Космическая группа - Space group

Пространственная группа гексагонального льда H 2 O равна P6 3 / mmc . Первый m указывает плоскость зеркала, перпендикулярную оси c (a), второй m указывает плоскости зеркала, параллельные оси c (b), а c указывает плоскости скольжения (b) и (c). Черные квадраты очерчивают элементарную ячейку.

В математике , физике и химии , А пространственная группа является группой симметрии объекта в пространстве, как правило , в трех измерениях . Элементы пространственной группы (ее операции симметрии ) - это жесткие преобразования объекта, которые оставляют его неизменным. В трех измерениях пространственные группы подразделяются на 219 различных типов или 230 типов, если хиральные копии считаются отдельными. Космические группы представляют собой дискретные кокомпактные группы из изометрии ориентированного евклидова пространства в любом числе измерений. В измерениях, отличных от 3, их иногда называют группами Бибербаха .

В кристаллографии пространственные группы также называются кристаллографическими или федоровскими группами и представляют собой описание симметрии кристалла. Окончательный источник, касающийся трехмерных пространственных групп, - это Международные таблицы кристаллографии Хана (2002) .

История

Космические группы в 2 измерениях - это 17 групп обоев, которые были известны на протяжении нескольких столетий, хотя доказательство того, что список был полным, было дано только в 1891 году, после того, как была в основном завершена гораздо более сложная классификация космических групп.

В 1879 году немецкий математик Леонард Зонке перечислил 65 пространственных групп (так называемых групп Зонке), элементы которых сохраняют киральность . Точнее, он перечислил 66 групп, но и русский математик и кристаллограф Евграф Федоров, и немецкий математик Артур Мориц Шенфлис заметили, что две из них действительно совпадают. Пространственные группы в трех измерениях были впервые перечислены в 1891 году Федоровым (в чьем списке было два пропусков (I 4 3d и Fdd2) и одно дублирование (Fmm2)), а вскоре после этого в 1891 году были независимо перечислены Шенфлисом (в чьем списке было четыре пропусков). (I 4 3d, Pc, Cc,?) И одна дупликация (P 4 2 1 m)). Правильный список 230 космических групп был найден к 1892 году во время переписки между Федоровым и Шенфлисом. Барлоу  ( 1894 ) позже перечислил группы другим методом, но пропустил четыре группы (Fdd2, I 4 2d, P 4 2 1 d и P 4 2 1 c), хотя у него уже был правильный список из 230 групп от Федорова. и Schönflies; распространенное утверждение, что Барлоу не знал об их работе, неверно. Буркхардт (1967) подробно описывает историю открытия космических групп.

Элементы

Пространственные группы в трех измерениях состоят из комбинаций 32 кристаллографических точечных групп с 14 решетками Браве , каждая из которых принадлежит одной из 7 систем решеток . Это означает, что действие любого элемента данной пространственной группы может быть выражено как действие элемента соответствующей точечной группы, за которым, возможно, следует перевод. Таким образом, пространственная группа представляет собой некоторую комбинацию трансляционной симметрии элементарной ячейки (включая центрирование решетки ), операций точечной групповой симметрии отражения , вращения и неправильного вращения (также называемых ротационной инверсией), а также операций симметрии оси винта и плоскости скольжения . Комбинация всех этих операций симметрии дает в общей сложности 230 различных пространственных групп, описывающих все возможные симметрии кристаллов.

Элементы, фиксирующие точку

Элементами пространственной группы, фиксирующими точку пространства, являются элемент тождества, отражения, вращения и неправильные вращения .

Переводы

Переводы образуют нормальную абелеву подгруппу ранга 3, называемую решеткой Браве. Существует 14 возможных типов решетки Браве. Фактор пространственной группы решетка Бравы является конечной группой , которая является одним из 32 возможных групп точечных .

