Нулевое кольцо - Zero ring

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Основные понятия Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо с продуктом • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Клеммное кольцо ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • Домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (п ^ {\ infty})}$ • Основание - круговое кольцо p ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ • База - p целых чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -адические рациональные числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • База - p вещественных чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -адические целые числа ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p -адические числа ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • p -адический соленоид ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

В теории колец , ветвь математики , то нулевое кольцо или тривиальное кольцо является единственным кольцом ( с точностью до изоморфизма ) , состоящее из одного элемента. (Реже термин «нулевое кольцо» используется для обозначения любого диапазона квадрата нуля , т. Е. Диапазона, в котором xy = 0 для всех x и y . Эта статья относится к одноэлементному кольцу.)

В категории колец нулевое кольцо является конечным объектом , а кольцо целых чисел Z - исходным объектом .

Определение

Нулевое кольцо, обозначаемое {0} или просто 0 , состоит из одноэлементного набора {0} с операциями + и ·, определенными таким образом, что 0 + 0 = 0 и 0 · 0 = 0.

Характеристики

• Нулевое кольцо - это единственное кольцо, в котором аддитивная единица 0 и мультипликативная единица 1 совпадают. (Доказательство: если 1 = 0 в кольце R , то для всех r в R имеем r = 1 r = 0 r = 0. Доказательство последнего равенства находится здесь .)
• Нулевое кольцо коммутативно.
• Элемент 0 в нулевом кольце - это единица , служащая своей собственной мультипликативной инверсией .
• Группа единиц нулевого кольца является тривиальной группой {0}.
• Элемент 0 в нулевом кольце не является делителем нуля .
• Единственный идеал в нулевом кольце - это нулевой идеал {0}, который также является единичным идеалом, равным всему кольцу. Этот идеал не является ни максимальным, ни простым .
• Нулевое кольцо - это не поле ; это согласуется с тем, что ее нулевой идеал не максимален. Фактически не существует поля, содержащего менее двух элементов. (Когда математики говорят о « поле с одним элементом », они имеют в виду несуществующий объект, и их намерение состоит в том, чтобы определить категорию, которая была бы категорией схем над этим объектом, если бы он существовал.)
• Нулевое кольцо не является областью целостности . Считается ли нулевое кольцо доменом вообще - это вопрос соглашения, но есть два преимущества в том, чтобы рассматривать его не как домен. Во-первых, это согласуется с определением, что область - это кольцо, в котором 0 является единственным делителем нуля (в частности, 0 требуется, чтобы быть делителем нуля, что не работает в нулевом кольце). Во-вторых, таким образом, для положительного целого числа n кольцо Z / n Z является областью тогда и только тогда, когда n простое, но 1 не простое.
• Для каждого кольца A существует единственный кольцевой гомоморфизм из A в нулевое кольцо. Таким образом, нулевое кольцо является конечным объектом в категории колец .
• Если является ненулевым кольцом, то не существует гомоморфизм колец от нулевого кольца к А . В частности, нулевое кольцо не является подкольцом любого ненулевого кольца.
• Нулевое кольцо - это единственное кольцо характеристики 1.
• Единственный модуль для нулевого кольца - это нулевой модуль. Он не имеет ранга א для любого числа.
• Нулевое кольцо не является локальным кольцом . Однако это полулокальное кольцо .
• Нулевое кольцо артиново и, следовательно, нётерово .
• Спектр нулевого кольца является пустой схемой .
• Размерность Крулля нулевого кольца -∞.
• Нулевое кольцо полупростое, но непростое .
• Нулевое кольцо не является центральной простой алгеброй над каким-либо полем.
• Общий фактор - кольцо нулевого кольца сам по себе.

Конструкции

• Для любого кольца А и идеала I из А , то фактор / I является нулевым кольцом тогда и только тогда , когда я  =  A , то есть тогда и только тогда , когда я это блок идеально подходит .
• Для любого коммутативного кольца А и мультипликативного множества S в А , то локализация S ^-1 является нулевым кольцом , если и только если S содержит 0.
• Если A - любое кольцо, то кольцо M ₀ ( A ) матриц 0 × 0 над A является нулевым кольцом.
• Прямое произведение из пустого набора колец является нулевым кольцом.
• Кольцо эндоморфизмов из тривиальной группы является нулевым кольцом.
• Кольцо непрерывных вещественнозначных функций на пустом топологическом пространстве - нулевое кольцо.

Заметки

Рекомендации

• Майкл Артин , Алгебра , Прентис-Холл, 1991.
• Зигфрид Бош , Алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра , Springer, 2012.
• MF Атия и Макдональд И. , Введение в коммутативной алгебре , Addison-Wesley, 1969.
• Н. Бурбаки , Алгебра I, главы 1-3 .
• Робин Хартсхорн , Алгебраическая геометрия , Springer, 1977.
• Лам , Упражнения по классической теории колец , Springer, 2003.
• Серж Ланг , Алгебра, 3-е изд., Springer, 2002.