Число Бетти - Betti number

В алгебраической топологии , то числа Бетти используется для различения топологических пространств на основе связности п - мерных симплициальных комплексах . Для наиболее разумных конечномерных пространств (таких как компактные многообразия , конечные симплициальные комплексы или комплексы CW ) последовательность чисел Бетти с некоторой точки и далее равна 0 (числа Бетти обращаются в нуль выше размерности пространства), и все они конечны. .

П - ^го числа Бетти представляет ранг п - ^й группу гомологии , обозначается H _п , который говорит нам максимальное число сокращений , которые могут быть сделаны перед отделением поверхности на две части или 0-циклы, 1-циклы и т.д. Для например, если тогда , если тогда , если тогда , если тогда и т. д. Обратите внимание, что рассматриваются только ранги бесконечных групп, так, например, если , где - конечная циклическая группа порядка 2, то . Эти конечные компоненты групп гомологий являются их подгруппами кручения и обозначаются коэффициентами кручения . ${\ Displaystyle H_ {п} (X) \ cong 0}$${\ displaystyle b_ {n} (X) = 0}$${\ Displaystyle Н_ {п} (Х) \ конг \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle b_ {n} (X) = 1}$${\ Displaystyle Н_ {п} (Х) \ cong \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle b_ {n} (X) = 2}$${\ Displaystyle Н_ {п} (Х) \ cong \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle b_ {n} (X) = 3}$${\ Displaystyle Н_ {п} (Х) \ cong \ mathbb {Z} ^ {k} \ oplus \ mathbb {Z} / (2)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / (2)}$${\ displaystyle b_ {n} (X) = k}$

Термин «числа Бетти» был придуман Анри Пуанкаре после Энрико Бетти . Современная формулировка принадлежит Эмми Нётер . Сегодня числа Бетти используются в таких областях, как симплициальная гомология , информатика , цифровые изображения и т. Д.

Геометрическая интерпретация

Для тора первое число Бетти b ₁ = 2, которое интуитивно можно представить как количество круглых «дырок».

Неформально k- е число Бетти относится к количеству k -мерных дыр на топологической поверхности. « K- мерная дыра » - это k- мерный цикл, который не является границей ( k +1) -мерного объекта.

Первые несколько чисел Бетти имеют следующие определения для 0-мерных, 1-мерных и 2-мерных симплициальных комплексов :

• b ₀ - количество связанных компонентов;
• b ₁ - количество одномерных или «круглых» отверстий;
• b ₂ - количество двумерных «пустот» или «полостей».

Таким образом, например, тор имеет один компонент связанной поверхности, поэтому b ₀ = 1, два «круглых» отверстия (одно экваториальное и одно меридиональное ), поэтому b ₁ = 2, и единственная полость, заключенная внутри поверхности, так что b ₂ = 1.

Другая интерпретация b _k - это максимальное количество k -мерных кривых, которые можно удалить, пока объект остается соединенным. Например, тор остается связным после удаления двух одномерных кривых (экваториальной и меридиональной), поэтому b ₁ = 2.

Двумерные числа Бетти легче понять, потому что мы видим мир в 0, 1, 2 и 3 измерениях; однако последующие числа Бетти имеют более высокое измерение, чем кажущееся физическое пространство.

Формальное определение

Для неотрицательного целого числа  к , то к - го числа Бетти Ь _к ( Х ) пространства X определяется как ранг (число линейно независимых генераторов) от абелева группа Н _к ( Х ), в к - й группе гомологии из  X . К - й группы гомологии является , то s являются граничными картами симплициальная комплекса и рангом H _к , является к - е числа Бетти. Эквивалентно, можно определить его в качестве векторного пространства размерности из Н _к ( Х ;  Q ) , так как группа гомологии в этом случае является векторным пространством над  Q . Теорема об универсальных коэффициентах в очень простом случае без кручения показывает, что эти определения одинаковы. ${\ displaystyle H_ {k} = \ ker \ delta _ {k} / \ mathrm {Im} \ delta _ {k + 1}}$${\ displaystyle \ delta _ {k}}$

В более общем смысле, учитывая поле F, можно определить b _k ( X ,  F ), k- е число Бетти с коэффициентами в F , как размерность векторного пространства H _k ( X ,  F ).

Многочлен Пуанкаре

Пуанкаре полиномом поверхности определяется , чтобы быть производящая функция его чисел Бетти. Например, числа Бетти тора - 1, 2 и 1; таким образом, его многочлен Пуанкаре равен . То же определение применимо к любому топологическому пространству, имеющему конечно порожденные гомологии. ${\ displaystyle 1 + 2x + x ^ {2}}$

Учитывая топологическое пространство, которое имеет конечно порожденные гомологии, многочлен Пуанкаре определяется как производящая функция его чисел Бетти через многочлен, где коэффициент равен . ${\ Displaystyle х ^ {п}}$${\ displaystyle b_ {n}}$

Примеры

Числа Бетти на графике

Рассмотрим топологический граф G , в котором множество вершин V , множество ребер Е , а множество компонент связности С . Как объясняется на странице о гомологиях графа , его группы гомологий задаются следующим образом:

${\ displaystyle H_ {k} (G) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} ^ {| C |} & k = 0 \\\ mathbb {Z} ^ {| E | + | C | - | V |} & k = 1 \\\ {0 \} & {\ text {иначе}} \ end {case}}}$

Это можно напрямую доказать с помощью математической индукции по количеству ребер. Новое ребро либо увеличивает количество 1-циклов, либо уменьшает количество связанных компонентов.