Планирующие самолеты

Плоскость скольжения является отражение в плоскости, за которым следует перевод параллельно с этой плоскостью. Это обозначается , или , в зависимости от того, по какой оси идет скольжение. Есть также скольжение, которое представляет собой скольжение по половине диагонали грани, и скольжение, которое составляет четверть пути по диагонали грани или пространственной диагонали элементарной ячейки. Последний называется плоскостью скольжения алмаза, поскольку он присутствует в структуре алмаза . В 17 космических группах из-за центрирования ячейки скольжения происходят одновременно в двух перпендикулярных направлениях, т.е. одна и та же плоскость скольжения может называться b или c , a или b , a или c . Например, группа Abm2 также может называться Acm2, группа Ccca может называться Cccb. В 1992 году для таких самолетов было предложено использовать символ e . Изменены символы для пяти пространственных групп:

Космическая группа № 39 41 год 64 67 68
Новый символ Aem2 Aea2 Cmce Смм Ccce
Старый символ Abm2 Aba2 CMCA CMMA Ccca

Винтовые оси

Ось винта является вращением вокруг оси, с последующим переносом вдоль направления оси. Они отмечены числом n для описания степени вращения, где число показывает, сколько операций должно быть выполнено для завершения полного вращения (например, 3 будет означать поворот на одну треть пути вокруг оси каждый раз). . Затем степень смещения добавляется в виде нижнего индекса, показывающего, как далеко по оси находится смещение, как часть вектора параллельной решетки. Итак, 2 1 - это двукратный поворот, за которым следует перенос 1/2 вектора решетки.

Общая формула

Общая формула действия элемента пространственной группы такова:

у = М . х + D

где M - его матрица, D - его вектор, и где элемент преобразует точку x в точку y . В общем, D = D ( решетка ) + D ( M ), где D ( M ) - единственная функция от M, которая равна нулю, если M является единицей. Матрицы M образуют точечную группу, которая является базисом пространственной группы; решетка должна быть симметричной относительно этой точечной группы, но сама кристаллическая структура не может быть симметричной относительно этой точечной группы применительно к какой-либо конкретной точке (то есть без трансляции). Например, кубическая структура алмаза не имеет точки, в которой применяется кубическая точечная группа .

Размер решетки может быть меньше, чем общий размер, что приводит к «субпериодической» пространственной группе. Для (габаритный размер, размер решетки):

Обозначение

Существует как минимум десять способов присвоения имен пространственным группам. Некоторые из этих методов могут назначать несколько разных имен одной и той же пространственной группе, поэтому в целом существует много тысяч разных имен.

Число
Международный союз кристаллографии публикует таблицы всех типов пространственных групп и присваивает каждой из них уникальный номер от 1 до 230. Нумерация произвольная, за исключением того, что группам с одинаковой кристаллической системой или точечной группой даются последовательные номера.
Обозначение международного символа
Обозначения Германа – Могена
Обозначение Германа – Могена (или международное) описывает решетку и некоторые образующие группы. Он имеет сокращенную форму, называемую международным коротким символом , который наиболее часто используется в кристаллографии и обычно состоит из четырех символов. Первый описывает центрирование решетки Браве ( P , A , C , I , R или F ). Следующие три описывают наиболее заметную операцию симметрии, видимую при проецировании вдоль одного из направлений высокой симметрии кристалла. Эти символы такие же, как и в группах точек , с добавлением плоскостей скольжения и оси винта, описанных выше. В качестве примера, пространственная группа кварца - P3 1 21, показывая, что он демонстрирует примитивное центрирование мотива (то есть один раз на элементарную ячейку) с осью винта тройного порядка и осью двойного вращения. Обратите внимание, что он явно не содержит кристаллическую систему , хотя она уникальна для каждой пространственной группы (в случае P 3 1 21 она тригональная).
В международном коротком символе первый символ (3 1 в этом примере) обозначает симметрию вдоль большой оси (ось c в тригональных случаях), второй (2 в данном случае) вдоль осей второстепенного значения (a и b) и третий символ - симметрия в другом направлении. В тригональном случае также существует пространственная группа P3 1 12. В этой пространственной группе оси второго порядка расположены не вдоль осей a и b, а в направлении, повернутом на 30 °.
Международные символы и международные короткие символы для некоторых космических групп были незначительно изменены в период с 1935 по 2002 год, поэтому в нескольких космических группах используются 4 разных международных символа.

