Rng (алгебра) - Rng (algebra)

В математике , а точнее в абстрактной алгебре , rng (или неединичное кольцо или псевдокольцо ) - это алгебраическая структура, удовлетворяющая тем же свойствам, что и кольцо , но не предполагающая существования мультипликативного тождества . Термин «rng» (IPA: / r ʊ ŋ / ) предназначен для предположения, что это «кольцо» без «i», то есть без требования для «элемента идентичности».

В сообществе нет единого мнения относительно того, должно ли существование мультипликативного тождества быть одной из аксиом кольца (см. Исторический раздел статьи о кольцах ). Термин «rng» был придуман, чтобы уменьшить эту двусмысленность, когда люди хотят явно сослаться на кольцо без аксиомы мультипликативной идентичности.

Ряд рассматриваемых при анализе алгебр функций не являются унитальными, например алгебра функций, убывающих до нуля на бесконечности, особенно те, которые имеют компактный носитель на некотором ( некомпактном ) пространстве.

Определение

Формально rng - это множество R с двумя бинарными операциями (+, ·), называемыми сложением и умножением , так что

( R , +) абелева группа ,
( R , ·) - полугруппа ,
Умножение распределяется по сложению.

RNG гомоморфизм является функцией F : R → S от одного к другому RNG таким образом, что

е ( х + у ) = е ( х ) + е ( у )
f ( x · y ) = f ( x ) · f ( y )

для всех х и у в R .

Если R и S - кольца, то гомоморфизм колец R → S совпадает с rng-гомоморфизмом R → S, который отображает 1 в 1.

Примеры

Все кольца звонки. Простой пример rng, который не является кольцом, дается четными целыми числами с обычным сложением и умножением целых чисел. Другой пример - набор всех вещественных матриц 3 на 3 , нижняя строка которых равна нулю. Оба этих примера являются примерами того общего факта, что каждый (односторонний или двусторонний) идеал является рангом.

ГСЧ часто возникает естественным образом в функциональном анализе , когда линейные операторы на бесконечномерных мерных векторных пространствах рассматриваются. Возьмем, например, любое бесконечномерное векторное пространство V и рассмотрим множество всех линейных операторов f : V → V с конечным рангом (т.е. dim f ( V ) <∞ ). Вместе с сложением и композицией операторов это кольцо, а не кольцо. Другой пример - это rng всех действительных последовательностей, которые сходятся к 0, с покомпонентными операциями.

Кроме того, многие пробные функциональные пространства, встречающиеся в теории распределений, состоят из функций, убывающих до нуля на бесконечности, как, например, пространство Шварца . Таким образом, функция, всюду равная единице, которая была бы единственным возможным элементом идентичности для поточечного умножения, не может существовать в таких пространствах, которые, следовательно, являются rngs (для поточечного сложения и умножения). В частности, вещественнозначные непрерывные функции с компактным носителем, определенные на некотором топологическом пространстве , вместе с поточечным сложением и умножением образуют цепную систему; это не кольцо, если лежащее в основе пространство не компактно .

Пример: четные целые числа

Множество 2 Z четных целых чисел замкнуто относительно сложения и умножения и имеет аддитивную единицу, 0, поэтому это rng, но у него нет мультипликативной идентичности, поэтому это не кольцо.

В 2 Z единственный мультипликативный идемпотент - 0, единственный нильпотент - 0, и единственный элемент с рефлексивным обратным - 0.

Пример: конечные пятеричные последовательности

Прямая сумма, снабженная покоординатным сложением и умножением, представляет собой систему со следующими свойствами: ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} = \ bigoplus _ {я = 1} ^ {\ infty} \ mathbf {Z} / 5 \ mathbf {Z}}$

Его идемпотентные элементы образуют решетку без верхней границы.
Каждый элемент x имеет рефлексивный обратный , а именно такой элемент y , что xyx = x и yxy = y .
Для каждого конечного подмножества существует идемпотент, который действует как тождество для всего подмножества: последовательность с единицей в каждой позиции, где последовательность в подмножестве имеет ненулевой элемент в этой позиции, и ноль в каждом другом должность. ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$