Следовательно, «нулевое» число Бетти b ₀ ( G ) равно | C | - это просто количество связанных компонентов.

Первое число Бетти b ₁ ( G ) равно | E | + | C | - | V |, Его также называют цикломатическим числом - термин, введенный Густавом Кирхгофом перед статьей Бетти. См. Цикломатическую сложность приложения к разработке программного обеспечения .

Все остальные числа Бетти равны 0.

Числа Бетти симплициального комплекса

Рассмотрим симплициальный комплекс с 0-симплексами: a, b, c и d, 1-симплексами: E, F, G, H и I, и единственным 2-симплексом является J, заштрихованная область на рисунке. Ясно, что на этом рисунке ( b ₀ ) есть одна связная компонента ; одно отверстие, которое является незакрашенной областью ( b ₁ ); и никаких «пустот» или «полостей» ( b ₂ ).

Это означает, что ранг равен 1, ранг равен 1, а ранг равен 0. ${\ displaystyle H_ {0}}$${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {2}}$

Последовательность чисел Бетти для этого рисунка - 1, 1, 0, 0, ...; многочлен Пуанкаре равен . ${\ Displaystyle 1 + х \,}$

Числа Бетти проективной плоскости

Группы гомологии проективной плоскости P :

${\ displaystyle H_ {k} (P) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & k = 0 \\\ mathbb {Z} _ {2} & k = 1 \\\ {0 \} & {\ text {в противном случае}} \ end {case}}}$

Здесь Z ₂ - циклическая группа порядка 2. 0-е число Бетти снова равно 1. Однако 1-е число Бетти равно 0. Это потому, что H ₁ ( P ) - конечная группа - у нее нет любой бесконечный компонент. Конечная компонента группы, называется коэффициентом кручения в Р . (Рациональные) числа Бетти b _k ( X ) не учитывают кручение в группах гомологий, но они являются очень полезными базовыми топологическими инвариантами. Проще говоря, они позволяют подсчитывать количество отверстий разного размера.

Характеристики

Эйлерова характеристика

Для конечного CW-комплекса K имеем

${\ Displaystyle \ чи (К) = \ сумма _ {я = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {я} b_ {я} (К, F), \,}$

где обозначает эйлерову характеристику из K и любого поля  F . ${\ Displaystyle \ чи (К)}$

Декартово произведение

Для любых двух пространств X и Y имеем

${\ Displaystyle P_ {X \ times Y} = P_ {X} P_ {Y},}$

где обозначает многочлен Пуанкаре от X (в более общем смысле, ряд Гильберта – Пуанкаре для бесконечномерных пространств), т. е. производящую функцию чисел Бетти пространства X : ${\ Displaystyle P_ {X}}$

${\ Displaystyle P_ {X} (z) = b_ {0} (X) + b_ {1} (X) z + b_ {2} (X) z ^ {2} + \ cdots, \, \!}$

см. теорему Кюннета .

Симметрия

Если X - n -мерное многообразие, симметрия меняется местами и для любого : ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle nk}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle b_ {k} (X) = b_ {nk} (X),}$

при условиях (а закрытое и ориентированное многообразие); см. двойственность Пуанкаре .

Разные коэффициенты

Зависимость от поля F только через его характеристику . Если группы гомологии без кручения , число Бетти не зависит от F . Связь p -кручения и числа Бетти для характеристики  p , когда p - простое число, подробно описывается теоремой об универсальных коэффициентах (основанной на функторах Tor , но в простом случае).

Еще примеры

1. Последовательность чисел Бетти для круга - 1, 1, 0, 0, 0, ...;

   многочлен Пуанкаре равен

   ${\ Displaystyle 1 + х \,}$.

2. Последовательность чисел Бетти для три- тора : 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, ....

   многочлен Пуанкаре равен

   ${\ Displaystyle (1 + х) ^ {3} = 1 + 3x + 3x ^ {2} + х ^ {3} \,}$.

3. Аналогично, для п - тора ,

   многочлен Пуанкаре равен

   ${\ Displaystyle (1 + х) ^ {п} \,}$(по теореме Кюннета ), поэтому числа Бетти являются биномиальными коэффициентами .

Для пространств, которые по существу являются бесконечномерными, может быть бесконечная последовательность ненулевых чисел Бетти. Примером может служить бесконечномерное комплексное проективное пространство с последовательностью 1, 0, 1, 0, 1, ..., которое является периодическим, с периодом 2. В этом случае функция Пуанкаре не полином, а бесконечный ряд.