Направления обзора 7 кристаллических систем показаны ниже.

Положение в символе Триклиник Моноклиника Орторомбический Тетрагональный Тригональный Шестиугольный Кубический
1 - б а c c c а
2 - б а а а [111]
3 - c [110] [210] [210] [110]
Обозначение Холла
Обозначение пространственной группы с явным происхождением. Символы вращения, перемещения и направления оси четко разделены, а центры инверсии явно определены. Конструкция и формат записи делают ее особенно подходящей для компьютерной генерации информации о симметрии. Например, группа номер 3 имеет три символа Холла: P 2y (P 1 2 1), P 2 (P 1 1 2), P 2x (P 2 1 1).
Обозначение Шенфлиса
Пространственные группы с заданной точечной группой нумеруются цифрами 1, 2, 3,… (в том же порядке, что и их международный номер), и этот номер добавляется в качестве надстрочного индекса к символу Шенфлиса для точечной группы. Например, группы с номерами от 3 до 5, точечная группа которых равна C 2, имеют символы Шенфлиса C1
2
, С2
2
, С3
2
.
Обозначения Федорова
Символ Шубникова
Strukturbericht обозначение
Соответствующие обозначения для кристаллических структур с буквой и индексом: A Элементы (одноатомные), B для соединений AB, C для соединений AB 2 , D для соединений A m  B n , ( E , F , ..., K Более сложные соединения ), L Сплавы, O Органические соединения, S Силикаты. Некоторые структурные обозначения имеют одни и те же пространственные группы. Например, пространственная группа 225 - это A 1 , B 1 и C 1 . Пространственная группа 221 - это A h и B 2 . Однако кристаллографы не будут использовать нотацию Strukturbericht для описания пространственной группы, скорее она будет использоваться для описания конкретной кристаллической структуры (например, пространственная группа + атомное расположение (мотив)).
Обозначение орбифолда (2D)
Обозначение фибрифолда (3D)
Как следует из названия, обозначение орбифолда описывает орбифолд, задаваемый фактором евклидова пространства по пространственной группе, а не генераторами пространственной группы. Он был введен Конвеем и Терстоном и почти не используется вне математики. С некоторыми из пространственных групп связано несколько различных слоистых многообразий, поэтому они имеют несколько различных символов слоистых образований.
Обозначение Кокстера
Группы пространственной и точечной симметрии, представленные как модификации чисто отражательных групп Кокстера .
Геометрические обозначения
Геометрическая алгебра нотации.

Системы классификации

Существует (по крайней мере) 10 различных способов классификации космических групп по классам. Отношения между некоторыми из них описаны в следующей таблице. Каждая классификационная система является усовершенствованием нижеследующих. Чтобы понять приведенное здесь объяснение, возможно, потребуется понять следующее.