Характеристики

Идеалы, факторкольца и модули могут быть определены для цепочек так же, как и для колец.
Однако работа с rng вместо колец усложняет некоторые связанные определения. Например, в кольце R левый идеал ( f ), порожденный элементом f , определяемым как наименьший левый идеал, содержащий f , - это просто Rf , но если R - только rng, то Rf может не содержать f , поэтому вместо этого
${\ displaystyle (f) = Rf + \ mathbf {Z} f = \ {af + nf: a \ in R \; \ mathrm {and} \; n \ in \ mathbf {Z} \}}$ ,

где NF должны быть интерпретированы с помощью многократного сложения / вычитания , так как п необходимость не представляют элемент R . Аналогично, левый идеал, порожденный элементами f ₁ , ..., f _m кольца R, есть

${\ displaystyle (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}) = \ {a_ {1} f_ {1} + \ cdots + a_ {m} f_ {m} + n_ {1} f_ {1} + \ cdots n_ {m} f_ {m}: a_ {i} \ in R \; \ mathrm {and} \; n_ {i} \ in \ mathbf {Z} \},}$
формула, восходящая к Эмми Нётер . Аналогичные сложности возникают при определении подмодуля, порожденного набором элементов модуля.
Некоторые теоремы для колец неверны для rng. Например, в кольце каждый собственный идеал содержится в максимальном идеале , поэтому ненулевое кольцо всегда имеет хотя бы один максимальный идеал. Оба эти утверждения не подходят для rngs.
Гомоморфизм f : R → S отображает любой идемпотентный элемент в идемпотентный элемент.
Если f : R → S является rng-гомоморфизмом кольца в rng и образ f содержит ненулевой делитель S , то S - кольцо, а f - кольцевой гомоморфизм.

Примыкание к индивидуальному элементу (расширение Дорро)

Каждое кольцо R можно расширить до кольца R ^, присоединив к нему единичный элемент. В общем виде , в котором , чтобы сделать это формально добавить единичный элемент 1 , и пусть R ^ состоит из целочисленных линейных комбинаций 1 и элементов R с той предпосылкой , что ни один из его отличен от нуля целых кратных не совпадают или содержатся в R . То есть элементы R ^ имеют вид

п · 1 + г

где п представляет собой целое число , и г ∈ R . Умножение определяется линейностью:

( N ₁ + R ₁ ) · ( N ₂ + R ₂ ) знак равно N ₁ N ₂ + N ₁ R ₂ + N ₂ R ₁ + R ₁ R ₂ .

Более формально, мы можем взять R ^ как декартово произведение Z × R и определить сложение и умножение как

( n ₁ , r ₁ ) + ( n ₂ , r ₂ ) = ( n ₁ + n ₂ , r ₁ + r ₂ ),

( n ₁ , r ₁ ) · ( n ₂ , r ₂ ) = ( n ₁ n ₂ , n ₁ r ₂ + n ₂ r ₁ + r ₁ r ₂ ).

Тогда мультипликативная единица R ^ равна (1, 0) . Существует естественный rng-гомоморфизм j : R → R ^, определяемый формулой j ( r ) = (0, r ) . Эта карта обладает следующим универсальным свойством :

Для любого кольца S и любого rng-гомоморфизма f : R → S существует единственный кольцевой гомоморфизм g : R ^ → S такой, что f = gj .

Отображение g можно определить как g ( n , r ) = n · 1 _S + f ( r ) .

Существует естественный сюръективный гомоморфизм колец R ^ → Z, переводящий ( n , r ) в n . Ядро этого гомоморфизма образ R в R ^. Так как J является инъективны , мы видим , что R вкладывается в качестве (двусторонний) идеал в R ^ с фактор - кольцом R ^ / R , изоморфной Z . Следует, что

Каждая цепочка является идеалом некоторого кольца, а каждый идеал кольца - цепочкой.

Обратите внимание, что j никогда не бывает сюръективным. Таким образом, даже когда R уже имеет элемент идентичности, кольцо R ^ будет большим с другим идентификатором. Кольцо R ^ часто называют расширением Дорро для R в честь американского математика Джо Ли Дорро, который первым построил его.

