3 ₃₁ соты -3 ₃₁ honeycomb

3 31 соты
(нет изображения)
Тип	Равномерная тесселяция
Символ Шлефли	{3,3,3,3 3,1 }
Символ Кокстера	3 31
Диаграмма Кокстера-Дынкина
7-лицевые типы	3 21 {3 6 }
6-гранные типы	2 21 {3 5 }
5-гранные типы	2 11 {3 4 }
4-гранный тип	{3 3 }
Тип ячейки	{3 2 }
Тип лица	{3}
Фигура лица	0 31
Край фигура	1 31
Фигура вершины	2 31
Группа Коксетера	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}$, [3 3,3,1 ]
Характеристики	вершинно-транзитивный

В 7-мерной геометрии , то 3 ₃₁ сот являются равномерными сотнями, а также задается Шлефл символ {3,3,3,3 ^3,1 } и состоят из 3 ₂₁ и 7-симплексных граней , с 56 и 576 из них соответственно вокруг каждой вершины.

Строительство

Он создан конструкцией Wythoff на наборе из 8 гиперплоскостных зеркал в 7-мерном пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина .

При удалении узла на короткой ветви остается 6-симплексная грань:

Удаление узла на конце 3-х длинной ветви оставляет фасет 3 ₂₁ :

Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это составляет 2 ₃₁ многогранник.

Края фигура определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это делает 6-demicube ( 1 ₃₁ ).

Фигура лица определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это делает выпрямленный 5-симплексный ( 0 ₃₁ ).

Фигура ячейки определяется удалением окольцованного узла лицевой фигуры и кольцеванием соседних узлов. Это делает четырехгранную призму  {} × {3,3}.

Целующийся номер

Каждая вершина этой мозаики является центром 6-сферы в самой плотной известной упаковке в 7 измерениях; его число поцелуев 126, представленное вершинами его вершины 2 ₃₁ .

Решетка E7

Расположение вершин сот 3 ₃₁ называется решеткой E ₇ .

${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}$содержит как подгруппу индекса 144. Оба и можно рассматривать как аффинное расширение из разных узлов:${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {7}}$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}$${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {7}}$${\ displaystyle A_ {7}}$

Решетка E ₇ также может быть выражена как объединение вершин двух решеток A ₇ , также называемых A ₇ ² :

знак равно ∪

Е ₇ ^* решетки (также называемые Е ₇ ² ) имеют двойную симметрию, представленную [[3,3 ^3,3 ]]. Вороная клетка из Й ₇ ^* решетки является 1 ₃₂ многогранника и Вороная тесселяцией 1 ₃₃ сот . Е ₇ ^* решетка построена по 2 копии Х ₇ решеток вершин, по одному от каждой длинной ветви диаграммы Кокстера, и может быть сконструирован в виде объединения четырех А ₇ ^* решеток, также называемых ₇ ⁴ :

∪ знак равно ∪ ∪ ∪ = двойной .

Связанные соты

Он находится в размерном ряду однородных многогранников и сот, выраженных Кокстером как ряд 3 _k1 . Вырожденный 4-мерный случай существует как разбиение на 3 сферы, тетраэдрический хозоэдр .

3 фигурки _k1

Космос	Конечный				Евклидово	Гиперболический
п	4	5	6	7	8	9
Группа Кокстера	А 3 А 1	А 5	D 6	E 7	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}$= E 7 +	${\ displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}$= E 7 ++
Диаграмма Кокстера
Симметрия	[3 −1,3,1 ]	[3 0,3,1 ]	[[3 1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3]	[3 2,3,1 ]	[3 3,3,1 ]	[3 4,3,1 ]
порядок	48	720	46 080	2 903 040	∞
График					-	-
Имя	3 1, -1	3 10	3 11	3 21	3 31	3 41

Смотрите также

• 8-многогранник
• 1 ₃₃ соты

использованная литература

• HSM Coxeter , Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973.
• Coxeter The Beauty of Geometry: Twelve Essays , Dover Publications, 1999, ISBN  978-0-486-40919-1 (Глава 3: Конструкция Витхофа для однородных многогранников)
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1] GoogleBook
  • (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• Р. Т. Уорли , Вороной, регион E7 * . SIAM J. Discrete Math., 1.1 (1988), 134-141.
• Конвей, Джон Х .; Слоан, Нил Дж. А. (1998). Сферические упаковки, решетки и группы ((3-е изд.) Изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9. p124-125, 8.2 7-мерные решетки: E7 и E7 *
• Клитцинг, Ричард. «7D Heptacombs x3o3o3o3o3o3o * d3o - naquoh» .

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и однородные соты размером 2-9
Космос	Семья	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$/ /${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {n-1}}$
E 2	Равномерная черепица	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Шестиугольный
E 3	Равномерно выпуклые соты	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Равномерные 4-соты	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-ячеечные соты
E 5	Равномерные 5-соты	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Равномерные 6-соты	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Равномерные 7-соты	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Равномерное 8-соты	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Равномерные 9-соты	{3 [10] }	δ 10	hδ 10	qδ 10
E 10	Равномерные 10-соты	{3 [11] }	δ 11	hδ 11	qδ 11
E n -1	Uniform ( n -1) - соты	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 к2 • 2 к1 • к 21