(Кристаллографические) типы пространственных групп (230 в трех измерениях)
Два пространственные группы, рассматриваемые как подгруппы группы аффинных преобразований пространства, имеют один и тот же тип пространственной группы , если они одинаковы до с аффинного преобразования пространства, сохраняющее ориентацию . Таким образом, например, изменение угла между векторами трансляции не влияет на тип пространственной группы, если оно не добавляет или не удаляет симметрию. Более формальное определение включает сопряжение (см. Группа симметрии ). В трех измерениях для 11 аффинных пространственных групп не существует сохраняющего киральность (т.е. сохраняющего ориентацию) отображения группы на ее зеркальное отображение, поэтому, если выделить группы по их зеркальным изображениям, каждое из них разделится на два случая (например, как P4 1 и P4 3 ). Таким образом, вместо 54 аффинных пространственных групп, сохраняющих киральность, существует 54 + 11 = 65 типов пространственных групп, которые сохраняют киральность ( группы Зонке ). Для большинства киральных кристаллов два энантиоморфа принадлежат одной и той же кристаллографической пространственной группе, такой как P2 1 3 для FeSi , но для других, таких как кварц , они принадлежат к двум энантиоморфным пространственным группам.
Типы аффинных пространственных групп (219 в трех измерениях)
Две пространственные группы, рассматриваемые как подгруппы группы аффинных преобразований пространства, имеют один и тот же тип аффинной пространственной группы, если они одинаковы с точностью до аффинного преобразования, даже если это меняет ориентацию. Тип аффинной пространственной группы определяется базовой абстрактной группой пространственной группы. В трех измерениях пятьдесят четыре типа аффинных пространственных групп сохраняют хиральность и дают хиральные кристаллы. Два энантиоморфа хирального кристалла имеют одну и ту же аффинную пространственную группу.
Классы арифметических кристаллов (73 в трех измерениях)
Иногда их называют Z-классами. Они определяются точечной группой вместе с действием точечной группы на подгруппу переводов. Другими словами, арифметические кристаллические классы соответствуют классам сопряженности конечной подгруппы общей линейной группы GL n ( Z ) над целыми числами. Пространственная группа называется симморфной (или расщепленной ), если существует такая точка, что все симметрии являются продуктом симметрии, фиксирующей эту точку, и сдвига. Эквивалентно, пространственная группа симморфна, если она является полупрямым произведением своей точечной группы с ее подгруппой трансляции. Существует 73 симморфных пространственных группы, по одной в каждом арифметическом кристаллическом классе. Также существует 157 несимморфных пространственных типов групп с различными числами в классах арифметических кристаллов.

Арифметические классы кристаллов можно интерпретировать как разные ориентации точечных групп в решетке, при этом матричные компоненты групповых элементов ограничиваются наличием целочисленных коэффициентов в пространстве решетки. Это довольно легко изобразить в двухмерном корпусе группы обоев . Некоторые из точечных групп имеют отражения, и линии отражения могут проходить вдоль направлений решетки, на полпути между ними или в обоих направлениях.

  • Нет: C 1 : p1; C 2 : p2; C 3 : p3; C 4 : p4; C 6 : p6
  • Вдоль: D 1 : pm, pg; D 2 : pmm, pmg, pgg; D 3 : p31m
  • Между: D 1 : см; D 2 : см; D 3 : p3m1
  • Оба: D 4 : p4m, p4g; Д 6 : п6м
(геометрические) Классы кристаллов (32 в трех измерениях) Стаи Браве (14 в трех измерениях)
Иногда их называют Q-классами. Кристаллический класс пространственной группы определяется ее точечной группой: факторпространством по подгруппе трансляций, действующих на решетке. Две пространственные группы принадлежат к одному и тому же кристаллическому классу тогда и только тогда, когда их точечные группы, которые являются подгруппами GL n ( Z ), сопряжены в большей группе GL n ( Q ). Они определяются основным типом решетки Браве.

Они соответствуют классам сопряженности точечных групп решетки в GL n ( Z ), где точечная группа решетки - это группа симметрий основной решетки, которая фиксирует точку решетки, и содержит точечную группу.

Кристаллические системы (7 в трех измерениях) Решетчатые системы (7 в трех измерениях)
Кристаллические системы представляют собой специальную модификацию решетчатых систем, чтобы сделать их совместимыми с классификацией по точечным группам. Они отличаются от семейств кристаллов тем, что семейство гексагональных кристаллов разделено на два подмножества, называемых тригональными и гексагональными кристаллическими системами. Тригональная кристаллическая система больше, чем система ромбоэдрической решетки, гексагональная кристаллическая система меньше, чем система гексагональной решетки, а остальные кристаллические системы и системы решеток такие же. Решеточная система пространственной группы определяется классом сопряженности точечной группы решетки (подгруппы GL n ( Z )) в большей группе GL n ( Q ). В трех измерениях точечная группа решетки может иметь один из 7 различных порядков 2, 4, 8, 12, 16, 24 или 48. Семейство гексагональных кристаллов разделено на два подмножества, называемых системами ромбоэдрической и гексагональной решеток.
Семейства кристаллов (6 в трех измерениях)
Точечная группа пространственной группы не совсем определяет ее решеточную систему, потому что иногда две пространственные группы с одной и той же точечной группой могут находиться в разных решетчатых системах. Кристаллические семейства формируются из систем решеток путем слияния двух систем решеток всякий раз, когда это происходит, так что кристаллическое семейство пространственной группы определяется либо ее системой решеток, либо ее точечной группой. В трехмерном пространстве единственные два семейства решеток, которые объединяются таким образом, - это гексагональная и ромбоэдрическая системы решеток, которые объединяются в гексагональное кристаллическое семейство. Шесть семейств кристаллов в 3-х измерениях называются триклинными, моноклинными, ромбическими, тетрагональными, гексагональными и кубическими. Семейства кристаллов обычно используются в популярных книгах по кристаллам, где их иногда называют кристаллическими системами.

