Центральная простая алгебра - Central simple algebra

В теории колец и смежных областях математики центральная простая алгебра ( CSA ) над полем K является конечномерен ассоциативная K - алгебра , которая является простой , и для которых центр точно K . В качестве примера отметим, что любая простая алгебра является центральной простой алгеброй над своим центром.

Например, комплексные числа C образуют CSA над собой, но не над действительными числами R (центр C - это все C , а не только R ). В кватернионах Н образуют 4-мерную CSA над R , а на самом деле представляют собой единственный нетривиальный элемент группы Брауэра из чисел (см ниже).

Для двух центральных простых алгебр A ~ M ( n , S ) и B ~ M ( m , T ) над одним и тем же полем F , A и B называются подобными (или эквивалентными по Брауэру ), если их тела S и T изоморфны. Множество всех классов эквивалентности центральных простых алгебр над данным полем F при этом отношении эквивалентности можно снабдить групповой операцией, задаваемой тензорным произведением алгебр . В результате чего группа называется группой Брауэра Br ( F ) поля F . Это всегда торсионная группа .

Свойства

  • Согласно артиновскому-Wedderburn теоремы конечномерные простой алгебры А изоморфна алгебре матриц М ( п , S ) для некоторого деления кольца S . Следовательно, в каждом классе эквивалентности Брауэра есть единственная алгебра с делением.
  • Каждый автоморфизм центральной простой алгебры является внутренним автоморфизмом (следует из теоремы Сколема – Нётер ).
  • Размерность центральной простой алгебры как векторное пространство над его центром всегда площадь: степень представляет собой квадратный корень из этого измерения. Индекс Шура центральной простой алгебры - это степень эквивалентной алгебры с делением: он зависит только от класса Брауэра алгебры.
  • Период или показатель центральной простой алгебры является порядок ее класса Брауэра как элемент группы Брауэра. Это делитель индекса, а два числа состоят из одних и тех же простых множителей.
  • Если S является простой подалгебры центральной простой алгебры А то тусклый F  S делит тусклый F  A .
  • Всякая 4-мерная центральная простая алгебра над полем F изоморфна алгебре кватернионов ; по сути, это либо матричная алгебра два на два , либо алгебра с делением .
  • Если D - центральная алгебра с делением над K, для которой индекс имеет разложение на простые множители
то D имеет разложение на тензорное произведение
где каждая компонента D i является центральной алгеброй индекса с делением , а компоненты определены однозначно с точностью до изоморфизма.

Поле разделения

Мы называем поле E в поле расщепления для А над К , если ⊗ E изоморфно кольцу матриц над Е . Каждый конечномерно CSA имеет поле разложения: в самом деле, в случае , когда является алгеброй с делением, то максимальный подполом в А является полем расщепления. В целом по теоремы Wedderburn и Кйте есть поле расщепления , которое является сепарабельным расширением из K степени равен индексу А , и это поле расщепления изоморфна подполе А . Например, поле C разбивает алгебру кватернионов H над R с

Мы можем использовать существование поля разложения определить пониженную норму и уменьшенную трассировку для CSA A . Сопоставьте A с кольцом матриц над полем разбиения и определите приведенную норму и след как составные части этой карты с определителем и следом соответственно. Например, в алгебре кватернионов H приведенное выше расщепление показывает, что элемент t + x i + y j + z k имеет уменьшенную норму t 2 + x 2 + y 2 + z 2 и уменьшенный след 2 t .

Приведенная норма является мультипликативной, а приведенный след - аддитивным. Элемент a из A обратим тогда и только тогда, когда его приведенная норма не равна нулю: следовательно, CSA является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда приведенная норма отлична от нуля на ненулевых элементах.

Обобщение

CSA над полем K являются некоммутативным аналогом полей расширения над K - в обоих случаях они не имеют нетривиальных двусторонних идеалов и имеют выделенное поле в своем центре, хотя CSA может быть некоммутативным и не обязательно иметь обратные (не обязательно алгебра с делением ). Это представляет особый интерес в некоммутативной теории чисел как обобщение числовых полей (расширение рациональных чисел Q ); см. некоммутативное числовое поле .

Смотрите также

Ссылки

дальнейшее чтение