | 240 | 42 | ВС 5 , (3840) 2 × Д 5 |
Расширен 5-симплекс является вершиной фигуры из равномерной 5-симплекс соты ,
. 5-demicube соты ,фигура вершины - выпрямленный 5-ортоплекс, а грани - 5-ортоплекс и 5-полукуб .
Пирамиды
Пирамидальный 5-многогранники, или 5-пирамиды , могут быть получены с помощью 4-многогранника базы в 4-пространстве гиперплоскость , подключенный к точке выключения гиперплоскости. 5-симплекс - это простейший пример с 4-симплексным основанием.
Смотрите также
использованная литература
- Т. Госсет : О правильных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Macmillan, 1900
- А. Буль Стотт : Геометрический вывод полуправильных из регулярных многогранников и заполнений пространства , Верханделинген из академии Koninklijke van Wetenschappen, единица ширины Амстердам, Eerste Sectie 11,1, Амстердам, 1910 г.
-
HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins и JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954.
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973.
-
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995,
ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 22) HSM Кокстер, Регулярные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Клитцинг, Ричард. «5D однородные многогранники (политеры)» .
внешние ссылки
- Многогранники разных измерений , Джонатан Бауэрс
- Uniform Polytera , Джонатан Бауэрс
- Многомерный глоссарий , Гарретт Джонс