Конвей , Дельгадо Фридрихс и Хусон и др. ( 2001 ) дал другую классификацию пространственных групп, названную фиброобразной нотацией , в соответствии с фиброобразными структурами на соответствующем орбифолде . Они разделили 219 аффинных пространственных групп на приводимые и неприводимые группы. Приводимые группы делятся на 17 классов, соответствующих 17 группам обоев , а остальные 35 неприводимых групп аналогичны кубическим группам и классифицируются отдельно.

В других измерениях

Теоремы Бибербаха

В n измерениях аффинная пространственная группа или группа Бибербаха - это дискретная подгруппа изометрий n- мерного евклидова пространства с компактной фундаментальной областью. Бибербах ( 1911 , 1912 ) доказал, что подгруппа трансляций любой такой группы содержит n линейно независимых трансляций и является свободной абелевой подгруппой конечного индекса, а также единственной максимальной нормальной абелевой подгруппой. Он также показал, что в любой размерности n существует только конечное число возможностей для класса изоморфизма основной группы пространственной группы, и, более того, действие группы на евклидовом пространстве уникально с точностью до сопряжения посредством аффинных преобразований. Это частично отвечает на восемнадцатую проблему Гильберта . Цассенхауза (1948) показала , что , наоборот любой группу , которая является продолжением Z п конечной группы , действующей добросовестно является аффинным пространством группы. Объединение этих результатов показывает, что классификация пространственных групп в n измерениях с точностью до сопряжения с помощью аффинных преобразований по существу то же самое, что классификация классов изоморфизма для групп, которые являются расширениями Z n с помощью конечной группы, действующей точно.

В теоремах Бибербаха важно предположить, что группа действует как изометрии; теоремы не обобщаются на дискретные кокомпактные группы аффинных преобразований евклидова пространства. Контрпримером является трехмерная группа Гейзенберга целых чисел, действующая посредством переводов на группу Гейзенберга действительных чисел, отождествленную с трехмерным евклидовым пространством. Это дискретная кокомпактная группа аффинных преобразований пространства, но не содержит подгруппы Z 3 .

Классификация по малым размерам

В этой таблице указано количество типов пространственных групп в малых размерах, включая количество различных классов пространственных групп. В скобках указаны номера энантиоморфных пар.

Габаритные размеры Семейства кристаллов, последовательность OEIS A004032 Кристаллические системы, последовательность OEIS A004031 Решетки Браве, последовательность OEIS A256413 Абстрактные кристаллографические точечные группы, последовательность OEIS A006226 Геометрические классы кристаллов, Q-классы, кристаллографические точечные группы, последовательность OEIS A004028 Арифметические классы кристаллов, Z-классы, последовательность OEIS A004027 Типы аффинных пространственных групп, последовательность OEIS A004029 Типы кристаллографических пространственных групп, последовательность OEIS A006227
0 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 2 2 2 2 2
2 4 4 5 9 10 13 17 17
3 6 7 14 18 32 73 219 (+11) 230
4 23 (+6) 33 (+7) 64 (+10) 118 227 (+44) 710 (+70) 4783 (+111) 4894
5 32 59 189 239 955 6079 222018 (+79) 222097
6 91 251 841 1594 7103 85308 (+?) 28927915 (+?) ?

