Полупримитивное кольцо - Semiprimitive ring

В алгебре полупримитивное кольцо или полупростое кольцо Джекобсона или J-полупростое кольцо - это кольцо, радикал Джекобсона которого равен нулю. Это тип кольца более общий, чем полупростое кольцо , но в нем простые модули по- прежнему предоставляют достаточно информации о кольце. Кольца, такие как кольцо целых чисел, полупримитивны, а артиново полупримитивное кольцо - это просто полупростое кольцо . Полупросты кольца могут быть поняты как подпрямые продукты из примитивных колец , которые описаны с помощью теоремы плотности Jacobson .

Определение

Кольцо называется полупримитивным или полупростым Джекобсона, если его радикал Джекобсона является нулевым идеалом .

Кольцо полупроста тогда и только тогда , когда она имеет верный полупростую левый модуль . Полупримитивность является симметричной слева и справа, поэтому кольцо полупримитивно тогда и только тогда, когда оно имеет точный полупростой правый модуль.

Кольцо полупримитивно тогда и только тогда, когда оно является подпрямым произведением левых примитивных колец .

Коммутативное кольцо является полупростым тогда и только тогда , когда это подпрямое произведение полей , ( Lam +1995 , стр. 137).

Левое артиновы кольцо является полупростым тогда и только тогда , когда это полупрост , ( Lam 2001 , стр. 54). Такие кольца иногда называют полупростыми артиновыми ( Келарев 2002 , с. 13).

Примеры

  • Кольцо целых чисел полупримитивно, но не полупросто.
  • Всякое примитивное кольцо полупримитивно.
  • Произведение двух полей полупримитивно, но не примитивно.
  • Каждое регулярное кольцо фон Неймана полупримитивно.

Якобсона сам определил кольцо , чтобы быть «полупрост» , если и только если это подпрямый продукт из простых колец , ( Jacobson 1989 , стр. 203). Однако это более строгое понятие, поскольку кольцо эндоморфизмов счетно бесконечномерного векторного пространства полупримитивно, но не является подпрямым произведением простых колец ( Лам 1995 , стр. 42).

Ссылки

  • Джейкобсон, Натан (1989), Основная алгебра II (2-е изд.), WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5
  • Лам, Цит-Юэн (1995), Упражнения по классической теории колец , Проблемные книги по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94317-6, Руководство по ремонту  1323431
  • Лам, Цит-Юэн (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95325-0
  • Келарев, Андрей В. (2002), Кольцевые конструкции и приложения , World Scientific, ISBN 978-981-02-4745-4