Шестимерное пространство - Six-dimensional space

Шестимерное пространство - это любое пространство, которое имеет шесть измерений, шесть степеней свободы и которому требуется шесть частей данных или координат, чтобы указать местоположение в этом пространстве. Их бесконечно много, но наибольший интерес представляют более простые модели, моделирующие некоторые аспекты окружающей среды. Особый интерес представляетшестимерное евклидово пространство , в котором построены 6-многогранники и 5-сфера. Также изучаются шестимерные эллиптические и гиперболические пространства с постоянной положительной и отрицательной кривизной.

Формально шестимерное евклидово пространство, ⁶ , создается путем рассмотрения всех действительных 6- кортежей как 6- векторов в этом пространстве. Таким образом, он обладает свойствами всех евклидовых пространств, поэтому он линейен, имеет метрику и полный набор векторных операций. В частности, скалярное произведение между двумя 6-векторами легко определяется и может использоваться для вычисления метрики. Матрицы 6 × 6 могут использоваться для описания преобразований, таких как вращения, которые сохраняют исходную точку фиксированной.

В более общем смысле, любое пространство, которое можно описать локально с помощью шести координат , не обязательно евклидовых, является шестимерным. Одним из примеров является поверхность 6-сферы S ⁶ . Это набор всех точек в семимерном пространстве (евклидовом) ℝ ^7, которые находятся на фиксированном расстоянии от начала координат. Это ограничение уменьшает количество координат, необходимых для описания точки на 6-сфере, на одну, поэтому она имеет шесть измерений. Такие неевклидовы пространства гораздо более распространены, чем евклидовы пространства, и в шести измерениях они имеют гораздо больше приложений.

Геометрия

6-многогранник

Многогранник в шести измерениях называется 6-многогранник. Наиболее изучены правильные многогранники , из которых всего три в шести измерениях : 6-симплекс , 6-куб и 6-ортоплекс . Более широкое семейство - это однородные 6-многогранники , построенные из областей фундаментальной симметрии отражения, каждая область определяется группой Кокстера . Каждый равномерный многогранник определяется окольцованной диаграммой Кокстера-Дынкина . 6-demicube является уникальным многогранник из семейства D6 и 2 ₂₁ и 1 ₂₂ многогранники из семейства E6.

Равномерные многогранники в шести измерениях
(отображаются как ортогональные проекции в каждой плоскости симметрии Кокстера )

А 6	В 6		D 6	E 6
6-симплекс {3,3,3,3,3}	6-куб {4,3,3,3,3}	6-ортоплекс {3,3,3,3,4}	6-полукуб знак равно {3,3 3,1 } = h {4,3,3,3,3}	2 21 знак равно {3,3,3 2,1 }	1 22 знак равно {3,3 2,2 }

5-сфера

Пятимерная сфера или шестимерная гиперсфера - это пятимерная поверхность, равноудаленная от точки. Он имеет символ S ⁵ , а уравнение для 5-сферы, радиус r , центр начала координат:

${\ Displaystyle S ^ {5} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {6}: \ | x \ | = r \ right \}.}$

Объем шестимерного пространства, ограниченного этой 5-сферой, равен

${\ displaystyle V_ {6} = {\ frac {\ pi ^ {3} r ^ {6}} {6}}}$

что составляет 5,16771 × r ⁶ , или 0,0807 наименьшего 6-куба , содержащего 5-сферу.

6-сфера

Шестисфера или семимерная гиперсфера - это шестимерная поверхность, равноудаленная от точки. Он имеет символ S ⁶ , а уравнение для 6-сферы, радиус r , центр начала координат:

${\ Displaystyle S ^ {6} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {7}: \ | x \ | = r \ right \}.}$

Объем пространства, ограниченного этой 6-сферой, равен

${\ displaystyle V_ {7} = {\ frac {16 \ pi ^ {3} r ^ {7}} {105}}}$

что составляет 4,72477 × r ⁷ , или 0,0369 наименьшего 7-куба , содержащего 6-сферу.

Приложения

Трансформации в трех измерениях

В трехмерном пространстве жесткое преобразование имеет шесть степеней свободы , три переводы вдоль трех координатных осей и три из группы вращений SO (3) . Часто эти преобразования обрабатываются отдельно, поскольку они имеют очень разные геометрические структуры, но есть способы справиться с ними, которые рассматривают их как единый шестимерный объект.