Магнитные группы и обращение времени

Помимо кристаллографических пространственных групп существуют также магнитные пространственные группы (также называемые двухцветными (черно-белыми) кристаллографическими группами или группами Шубникова). Эти симметрии содержат элемент, известный как обращение времени. Они рассматривают время как дополнительное измерение, и элементы группы могут включать обращение времени как отражение в нем. Они важны в магнитных структурах, которые содержат упорядоченные неспаренные спины, то есть ферро- , ферри- или антиферромагнитные структуры, которые исследуются методом дифракции нейтронов . Элемент обращения времени переворачивает магнитное вращение, оставляя при этом всю остальную структуру такой же, и его можно комбинировать с рядом других элементов симметрии. Включая обращение времени, в трехмерном пространстве имеется 1651 магнитная пространственная группа ( Kim 1999 , стр. 428). Также было возможно построить магнитные версии для других габаритных размеров и размеров решетки ( статьи Даниэля Литвина , ( Литвин, 2008 ), ( Литвин, 2005 )). Фризные группы представляют собой группы магнитных одномерных линий, группы слоев - это группы магнитных обоев, а группы осевых трехмерных точек - это группы магнитных двухмерных точек. Количество исходных и магнитных групп по (общему, решетчатому) измерению: ( Palistrant 2012 ) ( Souvignier 2006 )

Общий
размер
Lattice
измерение
Обычные группы Магнитные группы
Имя Условное обозначение Считать Условное обозначение Считать
0 0 Группа нульмерной симметрии 1 2
1 0 Одномерные точечные группы 2 5
1 Одномерные дискретные группы симметрии 2 7
2 0 Двумерные точечные группы 10 31 год
1 Фриз-группы 7 31 год
2 Группы обоев 17 80
3 0 Трехмерные точечные группы 32 122
1 Группы стержней 75 394
2 Группы слоев 80 528
3 Трехмерные пространственные группы 230 1651
4 0 Четырехмерные точечные группы 271 1202
1 343
2 1091
3 1594
4 Четырехмерные дискретные группы симметрии 4894 62227

Таблица пространственных групп в 2-х измерениях (группы обоев)

Таблица групп обоев с использованием классификации трехмерных пространственных групп:

Кристаллическая система ,
решетка Браве
Геометрический класс, точечная группа Арифметический
класс
Группы обоев (сотовая диаграмма)
Schön. Орбифолд Кокс. Ord.
Косой
2d mp.svg
C 1 (1) [] + 1 Никто p1
(1)
Групповая диаграмма обоев p1.svg  
C 2 (22) [2] + 2 Никто p2
(2222)
Групповая диаграмма обоев p2.svg  
Прямоугольный
2d op rectangular.svg
D 1 (*) [] 2 Вместе pm
(**)
Обои групповая диаграмма pm.svg пг
(× ×)
Групповая диаграмма обоев pg.svg
D 2 (* 22) [2] 4 Вместе pmm
(* 2222)
Групповая диаграмма обоев pmm.svg pmg
(22 *)
Обои групповая диаграмма pmg.svg
Прямоугольник по центру
2d oc rectangular.svg
D 1 (*) [] 2 Между см
(* ×)
Групповая диаграмма обоев cm.svg  
D 2 (* 22) [2] 4 Между см
(2 * 22)
Групповая диаграмма обоев cmm.svg пгг
(22 ×)
Групповая диаграмма обоев pgg.svg
Квадрат
2d tp.svg
C 4 (44) [4] + 4 Никто п4
(442)
Обои групповая диаграмма p4 square.svg  
D 4 (* 44) [4] 8 Оба p4m
(* 442)
Обои групповая диаграмма p4m square.svg p4g
(4 * 2)
Групповая диаграмма обоев p4g square.svg
Шестиугольный
2d hp.svg
C 3 (33) [3] + 3 Никто п3
(333)
Групповая диаграмма обоев p3.svg  
D 3 (* 33) [3] 6 Между p3m1
(* 333)
Групповая диаграмма обоев p3m1.svg p31m
(3 * 3)
Обои групповая диаграмма p31m.svg
С 6 (66) [6] + 6 Никто p6
(632)
Групповая диаграмма обоев p6.svg  
D 6 (* 66) [6] 12 Оба p6m
(* 632)
Групповая диаграмма обоев p6m.svg  

Для каждого геометрического класса возможные арифметические классы:

  • Нет: нет линий отражения
  • Вдоль: линии отражения вдоль направлений решетки.
  • Между: отражающие линии на полпути между направлениями решетки.
  • Оба: линии отражения вдоль и между направлениями решетки.

