Соленоид (математика) - Solenoid (mathematics)

На этой странице обсуждается класс топологических групп. Информацию о намотанной проволочной петле см . В разделе « Соленоид» .

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

Соленоид Смейла-Вильямса.

В математике , A Электромагнитное является компактным связным топологическим пространством (т.е. континуума ) , которые могут быть получены в качестве обратного предела обратной системы топологических групп и непрерывных гомоморфизмов

( S _i , f _i ),     f _i : S _{i +1} → S _i ,     i ≥ 0,

где каждый S _i - круг, а f _i - карта, которая равномерно оборачивает круг S _{i +1} n _i раз ( n _i ≥ 2) вокруг круга S _i . Это построение может быть выполнено геометрически в трехмерном евклидовом пространстве R ³ . Соленоид - это одномерный однородный неразложимый континуум , имеющий структуру компактной топологической группы .

В частном случае, когда все n _i имеют одинаковое значение n , так что обратная система определяется умножением на n собственного отображения круга, соленоиды были впервые введены Вьеторисом для n = 2 и Ван Данцигом для произвольного n. . Такой соленоид возникает как одномерный расширяющийся аттрактор или аттрактор Смейла – Вильямса и представляет собой важный пример в теории гиперболических динамических систем .

Геометрическая конструкция и аттрактор Смейла – Вильямса.

Полноценный тор, дважды обернутый внутрь другого полнотория в R ³

Первые шесть шагов в построении аттрактора Смейла-Вильямса.

Каждый соленоид может быть построен как пересечение вложенной системы полноторий в R ³ .

Зафиксируем последовательность натуральных чисел { n _i }, n _i ≥ 2. Пусть T ₀ = S ¹ × D - полноторие . Для каждого i ≥ 0 выберем полноторие T _{i +1} , которое n _i раз завернуто в продольном направлении внутрь полнотория T _i . Тогда их пересечение

${\ Displaystyle \ Lambda = \ bigcap _ {я \ geq 0} T_ {я}}$

это гомеоморфный к соленоиду , построенный как обратный предел системы окружностей с картами определяются последовательностью { п _я }.

Вот вариант этой конструкции, выделенный Стивеном Смейлом в качестве примера расширяющегося аттрактора в теории гладких динамических систем. Обозначим координат угловой на окружности S ¹ по т (определяется по модулю 2л) и рассмотрим комплексную координату г на двумерной единичного круга D . Пусть f - отображение полнотория T = S ¹ × D в себя, заданное явной формулой

${\ displaystyle f (t, z) = \ left (2t, {\ tfrac {1} {4}} z + {\ tfrac {1} {2}} e ^ {it} \ right).}$

Эта карта является гладким вложением из Т в себя , что сохраняет слоение на меридиональных дисков (константы 1/2 и 1/4 несколько произвольно, но важно , что 1/4 <1/2 и 1/4 + 1 / 2 <1). Если представить T как резиновую трубку, карта f растягивает ее в продольном направлении, сжимает каждый меридиональный диск и дважды оборачивает деформированную трубку внутри T со скручиванием, но без самопересечений. Гиперболическое множество Λ дискретной динамической системы ( Т , е ) является пересечение последовательности вложенных полноторий описаны выше, где Т _я есть образ T под I - й итерации отображения F . Это множество является одномерным (в смысле топологической размерности ) аттрактором , и динамика f на Λ обладает следующими интересными свойствами:

• меридиональные диски - это устойчивые многообразия , каждое из которых пересекает Λ над канторовым множеством
• периодические точки из F являются плотными в Л
• отображение F является топологический транзитивен на Л

Общая теория соленоидов и расширяющиеся аттракторы, не обязательно одномерных, была разработана РФ Williams и включает в себя проективную систему бесконечного числа копий компакта - разветвленного многообразия вместо окружности, вместе с расширяющимся самостоятельным погружением .

Патологические свойства

Соленоиды - это компактные метризуемые пространства , которые связаны , но не связаны локально или линейно . Это отражается в их патологическом поведении по отношению к различным теориям гомологии , в отличие от стандартных свойств гомологии для симплициальных комплексов . В гомологиях Чеха можно построить неточную длинную последовательность гомологий, используя соленоид. В теориях гомологии стиля Стинрода 0-я группа гомологий соленоида может иметь довольно сложную структуру, даже если соленоид является связным пространством.

Смотрите также

• Protorus , класс топологических групп, включающий соленоиды
• Понтрягинская двойственность
• Обратный предел
• p-адическое число
• Бесконечное целое число

Рекомендации

• Д. ван Данциг, Ueber topologisch homogen Kontinua , Fund. Математика. 15 (1930), стр. 102–125.
• "Соленоид" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Кларк Робинсон, Динамические системы: стабильность, символическая динамика и хаос , 2-е издание, CRC Press, 1998 ISBN   978-0-8493-8495-0
• С. Смейл, Дифференцируемые динамические системы , Бюлл. АМН , 73 (1967), 747 - 817.
• L. Vietoris, Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen , Math. Аня. 97 (1927), стр. 454–472
• Роберт Ф. Уильямс, Расширяющиеся аттракторы , Publ. Математика. ИГЭС, т. 43 (1974), стр. 169–203

дальнейшее чтение

• Семмс, Стивен (12 января 2012 г.), Некоторые замечания о соленоидах , arXiv : 1201.2647 , Bibcode : 2012arXiv1201.2647S