Теория винта

В теории винта угловая и линейная скорости объединены в один шестимерный объект, называемый твистом . Подобный объект, называемый гаечным ключом, объединяет силы и моменты в шести измерениях. Их можно рассматривать как шестимерные векторы, которые линейно трансформируются при изменении системы отсчета. Сдвиги и повороты не могут быть выполнены таким образом, они связаны с поворотом посредством возведения в степень .

Фазовое пространство

Фазовое пространство - это пространство, состоящее из положения и импульса частицы, которое можно вместе отобразить на фазовой диаграмме, чтобы выделить взаимосвязь между величинами. Обычная частица, движущаяся в трех измерениях, имеет фазовое пространство с шестью измерениями, которых слишком много для построения графика, но их можно проанализировать математически.

Вращения в четырех измерениях

Группа вращения в четырех измерениях, SO (4), имеет шесть степеней свободы. Это можно увидеть, рассматривая матрицу 4 × 4, которая представляет поворот: поскольку это ортогональная матрица, матрица определяется с точностью до изменения знака, например, шестью элементами над главной диагональю. Но эта группа не является линейной и имеет более сложную структуру, чем другие приложения, которые видели до сих пор.

Другой способ взглянуть на эту группу - умножение кватернионов . Каждое вращение в четырех измерениях может быть достигнуто умножением на пару единичных кватернионов , один до и один после вектора. Эти кватернионы уникальны, вплоть до смены знака для них обоих, и при таком использовании генерируют все вращения, поэтому произведение их групп, S ³ × S ³ , является двойным покрытием SO (4), которое должно имеют шесть измерений.

Хотя пространство, в котором мы живем, считается трехмерным, у четырехмерного пространства есть практические приложения. Кватернионы, один из способов описания вращения в трех измерениях, состоят из четырехмерного пространства. Вращения между кватернионами, например, для интерполяции, происходят в четырех измерениях. Пространство-время , которое имеет три пространственных измерения и одно измерение времени, также четырехмерное, хотя и с другой структурой, чем евклидово пространство .

Электромагнетизм

В электромагнетизме , то электромагнитное поле , как правило , думают как делаются из двух вещей, от электрического поля и магнитного поля . Оба они представляют собой трехмерные векторные поля , связанные друг с другом уравнениями Максвелла . Второй подход состоит в объединении их в один объект, шестимерный электромагнитный тензор , тензорное или бивекторное представление электромагнитного поля. Используя это, уравнения Максвелла можно сжать из четырех уравнений в одно особенно компактное уравнение:

${\ Displaystyle \ partial \ mathbf {F} = \ mathbf {J} \,}$

где F - бивекторная форма электромагнитного тензора, J - четырехтоковый, а ∂ - подходящий дифференциальный оператор .

Струнная теория

В физике теория струн - это попытка описать общую теорию относительности и квантовую механику с помощью единой математической модели. Хотя это попытка смоделировать нашу Вселенную, она происходит в пространстве с большим количеством измерений, чем четыре пространства-времени, с которыми мы знакомы. В частности, ряд теорий струн имеет место в десятимерном пространстве, добавляя шесть дополнительных измерений. Эти дополнительные измерения требуются теорией, но поскольку их нельзя наблюдать, они считаются совершенно другими, возможно, компактифицированными, чтобы сформировать шестимерное пространство с определенной геометрией, слишком малой для наблюдения.

С 1997 года появилась другая теория струн, работающая в шести измерениях. Маленькие теории струн - это негравитационные теории струн в пяти и шести измерениях, возникающие при рассмотрении пределов десятимерной теории струн.

Теоретические основы

Бивекторы в четырех измерениях

Ряд вышеупомянутых приложений можно связать друг с другом алгебраически, рассматривая реальные шестимерные бивекторы в четырех измерениях. Их можно записать как Λ ² ℝ ⁴ для множества бивекторов в евклидовом пространстве или Λ ² ℝ ^3,1 для множества бивекторов в пространстве-времени. Координаты Плюккера являются бивекторами в § ^4, тогда как электромагнитный тензор, обсужденный в предыдущем разделе, является бивектором в § ^3,1 . Бивекторы могут использоваться для генерации поворотов в ⁴ или ℝ ^3,1 посредством экспоненциального отображения (например, применение экспоненциального отображения всех бивекторов в Λ ² ℝ ⁴ генерирует все вращения в ⁴ ). Они также могут быть связаны с общими преобразованиями в трех измерениях через однородные координаты, которые можно рассматривать как модифицированные повороты в ℝ ⁴ .