Таблица пространственных групп в 3-х измерениях

# Кристаллическая система ,
(кол),
решетка Браве
Группа точек Космические группы (международный короткий символ)
Int'l Schön. Орбифолд Кокс. Ord.
1 Триклиник
(2)
Triclinic.svg
1 C 1 11 [] + 1 P1
2 1 C i 1 × [ 2+ , 2+ ] 2 П 1
3–5 Моноклиника
(13)
Monoclinic.svgMonoclinic-base-centered.svg
2 C 2 22 [2] + 2 P2, P2 1
C2
6–9 м C s * 11 [] 2 Pm, Pc
Cm, Cc
10–15 2 / м C 2 ч 2 * [2,2 + ] 4 P2 / м, P2 1 / м
C2 / м, P2 / c, P2 1 / c
C2 / c
16–24 Орторомбический
(59)
Orthorhombic.svgОрторомбический-body-centered.svg
Орторомбический-базовый-центрированный.svgОрторомбический-face-centered.svg
222 D 2 222 [2,2] + 4 P222, P222 1 , P2 1 2 1 2, P2 1 2 1 2 1 , C222 1 , C222, F222, I222, I2 1 2 1 2 1
25–46 мм2 C 2v * 22 [2] 4 Pmm2, Pmc2 1 , Pcc2, Pma2, Pca2 1 , Pnc2, Pmn2 1 , Pba2, Pna2 1 , Pnn2
Cmm2, Cmc2 1 , Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2
Fmm2, Fdd2
Imm2, Iba2, Ima2
47–74 М-м-м D * 222 [2,2] 8 Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma
Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm,
Cmme, Ccce
Fmmm, Iddamd, Immm , Имма
75–80 Тетрагональный
(68)
Tetragonal.svg
Tetragonal-body-centered.svg
4 C 4 44 год [4] + 4 P4, P4 1 , P4 2 , P4 3 , I4, I4 1
81–82 4 S 4 2 × [ 2+ , 4+ ] 4 П 4 , Я 4
83–88 4 / м C 4 * [2,4 + ] 8 P4 / м, P4 2 / м, P4 / n, P4 2 / n
I4 / м, I4 1 / а
89–98 422 D 4 224 [2,4] + 8 P422, P42 1 2, P4 1 22, P4 1 2 1 2, P4 2 22, P4 2 2 1 2, P4 3 22, P4 3 2 1 2
I422, I4 1 22
99–110 4мм C 4v * 44 [4] 8 P4mm, P4bm, P4 2 см, P4 2 нм, P4cc, P4nc, P4 2 mc, P4 2 bc
I4mm, I4cm, I4 1 мд, I4 1 кд
111–122 4 2 мес. D 2d 2 * 2 [ 2+ , 4] 8 P 4 2m, P 4 2c, P 4 2 1 m, P 4 2 1 c, P 4 m2, P 4 c2, P 4 b2, P 4 n2
I 4 m2, I 4 c2, I 4 2m, I 4 2d
123–142 4 / ммм Д * 224 [2,4] 16 P4 / mmm, P4 / mcc, P4 / nbm, P4 / nnc, P4 / mbm, P4 / mnc, P4 / nmm, P4 / ncc, P4 2 / mmc, P4 2 / mcm, P4 2 / nbc, P4 2 / ннм, P4 2 / mbc, P4 2 / mnm, P4 2 / nmc, P4 2 / ncm
I4 / mmm, I4 / mcm, I4 1 / amd, I4 1 / acd
143–146 Тригональный
(25)
Шестиугольная решеткаШестиугольная решеткаFRONT.svg
3 C 3 33 [3] + 3 P3, P3 1 , P3 2
R3
147–148 3 S 6 3 × [2 + , 6 + ] 6 P 3 , R 3
149–155 32 D 3 223 [2,3] + 6 P312, P321, P3 1 12, P3 1 21, P3 2 12, P3 2 21
R32
156–161 C 3v * 33 [3] 6 P3m1, P31m, P3c1, P31c
R3m, R3c
162–167 3 мес. D 3d 2 * 3 [ 2+ , 6] 12 P 3 1m, P 3 1c, P 3 m1, P 3 c1
R 3 m, R 3 c
168–173 Шестиугольный
(27)
Шестиугольная решеткаFRONT.svg
6 С 6 66 [6] + 6 P6, P6 1 , P6 5 , P6 2 , P6 4 , P6 3
174 6 C 3 * [2,3 + ] 6 Стр. 6
175–176 6 / м C 6h 6 * [2,6 + ] 12 P6 / м, P6 3 / м
177–182 622 D 6 226 [2,6] + 12 P622, P6 1 22, P6 5 22, P6 2 22, P6 4 22, P6 3 22
183–186 6мм C 6v * 66 [6] 12 P6 мм, P6cc, P6 3 см, P6 3 мс
187–190 6 кв.м. Д * 223 [2,3] 12 P 6 m2, P 6 c2, P 6 2 м, P 6 2c
191–194 6 / ммм Д * 226 [2,6] 24 P6 / mmm, P6 / mcc, P6 3 / mcm, P6 3 / mmc
195–199 Кубический
(36)
Cubic.svg
Cubic-body-centered.svg
Cubic-face-centered.svg
23 Т 332 [3,3] + 12 P23, F23, I23
P2 1 3, I2 1 3
200–206 м 3 Т ч 3 * 2 [ 3+ , 4] 24 Pm 3 , Pn 3 , Fm 3 , Fd 3 , Im 3 , Pa 3 , Ia 3
207–214 432 О 432 [3,4] + 24 P432, P4 2 32
F432, F4 1 32
I432
P4 3 32, P4 1 32, I4 1 32
215–220 4 3 мес. Т д * 332 [3,3] 24 P 4 3 м, F 4 3 м, I 4 3 м
P 4 3n, F 4 3c, I 4 3d
221–230 м 3 м О ч * 432 [3,4] 48 Pm 3 m, Pn 3 n, Pm 3 n, Pn 3 m
Fm 3 m, Fm 3 c, Fd 3 m, Fd 3 c
Im 3 m, Ia 3 d

