Единичная сфера - Unit sphere

Некоторые 1-сферы. - норма для евклидова пространства, обсуждаемая в первом разделе ниже.

В математике , А единичная сфера просто сфера из радиуса одного вокруг заданного центра . В более общем смысле, это набор точек на расстоянии 1 от фиксированной центральной точки, где различные нормы могут использоваться как общие понятия «расстояния». Единичный шар представляет собой замкнутое множество точек на расстоянии меньше или равно 1 из неподвижной центральной точки. Обычно центр находится в начале пространства, поэтому говорят о «единичном шаре» или «единичной сфере». Частными случаями являются единичный круг и единичный диск .

Важность единичной сферы заключается в том, что любую сферу можно преобразовать в единичную с помощью комбинации перемещения и масштабирования . Таким образом, свойства сфер в целом могут быть сведены к изучению единичной сферы.

Единичные сферы и шары в евклидовом пространстве

В евклидове пространства из п размеры, ( п - 1) мерная единичная сфера является множеством всех точек , удовлетворяющих уравнению

П - мерный единичный открытый шар множество всех точек , удовлетворяющее неравенству

а n- мерный замкнутый единичный шар - это множество всех точек, удовлетворяющих неравенству

Формулы общей площади и объема

Классическое уравнение единичной сферы - это уравнение эллипсоида с радиусом 1 и без изменений осей x , y или z :

Объем единичного шара в n- мерном евклидовом пространстве и площадь поверхности единичной сферы фигурируют во многих важных формулах анализа . Объем единичного шара в n измерениях, который мы обозначаем V n , можно выразить с помощью гамма-функции . это

где н !! - двойной факториал .

Гиперобъем ( n - 1) -мерной единичной сферы ( т. Е. «Площадь» границы n- мерного единичного шара), который мы обозначим A n , можно выразить как

где последнее равенство выполняется только при n > 0 . Например, это «область» границы единичного шара , которая просто считает две точки. Затем следует «площадь» границы единичного диска, которая является окружностью единичной окружности. - это «площадь» границы единичного шара , которая является площадью поверхности единичной сферы .

Площади поверхности и объемы для некоторых значений следующие:

(площадь поверхности) (объем)
0 0 1
1 2 2
2 6,283 3,141
3 12,57 4,189
4 19,74 4,935
5 26,32 5,264
6 31.01 5,168
7 33,07 4,725
8 32,47 4,059
9 29,69 3,299
10 25,50 2,550

где десятичные развернутые значения для n  ≥ 2 округлены до отображаемой точности.

Рекурсия

Значения A n удовлетворяют рекурсии:

для .

Значения V n удовлетворяют рекурсии:

для .

Дробные размеры

Формулы для A n и V n могут быть вычислены для любого действительного числа n  ≥ 0, и есть обстоятельства, при которых уместно искать площадь сферы или объем шара, когда n не является неотрицательным целым числом.

Это показывает гиперобъем ( x –1) -мерной сферы ( т. Е. «Площадь» поверхности x -мерного единичного шара) как непрерывную функцию от  x .
Это показывает объем шара в измерениях x как непрерывную функцию от  x .

Другие радиусы

Площадь поверхности ( n –1) -мерной сферы радиуса r равна A n  r n −1, а объем n- мерного шара радиуса r равен V n  r n . Например, для поверхности трехмерного шара радиуса r площадь равна A = 4 π r  2 . Объем V = 4 π г  3 /3 для трехмерного шара радиуса  г .

Единичные шары в нормированных векторных пространствах

Точнее, открытый единичный шар в нормированном векторном пространстве с нормой есть

Это внутренняя часть замкнутого единичного шара в ( V , || · ||):

Последний является несвязным объединением первых и их общей границы, единичной сферы ( V , || · ||):

«Форма» единичного шара полностью зависит от выбранной нормы; он вполне может иметь «углы» и, например, может выглядеть как [-1,1] n в случае максимальной нормы в R n . Естественно круглый шар получается как единичный шар, относящийся к обычной норме гильбертова пространства , основанный в конечномерном случае на евклидовом расстоянии ; его граница - это то, что обычно подразумевается под единичной сферой .

Пусть Определить обычную -норму для р ≥ 1 , как:

Тогда - обычная норма гильбертова пространства . называется нормой Хэмминга, или -нормой. Условие p ≥ 1 необходимо в определении нормы, поскольку единичный шар в любом нормированном пространстве должен быть выпуклым как следствие неравенства треугольника . Пусть обозначает максимально-норму или -норм х.

Обратите внимание, что для окружностей двумерных единичных шаров (n = 2) мы имеем:

- минимальное значение.
- максимальное значение.

Обобщения

Метрические пространства

Все три приведенных выше определения могут быть напрямую обобщены на метрическое пространство относительно выбранного начала координат. Однако топологические соображения (внутренность, замыкание, граница) не обязательно должны применяться одинаково (например, в ультраметрических пространствах все три одновременно являются открытыми и замкнутыми множествами), а единичная сфера может даже быть пустой в некоторых метрических пространствах.

Квадратичные формы

Если V есть линейное пространство с реальной квадратичной формы Р : V → R, то {р ∈ V  : Р (р) = 1} можно назвать единичной сферой или блок квази-сфера из V . Например, квадратичная форма , когда она установлена ​​равной единице, дает единичную гиперболу, которая играет роль «единичного круга» в плоскости разделенных комплексных чисел . Точно так же квадратичная форма x 2 дает пару линий для единичной сферы в плоскости двойственных чисел .

Смотрите также

Примечания и ссылки

внешние ссылки