Бивекторы возникают из сумм всех возможных произведений клина между парами 4-векторов. Следовательно, у них есть C4
2  = 6 компонентов, и в большинстве случаев может быть записано как

${\ displaystyle \ mathbf {B} = B_ {12} \ mathbf {e} _ {12} + B_ {13} \ mathbf {e} _ {13} + B_ {14} \ mathbf {e} _ {14} + B_ {23} \ mathbf {e} _ {23} + B_ {24} \ mathbf {e} _ {24} + B_ {34} \ mathbf {e} _ {34}}$

Это первые бивекторы, которые не могут быть все порождены произведением пар векторов. Те, что могут, являются простыми бивекторами, а вращение, которое они производят, - простыми вращениями . Другие вращения в четырех измерениях являются двойными и изоклиническими вращениями и соответствуют непростым бивекторам, которые не могут быть созданы с помощью одинарного клина.

6-векторов

6-векторы - это просто векторы шестимерного евклидова пространства. Как и другие подобные векторы, они линейны , их можно складывать, вычитать и масштабировать, как в других измерениях. Вместо того, чтобы использовать буквы алфавита, более высокие измерения обычно используют суффиксы для обозначения размеров, поэтому общий шестимерный вектор можно записать a = (a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ , a ₅ , a ₆ ) . Записанные таким образом шесть базисных векторов : (1, 0, 0, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0, 0, 0) , (0, 0, 1, 0, 0, 0) , (0, 0, 0, 1, 0, 0) , (0, 0, 0, 0, 1, 0) и (0, 0, 0, 0, 0, 1) .

Из векторных операторов перекрестное произведение нельзя использовать в шести измерениях; вместо этого произведение клина двух 6-векторов дает бивектор с 15 измерениями. Скалярное произведение двух векторов

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2} + a_ {3} b_ {3} + a_ {4} b_ {4 } + a_ {5} b_ {5} + a_ {6} b_ {6}.}$

Его можно использовать, чтобы найти угол между двумя векторами и нормой ,

${\ displaystyle \ left | \ mathbf {a} \ right \ vert = {\ sqrt {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}}} = {\ sqrt {{a_ {1}} ^ {2} + {a_ {2}} ^ {2} + {a_ {3}} ^ {2} + {a_ {4}} ^ {2} + {a_ {5}} ^ {2} + {a_ {6}} ^ {2}}}.}$

Это можно использовать, например, для вычисления диагонали 6-куба ; с одним углом в начале координат, ребрами, выровненными по осям и длиной стороны 1, противоположный угол может быть в (1, 1, 1, 1, 1, 1) , норма которого равна

${\ displaystyle {\ sqrt {1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1}} = {\ sqrt {6}} = 2.4495,}$

которая является длиной вектора и, следовательно, диагонали 6-куба.

Бивекторы Гиббса

В 1901 г. Дж. У. Гиббс опубликовал работу о векторах, включающую шестимерную величину, которую он назвал бивектором . Он состоял из двух трехмерных векторов в одном объекте, который он использовал для описания эллипсов в трех измерениях. Он вышел из употребления, поскольку были разработаны другие методы, и теперь название бивектор более тесно связано с геометрической алгеброй.

Результаты экспериментов

В 2016 году, BtH → J = ψφKþ затухает 6D был объявлен результат нулевой путем LHCb сотрудничества, в том числе всех K (1+) B + распада в 6D (в области 8σ), все K (2-) B + -распад в 6D (в в области 5.6σ), распад X (4140) B + в 6D (в области 8.4σ), распад X (4274) B + в 6D (в области 6σ), распад X (4500) B + в 6D (в области 6.1σ область) и X (4700) B + распад в 6D (в области 5.6σ), в области более чем на 5 а, вероятность нахождения достаточно , чтобы была оценена / рассмотрено более доказательным / доказательства в эксперименте по статистической физике .

Сноски

Сноски

использованная литература

• Лунесто, Пертти (2001). Алгебры и спиноры Клиффорда . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-00551-7.

• Ахарони, Офер (2000). "Краткий обзор" маленьких теорий струн " ". Классическая и квантовая гравитация . 17 (5). arXiv : hep-th / 9911147 . Bibcode : 2000CQGra..17..929A . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 17/5/302 .