Теория колец - Ring theory

В алгебре , теории колец является изучение колец - алгебраических структур , в которых сложение и умножение определены и имеют аналогичные свойства этих операций , определенных для целых чисел . Теория колец изучает структуру колец, их представления или, на другом языке, модули , специальные классы колец ( групповые кольца , тела , универсальные обертывающие алгебры ), а также ряд свойств, которые оказались интересными как внутри сама теория и ее приложения, такие как гомологические свойства и полиномиальные тождества .

Коммутативные кольца изучены гораздо лучше, чем некоммутативные. Алгебраическая геометрия и теория алгебраических чисел , которые предоставляют множество естественных примеров коммутативных колец, во многом определили развитие коммутативной теории колец, которая теперь, под названием коммутативной алгебры , является основной областью современной математики. Поскольку эти три области (алгебраическая геометрия, алгебраическая теория чисел и коммутативная алгебра) так тесно связаны, обычно трудно и бессмысленно решить, к какой области принадлежит конкретный результат. Например, Nullstellensatz Гильберта - это теорема, которая является фундаментальной для алгебраической геометрии, сформулирована и доказана в терминах коммутативной алгебры. Точно так же Великая теорема Ферма сформулирована в терминах элементарной арифметики , которая является частью коммутативной алгебры, но ее доказательство включает глубокие результаты как алгебраической теории чисел, так и алгебраической геометрии.

Некоммутативные кольца сильно различаются по своему вкусу, поскольку могут возникнуть более необычное поведение. Хотя теория развивалась сама по себе, относительно недавняя тенденция была направлена на параллельное развитие коммутативности путем построения теории некоторых классов некоммутативных колец геометрическим способом, как если бы они были кольцами функций на (несуществующих) некоммутативных кольцах. пробелы '. Эта тенденция началась в 1980-х годах с развитием некоммутативной геометрии и с открытием квантовых групп . Это привело к лучшему пониманию некоммутативных колец, особенно некоммутативных нётеровых колец .

Для определения кольца и основных понятий и их свойств см Кольцо (математика) . Определения терминов, используемых в теории колец, можно найти в Глоссарии теории колец .

Коммутативные кольца

Кольцо называется коммутативным, если его умножение коммутативно . Коммутативные кольца напоминают знакомые системы счисления, и различные определения коммутативных колец предназначены для формализации свойств целых чисел . Коммутативные кольца также важны в алгебраической геометрии . В теории коммутативных колец числа часто заменяются идеалами , а определение простого идеала пытается уловить суть простых чисел . Целочисленные области , нетривиальные коммутативные кольца, где никакие два ненулевых элемента не умножаются, чтобы дать ноль, обобщают другое свойство целых чисел и служат надлежащей областью для изучения делимости. Области главных идеалов - это целостные области, в которых каждый идеал может быть порожден одним элементом, а другое свойство разделяется целыми числами. Евклидовы области - это целостные области, в которых может выполняться алгоритм Евклида . Важные примеры коммутативных колец могут быть построены как кольца многочленов и их фактор-кольца. Реферат: Евклидова область ⊂ область главных идеалов ⊂ область единственной факторизации ⊂ область целостности ⊂ коммутативное кольцо .

Алгебраическая геометрия

Алгебраическая геометрия во многом является зеркальным отражением коммутативной алгебры. Это соответствие началось с Nullstellensatz Гильберта, который устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками алгебраического многообразия и максимальными идеалами его координатного кольца . Это соответствие было расширено и систематизировано для перевода (и доказательства) большинства геометрических свойств алгебраических многообразий в алгебраические свойства ассоциированных коммутативных колец. Александр Гротендик завершил это, введя схемы , обобщение алгебраических многообразий, которые могут быть построены из любого коммутативного кольца. Точнее, спектр коммутативного кольца - это пространство его первичных идеалов, снабженное топологией Зарисского и дополненное пучком колец. Эти объекты представляют собой «аффинные схемы» (обобщение аффинных многообразий ), и общая схема затем получается путем «склейки» (чисто алгебраическими методами) нескольких таких аффинных схем по аналогии со способом построения многообразия путем склеивания вместе. то графики А. Н. атласе .

Некоммутативные кольца

Некоммутативные кольца во многом напоминают кольца матриц . Следуя модели алгебраической геометрии , недавно были предприняты попытки определить некоммутативную геометрию на основе некоммутативных колец. Некоммутативные кольца и ассоциативные алгебры (кольца, которые также являются векторными пространствами ) часто изучаются через их категории модулей. Модуль над кольцом является абелевой группой , что кольцо действует на как кольцо эндоморфизмов , очень похожее на пути полей (интегральных областей , в которых каждый ненулевой элемент обратим) действуют на векторных пространствах. Примеры некоммутативных колец даются кольцами квадратных матриц или, в более общем смысле, кольцами эндоморфизмов абелевых групп или модулей, а также кольцами моноидов .