${\ Displaystyle 1 + х ^ {2} + х ^ {4} + \ dotsb}$,

который, будучи геометрическим рядом, может быть выражен как рациональная функция

${\ displaystyle {\ frac {1} {1-x ^ {2}}}.}$

В более общем смысле, любая периодическая последовательность может быть выражена как сумма геометрических рядов, обобщающих вышеизложенное (например, имеет производящую функцию ${\ displaystyle a, b, c, a, b, c, \ dots,}$

${\ displaystyle \ left (a + bx + cx ^ {2} \ right) / \ left (1-x ^ {3} \ right) \,}$

и в более общем смысле линейные рекурсивные последовательности - это в точности последовательности, порожденные рациональными функциями ; таким образом, ряд Пуанкаре выражается как рациональная функция тогда и только тогда, когда последовательность чисел Бетти является линейной рекурсивной последовательностью.

Многочлены Пуанкаре компактных простых групп Ли :

${\ Displaystyle {\ begin {align} P_ {SU (n + 1)} (x) & = \ left (1 + x ^ {3} \ right) \ left (1 + x ^ {5} \ right) \ cdots \ left (1 + x ^ {2n + 1} \ right) \\ P_ {SO (2n + 1)} (x) & = \ left (1 + x ^ {3} \ right) \ left (1+ x ^ {7} \ right) \ cdots \ left (1 + x ^ {4n-1} \ right) \\ P_ {Sp (n)} (x) & = \ left (1 + x ^ {3} \ вправо) \ влево (1 + x ^ {7} \ right) \ cdots \ left (1 + x ^ {4n-1} \ right) \\ P_ {SO (2n)} (x) & = \ left (1 + x ^ {2n-1} \ right) \ left (1 + x ^ {3} \ right) \ left (1 + x ^ {7} \ right) \ cdots \ left (1 + x ^ {4n-5 } \ right) \\ P_ {G_ {2}} (x) & = \ left (1 + x ^ {3} \ right) \ left (1 + x ^ {11} \ right) \\ P_ {F_ { 4}} (x) & = \ left (1 + x ^ {3} \ right) \ left (1 + x ^ {11} \ right) \ left (1 + x ^ {15} \ right) \ left ( 1 + x ^ {23} \ right) \\ P_ {E_ {6}} (x) & = \ left (1 + x ^ {3} \ right) \ left (1 + x ^ {9} \ right) \ left (1 + x ^ {11} \ right) \ left (1 + x ^ {15} \ right) \ left (1 + x ^ {17} \ right) \ left (1 + x ^ {23} \ справа) \\ P_ {E_ {7}} (x) & = \ left (1 + x ^ {3} \ right) \ left (1 + x ^ {11} \ right) \ left (1 + x ^ { 15} \ right) \ left (1 + x ^ {19} \ right) \ left (1 + x ^ {23} \ right) \ left (1 + x ^ {27} \ right) \ left (1 + x ^ {35} \ right) \\ P_ {E_ {8}} (x) & = \ left (1 + x ^ {3} \ right) \ left (1 + x ^ {15} \ right) \ left ( 1 + x ^ {23} \ right) \ left (1 + x ^ {27} \ right) \ left (1 + x ^ {35} \ right) \ left (1 + x ^ {39} \ right ) \ left (1 + x ^ {47} \ right) \ left (1 + x ^ {59} \ right) \ end {align}}}$

Связь с размерностями пространств дифференциальных форм

В геометрических ситуациях, когда это замкнутое многообразие , важность чисел Бетти может проистекать из другого направления, а именно, что они предсказывают размерности векторных пространств замкнутых дифференциальных форм по модулю точных дифференциальных форм . Связь с приведенным выше определением осуществляется через три основных результата : теорему де Рама и двойственность Пуанкаре (если они применимы) и теорему об универсальных коэффициентах теории гомологий . ${\ displaystyle X}$

Существует альтернативное прочтение, а именно, что числа Бетти дают размеры пространств гармонических форм . Это требует также использования некоторых результатов теории Ходжа о лапласиане Ходжа .

В этой обстановке, теория Морса дает множество неравенств для чередующейся суммы чисел Бетти в терминах соответствующей переменной суммы числа критических точек одного функции Морса данного индекса : ${\ displaystyle N_ {i}}$

${\ displaystyle b_ {i} (X) -b_ {i-1} (X) + \ cdots \ leq N_ {i} -N_ {i-1} + \ cdots.}$

Эдвард Виттен дал объяснение этим неравенствам, используя функцию Морса для модификации внешней производной в комплексе де Рама .

Смотрите также

• Топологический анализ данных
• Коэффициент кручения

использованная литература

• Уорнер, Фрэнк Уилсон (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Нью-Йорк: Спрингер, ISBN 0-387-90894-3.
• Роу, Джон (1998), Эллиптические операторы, топология и асимптотические методы , Research Notes in Mathematics Series, 395 (второе издание), Boca Raton, FL: Chapman and Hall, ISBN 0-582-32502-1.