Примечание: самолет e - это самолет с двойным скольжением, который скользит в двух разных направлениях. Они находятся в семи орторомбических, пяти тетрагональных и пяти кубических пространственных группах, все с центрированной решеткой. Использование символа e стало официальным с Hahn (2002) .

Систему решеток можно найти следующим образом. Если кристаллическая система не тригональная, то решетчатая система однотипна. Если кристаллическая система является тригональной, то система решеток является гексагональной, если пространственная группа не является одной из семи в системе ромбоэдрической решетки, состоящей из 7 тригональных пространственных групп в приведенной выше таблице, имя которых начинается с R. (термин ромбоэдрическая система - также иногда используется как альтернативное название для всей тригональной системы.) Система гексагональной решетки больше, чем гексагональная кристаллическая система, и состоит из гексагональной кристаллической системы вместе с 18 группами тригональной кристаллической системы, кроме семи, названия которых начинаются с Р.

Решетка Браве пространственной группы определяется решетка системы вместе с первой буквой ее имя, которое для не-ромбоэдрической групп Р, I, F, А или С, стоя для основных, тел по центру, гранецентрированный , Решетки с центрированием по A-грани или C-гранью. Всего существует семь ромбоэдрических пространственных групп с начальной буквой R.

Вывод кристаллического класса из пространственной группы

  1. Оставьте тип Bravais
  2. Преобразуйте все элементы симметрии с поступательными компонентами в соответствующие им элементы симметрии без трансляционной симметрии (плоскости скольжения преобразуются в простые зеркальные плоскости; оси винта преобразуются в простые оси вращения)
  3. Оси вращения, оси вращения и плоскости зеркал остаются неизменными.

использованная литература

внешние ссылки