Теория представлений

Теория представлений - это раздел математики, который в значительной степени опирается на некоммутативные кольца. Она изучает абстрактные алгебраические структуры с помощью представляющих их элементов , как линейные преобразования из векторных пространств , и исследования модулей над этими абстрактными алгебраическими структурами. В сущности, представление делает абстрактный алгебраический объект более конкретным, описывая его элементы от матриц и алгебраических операций в терминах сложения матриц и умножение матриц , которая является некоммутативной. В алгебраических объектах поддаются такое описание в включают группы , ассоциативные алгебры и алгебры Ли . Самая известная из них (и исторически первая) - это теория представлений групп , в которой элементы группы представлены обратимыми матрицами таким образом, что групповой операцией является матричное умножение.

Некоторые релевантные теоремы

Общий

Структурные теоремы

Теорема Артина – Веддерберна определяет структуру полупростых колец
Теорема плотности Джекобсона определяет структуру примитивных колец
Теорема Голди определяет структуру полупервичных колец Голди
Теорема Зарисского – Самуэля определяет структуру коммутативного кольца главных идеалов
Теорема Хопкинса – Левицки дает необходимые и достаточные условия того, что нётерово кольцо является артиновым кольцом.
Теория Морита состоит из теорем, определяющих, когда два кольца имеют "эквивалентные" модульные категории.
Теорема Картана – Брауэра – Хуа дает представление о строении тел.
Маленькая теорема Веддерберна утверждает, что конечные области являются полями

Другой

Skolem-Нётер характеризует автоморфизмы из простых колец

Структуры и инварианты колец.

Размерность коммутативного кольца

В этом разделе R обозначает коммутативное кольцо. Размерность Крулля из R представляет собой грань длин п всех цепочек простых идеалов . Оказывается, кольцо многочленов над полем k имеет размерность n . Основная теорема теории размерности утверждает, что следующие числа совпадают для нётерова локального кольца : ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {0} \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle к [т_ {1}, \ cdots, т_ {п}]}$ ${\ displaystyle (R, {\ mathfrak {m}})}$

Размерность Крулля R .
Минимальное количество образующих -первичных идеалов. ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$
Размерность градуированного кольца (эквивалентно 1 плюс степень его полинома Гильберта ). ${\ displaystyle \ textstyle \ operatorname {gr} _ {\ mathfrak {m}} (R) = \ bigoplus _ {k \ geq 0} {\ mathfrak {m}} ^ {k} / {{\ mathfrak {m} } ^ {k + 1}}}$

Коммутативное кольцо R называется цепным, если для каждой пары простых идеалов существует конечная цепочка простых идеалов , максимальная в том смысле, что невозможно вставить дополнительный простой идеал между двумя идеалами в цепи, и все такие максимальные цепи между и имеют одинаковую длину. Практически все нётерские кольца, появляющиеся в приложениях, являются цепными. Ratliff доказал , что нётерово локальное целостное R является цепным тогда и только тогда , когда для любого простого идеала , ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ subset {\ mathfrak {p}} '}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} = {\ mathfrak {p}} _ {0} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {n} = {\ mathfrak {p}} '}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} '}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

{\ displaystyle \ operatorname {dim} R = \ operatorname {ht} {\ mathfrak {p}} + \ operatorname {dim} R / {\ mathfrak {p}}}

где есть высота из . ${\ displaystyle \ operatorname {ht} {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

Если R - область целостности, которая является конечно порожденной k -алгеброй, то ее размерность - это степень трансцендентности ее поля частных над k . Если S является целым расширением коммутативного кольца R , то S и R имеют одинаковую размерность.

Тесно связанные концепции - это концепции глубины и глобального измерения . В общем, если R представляет собой нётерово локальное кольцо, то глубина R меньше или равна размерности R . В случае выполнения равенства R называется кольцом Коэна – Маколея . Регулярное локальное кольцо является примером кольца Коэна-Маколея. Это теорема Серра , что R является регулярным локальным кольцом , если и только если оно имеет конечную глобальную размерность и в этом случае глобальное измерение является размерность Крулля R . Смысл этого в том, что глобальное измерение является гомологическим понятием.

