Артинианское кольцо - Artinian ring
В абстрактной алгебре , артиново кольцо (иногда артиново кольцо ) представляет собой кольцо , который удовлетворяет убывающую цепочка состояние на идеалах ; то есть не существует бесконечной нисходящей последовательности идеалов. Артиновы кольца названы в честь Эмиля Артина , который первым обнаружил, что условие убывающей цепи для идеалов одновременно обобщает конечные кольца и кольца, которые являются конечномерными векторными пространствами над полями . Определение артиновых колец можно переформулировать, заменив условие убывающей цепи на эквивалентное понятие: условие минимума .
Кольцо является артиновым слева, если оно удовлетворяет условию нисходящей цепочки для левых идеалов, артиново справа, если оно удовлетворяет условию нисходящей цепочки для правых идеалов, и артиново или двусторонне артиново, если оно является одновременно левым и правым артиновым. Для коммутативных колец левые и правые определения совпадают, но в целом они отличны друг от друга.
Теорема Артина – Веддерберна характеризует каждое простое артиново кольцо как кольцо матриц над телом . Отсюда следует, что простое кольцо артиново слева тогда и только тогда, когда оно артиново справа.
То же определение и терминология могут быть применены к модулям с заменой идеалов на подмодули.
Хотя условие нисходящей цепи кажется двойственным условию восходящей цепи , в кольцах оно фактически является более сильным условием. В частности, следствием теоремы Акизуки – Хопкинса – Левицки является то, что левое (соответственно правое) артиново кольцо автоматически является левым (соответственно правым) нётеровым кольцом . Это не верно для общих модулей; то есть артиновый модуль не обязательно должен быть нетеровым модулем .
Примеры
- Целостные артины тогда и только тогда , когда это поле.
- Кольцо с конечным числом, скажем, левых идеалов остается артиновым слева. В частности, конечное кольцо (например, ) артиново слева и справа.
- Пусть k - поле. Тогда является артиновым для любого натурального n .
- Аналогично артиново кольцо с максимальным идеалом
- Если I - ненулевой идеал дедекиндовской области A , то - главное артиново кольцо.
- Для каждого из них полное кольцо матриц над артиновым слева (соответственно нётеровым слева) кольцом R является артиновым слева (соответственно нётеровым слева).
Кольцо целых чисел - нётерово кольцо, но не артиново.
Модули над артиновыми кольцами
Пусть M - левый модуль над артиновым слева кольцом. Тогда следующие условия эквивалентны ( теорема Хопкинса ): (i) M конечно порождено, (ii) M имеет конечную длину (т.е. имеет композиционный ряд ), (iii) M нётерово, (iv) M артиново.
Коммутативные артиновы кольца
Пусть A - коммутативное нётерово кольцо с единицей. Тогда следующие эквивалентны.
- А артиниан.
- A - конечное произведение коммутативных артиновых локальных колец .
- / Ноль ( ) представляет собой полупростое кольцо , где ноль ( ) является нильрадикал из A .
- Каждый конечно порожденный модуль над A имеет конечную длину. (см. выше)
- А имеет нулевую размерность Крулля . (В частности, нильрадикал - это радикал Джекобсона, поскольку простые идеалы максимальны.)
- конечно и дискретно.
- дискретно.
Пусть к полю и конечно порожденным к -алгебре. Тогда A артиново тогда и только тогда, когда A конечно порождена как k -модуль.
Артиново локальное кольцо полно. Фактор и локализация артиново кольца артиновы.
Кольцо Simple Artinian
Простое артиново кольцо A - это матричное кольцо над телом. Действительно, пусть я быть минимальной (ненулевой) правый идеал А . Тогда, поскольку - двусторонний идеал, поскольку A прост. Таким образом, мы можем выбрать так, чтобы . Предположим, что k минимально относительно этого свойства. Рассмотрим карту правых A -модулей:
Это сюръективно. Если не инъективно, то, скажем, с ненулевым . Тогда, в силу минимальности I , мы имеем: . Следует:
- ,
что противоречит минимальности k . Отсюда и так .
Смотрите также
- Алгебра Артина
- Артинианский идеал
- Последовательный модуль
- Полусовершенное кольцо
- Кольцо Горенштейна
- Кольцо Нётериана
Заметки
- ^ Теорема 20.11. из http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf Архивировано 14 декабря 2010 г. на Wayback Machine
- ↑ Cohn 2003 , 5.2 Упражнение 11
- ↑ Бурбаки , VIII, стр. 7
- ↑ Атья и Макдональд, 1969 , теоремы 8.7.
- Перейти ↑ Atiyah & Macdonald 1969 , теоремы 8.5
- Перейти ↑ Atiyah & Macdonald 1969 , Ch. 8, упражнение 2.
- ^ Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраическую K-теорию , Annals of Mathematics Studies, 72 , Princeton, NJ: Princeton University Press , p. 144, Руководство по ремонту 0349811 , Zbl 0237.18005
Рекомендации
- Ауслендер, Морис; Рейтен, Идун; Смало, Сверре О. (1995), Теория представлений алгебр Артина , Кембриджские исследования по высшей математике, 36 , Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511623608 , ISBN 978-0-521-41134-9 , Руководство по ремонту 1314422
- Бурбаки, Альжебр
- Чарльз Хопкинс. Кольца с условием минимальности левых идеалов. Аня. математики. (2) 40, (1939). 712–730.
- Атия, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
- Кон, Пол Мориц (2003). Базовая алгебра: группы, кольца и поля . Springer. ISBN 978-1-85233-587-8 .