Процесс присоединения элемента идентичности к рангу можно сформулировать на языке теории категорий . Если обозначить категорию всех колец и гомоморфизмов колец через Ring, а категорию всех rng и rng гомоморфизмов через Rng , то Ring будет (неполной) подкатегорией в Rng . Построение R ^ приведенное выше , дает левый сопряженный к функтор вложения I : кольцо → RNG . Это означает, что кольцо является отражающей подкатегорией в Rng с отражателем j : R → R ^ .

Свойства слабее, чем личность

Есть несколько свойств, которые рассматривались в литературе, которые слабее, чем наличие элемента идентичности, но не настолько общие. Например:

Кольца с достаточным количеством идемпотентов: кольцо R называется кольцом с достаточным количеством идемпотентов, если существует подмножество E в R, заданное ортогональными (т.е. ef = 0 для всех e ≠ f в E ) идемпотентами (т.е. e ² = e для всех e в E ) такое, что R = ⊕ _{e ∈ E} eR = ⊕ _{e ∈ E} Re .
Кольца с локальными единицами: кольцо R называется кольцом с локальными единицами в случае, если для любого конечного множества r ₁ , r ₂ , ..., r _t в R мы можем найти e в R такое, что e ² = e и er _i = r _i = r _i e для каждого i .
s -единичные кольца: Rng R называется s -единицей в случае, если для любого конечного множества r ₁ , r ₂ , ..., r _t в R мы можем найти s в R такое, что sr _i = r _i = r _я S для каждого I .
Фирменные кольца: кольцо R называется твердым, если канонический гомоморфизм R ⊗ _R R → R, задаваемый формулой r ⊗ s ↦ rs, является изоморфизмом.
Идемпотентные кольца: ГСЧ R называется идемпотентная (или irng) в случае , если R ² = R , то есть, для каждого элемента г из R можно найти элементы г _I и ев _я в R такой , что . ${\ displaystyle r = \ Sigma _ {i} r_ {i} s_ {i}}$

Нетрудно проверить, что эти свойства слабее, чем наличие элемента идентичности, и слабее, чем предыдущее.

Кольца - это кольца с достаточным количеством идемпотентов, используя E = {1}. Кольцо с достаточным количеством идемпотентов, которое не имеет идентичности, - это, например, кольцо бесконечных матриц над полем с конечным числом ненулевых элементов. Матрицы, которые имеют только 1 над одним элементом на главной диагонали и 0 в противном случае, являются ортогональными идемпотентами.
Кольца с достаточным количеством идемпотентов - это кольца с локальными единицами, которые просто принимают конечные суммы ортогональных идемпотентов, удовлетворяющие определению.
Кольца с локальными единицами являются, в частности, s -единицей; s -единичные кольца твердые, а твердые кольца идемпотентны.

Rng квадрата нуля

RNG квадратного нуля является RNG R такое , что х = 0 для всех х и у в R . Любую абелеву группу можно превратить в группу с нулевым квадратом, задав умножение так, чтобы xy = 0 для всех x и y ; таким образом, каждая абелева группа является аддитивной группой некоторого ранга. Единственная ступень квадрата нуля с мультипликативной единицей - это нулевое кольцо {0}.

Любая аддитивная подгруппа группы нулевого квадрата является идеалом . Таким образом, группа с нулевым квадратом является простой тогда и только тогда, когда ее аддитивная группа является простой абелевой группой, т. Е. Циклической группой простого порядка.

Унитальный гомоморфизм

Учитывая две униталъные алгебры и B , алгебра гомоморфизм

е : А → В

это унитальный , если он отображает единичный элемент А к единице B .

Если ассоциативная алгебра над полем K является не унитарным, один может примыкать элемент идентичности следующим образом : возьмем A × K в качестве базового K - векторного пространства и определит умножение * на

( x , r ) ∗ ( y , s ) = ( xy + sx + ry , rs )

для х , у в А и Г , ев в K . Тогда ∗ - ассоциативная операция с единицей (0, 1) . Старая алгебра A содержится в новой, и фактически A × K является «самой общей» алгеброй с единицей, содержащей A , в смысле универсальных конструкций .

Смотрите также

Полукруглый

Languages

In other projects