Эквивалентность Морита

Два кольца R , S , называются Морита эквивалент , если категория левых модулей над R эквивалентна категории левых модулей над S . Фактически, два коммутативных кольца, эквивалентных Морите, должны быть изоморфны, поэтому это понятие не добавляет ничего нового в категорию коммутативных колец. Однако коммутативные кольца могут быть эквивалентны по Морите некоммутативным кольцам, поэтому эквивалентность по Морите более грубая, чем изоморфизм. Эквивалентность Морита особенно важна в алгебраической топологии и функциональном анализе.

Конечно порожденный проективный модуль над кольцом и группа Пикара

Пусть R - коммутативное кольцо и множество классов изоморфизма конечно порожденных проективных модулей над R ; пусть также подмножества, состоящие из подмножеств постоянного ранга n . (Ранг модуля M - непрерывная функция .) Обычно обозначается Pic ( R ). Это абелева группа называется группой Пикара из R . Если R является областью целостности с полем фракции F из R , то существует точная последовательность групп: ${\ Displaystyle \ mathbf {P} (R)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} _ {n} (R)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} R \ to \ mathbb {Z}, \, {\ mathfrak {p}} \ mapsto \ dim M \ otimes _ {R} k ({\ mathfrak {p}})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {1} (R)}$

{\ displaystyle 1 \ to R ^ {*} \ to F ^ {*} {\ overset {f \ mapsto fR} {\ to}} \ operatorname {Cart} (R) \ to \ operatorname {Pic} (R) \ to 1}

где есть множество дробных идеалов из R . Если R является регулярным доменом (то есть, регулярный в любом простом идеале), то Pic (R) является именно класс делителя группой из R . ${\ displaystyle \ operatorname {Cart} (R)}$

Например, если R - область главных идеалов, то Pic ( R ) обращается в нуль. В алгебраической теории чисел под R будет пониматься кольцо целых чисел , которое является дедекиндовым и, следовательно, правильным. Отсюда следует, что Pic ( R ) - конечная группа ( конечность числа классов ), которая измеряет отклонение кольца целых чисел от PID.

Можно также рассмотреть вопрос о завершении группы из ; это приводит к коммутативному кольцу K ₀ (R). Заметим, что K ₀ (R) = K ₀ (S), если два коммутативных кольца R , S эквивалентны по Морите. ${\ Displaystyle \ mathbf {P} (R)}$

Структура некоммутативных колец

Структура некоммутативного кольца сложнее, чем коммутативного кольца. Например, существуют простые кольца, не содержащие нетривиальных собственных (двусторонних) идеалов, которые содержат нетривиальные собственные левые или правые идеалы. Для коммутативных колец существуют различные инварианты, тогда как инварианты некоммутативных колец найти сложно. Например, нильрадикал кольца , множество всех нильпотентных элементов, не обязательно должен быть идеалом, если кольцо не коммутативно. В частности, набор всех нильпотентных элементов в кольце всех матриц размера n x n над телом никогда не образует идеала, независимо от выбранного тела. Однако существуют аналоги нильрадикала, определенного для некоммутативных колец, которые совпадают с нильрадикалом, когда предполагается коммутативность.

Понятие радикала Джекобсона кольца; то есть пересечение всех правых / левых аннуляторов из простых правых левых модулей / над кольцом, является одним из примеров. Тот факт, что радикал Джекобсона можно рассматривать как пересечение всех максимальных правых / левых идеалов в кольце, показывает, как внутренняя структура кольца отражается его модулями. Также факт, что пересечение всех максимальных правых идеалов в кольце совпадает с пересечением всех максимальных левых идеалов в кольце в контексте всех колец; коммутативные или некоммутативные.

Некоммутативные кольца служат активной областью исследований из-за их повсеместного распространения в математике. Например, кольцо п матрица с размерностью п матрицы над полем некоммутативно несмотря на его естественное явление в геометрии , физике и многих частях математики. В более общем смысле, кольца эндоморфизмов абелевых групп редко бывают коммутативными, простейшим примером является кольцо эндоморфизмов четырехгруппы Клейна .

Одно из самых известных некоммутативных колец - это тело кватернионов .

Приложения

Кольцо целых чисел числового поля

Координатное кольцо алгебраического многообразия

Если X является аффинным алгебраическим многообразием , то множество всех регулярных функций на X образует кольцо называется координатным кольцом из X . Для проективного многообразия существует аналогичное кольцо, называемое однородным координатным кольцом . Эти кольца по сути то же самое, что и разновидности: они по сути уникальным образом соответствуют друг другу. Это можно увидеть либо с помощью Nullstellensatz Гильберта, либо с помощью теоретико-схемных конструкций (например, Spec и Proj).

