Артинианское кольцо - Artinian ring

В абстрактной алгебре , артиново кольцо (иногда артиново кольцо ) представляет собой кольцо , который удовлетворяет убывающую цепочка состояние на идеалах ; то есть не существует бесконечной нисходящей последовательности идеалов. Артиновы кольца названы в честь Эмиля Артина , который первым обнаружил, что условие убывающей цепи для идеалов одновременно обобщает конечные кольца и кольца, которые являются конечномерными векторными пространствами над полями . Определение артиновых колец можно переформулировать, заменив условие убывающей цепи на эквивалентное понятие: условие минимума .

Кольцо является артиновым слева, если оно удовлетворяет условию нисходящей цепочки для левых идеалов, артиново справа, если оно удовлетворяет условию нисходящей цепочки для правых идеалов, и артиново или двусторонне артиново, если оно является одновременно левым и правым артиновым. Для коммутативных колец левые и правые определения совпадают, но в целом они отличны друг от друга.

Теорема Артина – Веддерберна характеризует каждое простое артиново кольцо как кольцо матриц над телом . Отсюда следует, что простое кольцо артиново слева тогда и только тогда, когда оно артиново справа.

То же определение и терминология могут быть применены к модулям с заменой идеалов на подмодули.

Хотя условие нисходящей цепи кажется двойственным условию восходящей цепи , в кольцах оно фактически является более сильным условием. В частности, следствием теоремы Акизуки – Хопкинса – Левицки является то, что левое (соответственно правое) артиново кольцо автоматически является левым (соответственно правым) нётеровым кольцом . Это не верно для общих модулей; то есть артиновый модуль не обязательно должен быть нетеровым модулем .

Примеры

  • Целостные артины тогда и только тогда , когда это поле.
  • Кольцо с конечным числом, скажем, левых идеалов остается артиновым слева. В частности, конечное кольцо (например, ) артиново слева и справа.
  • Пусть k - поле. Тогда является артиновым для любого натурального n .
  • Аналогично артиново кольцо с максимальным идеалом
  • Если I - ненулевой идеал дедекиндовской области A , то - главное артиново кольцо.
  • Для каждого из них полное кольцо матриц над артиновым слева (соответственно нётеровым слева) кольцом R является артиновым слева (соответственно нётеровым слева).

Кольцо целых чисел - нётерово кольцо, но не артиново.

Модули над артиновыми кольцами

Пусть M - левый модуль над артиновым слева кольцом. Тогда следующие условия эквивалентны ( теорема Хопкинса ): (i) M конечно порождено, (ii) M имеет конечную длину (т.е. имеет композиционный ряд ), (iii) M нётерово, (iv) M артиново.

Коммутативные артиновы кольца

Пусть A - коммутативное нётерово кольцо с единицей. Тогда следующие эквивалентны.

  • А артиниан.
  • A - конечное произведение коммутативных артиновых локальных колец .
  •  / Ноль ( ) представляет собой полупростое кольцо , где ноль ( ) является нильрадикал из A .
  • Каждый конечно порожденный модуль над A имеет конечную длину. (см. выше)
  • А имеет нулевую размерность Крулля . (В частности, нильрадикал - это радикал Джекобсона, поскольку простые идеалы максимальны.)
  • конечно и дискретно.
  • дискретно.

Пусть к полю и конечно порожденным к -алгебре. Тогда A артиново тогда и только тогда, когда A конечно порождена как k -модуль.

Артиново локальное кольцо полно. Фактор и локализация артиново кольца артиновы.

Кольцо Simple Artinian

Простое артиново кольцо A - это матричное кольцо над телом. Действительно, пусть я быть минимальной (ненулевой) правый идеал А . Тогда, поскольку - двусторонний идеал, поскольку A прост. Таким образом, мы можем выбрать так, чтобы . Предположим, что k минимально относительно этого свойства. Рассмотрим карту правых A -модулей:

Это сюръективно. Если не инъективно, то, скажем, с ненулевым . Тогда, в силу минимальности I , мы имеем: . Следует:

,

что противоречит минимальности k . Отсюда и так .

Смотрите также

Заметки

  1. ^ Теорема 20.11. из http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf Архивировано 14 декабря 2010 г. на Wayback Machine
  2. Cohn 2003 , 5.2 Упражнение 11
  3. Бурбаки , VIII, стр. 7
  4. Атья и Макдональд,  1969 , теоремы 8.7.
  5. Перейти ↑ Atiyah & Macdonald  1969 , теоремы 8.5
  6. Перейти ↑ Atiyah & Macdonald  1969 , Ch. 8, упражнение 2.
  7. ^ Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраическую K-теорию , Annals of Mathematics Studies, 72 , Princeton, NJ: Princeton University Press , p. 144, Руководство по ремонту   0349811 , Zbl   0237.18005

Рекомендации