Кольцо инвариантов

Основной (и , возможно , самый фундаментальный) вопрос в классической теории инвариантной найти и изучение многочленов в кольце многочленов , которые инвариантны относительно действия конечной группы (или в более общем смысле восстановительным) G на V . Основным примером является кольцо симметричных многочленов : симметричные многочлены - это многочлены, которые инвариантны относительно перестановки переменной. Фундаментальная теорема симметрических многочленов утверждает , что это кольцо , где элементарные симметрические многочлены. ${\ displaystyle k [V]}$ ${\ Displaystyle R [\ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {n}]}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {я}}$

История

Коммутативная теория колец возникла из теории алгебраических чисел, алгебраической геометрии и теории инвариантов . Центральное место в развитии этих предметов занимали кольца целых чисел в полях алгебраических чисел и полях алгебраических функций, а также кольца полиномов от двух или более переменных. Некоммутативная теория колец началась с попыток распространить комплексные числа на различные гиперкомплексные системы счисления. Возникновение теорий коммутативных и некоммутативных колец восходит к началу XIX века, а их зрелость наступила только в третьем десятилетии XX века.

Точнее, Уильям Роуэн Гамильтон выдвинул кватернионы и бикватернионы ; Джеймс Кокл представил тессарины и кокватернионы ; и Уильям Кингдон Клиффорд был энтузиастом расщепленных бикватернионов , которые он назвал алгебраическими двигателями . Эти некоммутативные алгебры и неассоциативные алгебры Ли изучались в рамках универсальной алгебры до того, как предмет был разделен на определенные математические структурные типы. Одним из признаков реорганизации было использование прямых сумм для описания алгебраической структуры.

Различные гиперкомплексные числа были идентифицированы с матричными кольцами с помощью Джозефа Wedderburn (1908) и Артином (1928). Структурные теоремы Веддерберна были сформулированы для конечномерных алгебр над полем, а Артин обобщил их на артиновы кольца .

В 1920 году Эмми Нётер в сотрудничестве с В. Шмайдлером опубликовала статью о теории идеалов, в которой они определили левый и правый идеалы в кольце . В следующем году она опубликовала знаменательную статью под названием Idealtheorie in Ringbereichen , в которой анализировались условия восходящей цепи с точки зрения (математических) идеалов. Известный алгебраист Ирвинг Каплански назвал эту работу «революционной»; публикация дала начало термину « нётерианское кольцо » и несколько других математических объектов, названных нётерановым .

Примечания

использованная литература

Алленби, RBJT (1991), Кольца, поля и группы (второе изд.), Эдвард Арнольд, Лондон, стр. xxvi + 383 , ISBN 0-7131-3476-3, Руководство по ремонту 1144518
Blyth, TS; Робертсон, EF (1985), Группы, кольца и поля: алгебра через практику, Книга 3 , Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 0-521-27288-2
Вера, Карл (1999), Кольца и вещи и прекрасный массив ассоциативной алгебры двадцатого века , Математические обзоры и монографии, 65 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0993-8, Руководство по ремонту 1657671
Goodearl, KR; Варфилд, РБ, младший (1989), Введение в некоммутативные нётерские кольца , Тексты студентов Лондонского математического общества, 16 , Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-36086-2, MR 1020298
Джадсон, Томас В. (1997), Абстрактная алгебра: теория и приложения
Кимберлинг, Кларк (1981), «Эмми Нётер и ее влияние», Брюэр, Джеймс В. Смит, Марта К. (ред.), Эмми Нётер: дань уважения ее жизни и работе , Марсель Деккер , стр. 3–61.
Лам, Т.Ю. (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике, 189 , Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8 , ISBN 0-387-98428-3, Руководство по ремонту 1653294
Лам, Т.Ю. (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Тексты для выпускников по математике, 131 (второе издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4419-8616-0 , ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439
Лам, Т.Ю. (2003), Упражнения по классической теории колец , Проблемные книги по математике (второе издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-00500-5, Руководство по ремонту 2003255
Мацумура, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец , Кембриджские исследования по высшей математике, 8 (второе изд.), Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 0-521-36764-6, MR 1011461
МакКоннелл, JC; Робсон, Дж. К. (2001), Некоммутативные нётерановы кольца , Аспирантура по математике, 30 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, DOI : 10.1090 / gsm / 030 , ISBN 0-8218-2169-5, MR 1811901
О'Коннор, Джей Джей; Робертсон, EF (сентябрь 2004 г.), "Развитие теории колец" , Архив истории математики MacTutor
Пирс, Ричард С. (1982), Ассоциативные алгебры , Тексты для выпускников по математике, 88 , Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90693-2, Руководство по ремонту 0674652
Роуэн, Луи Х. (1988), Теория колец, т. I , Чистая и прикладная математика, 127 , Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN 0-12-599841-4, Руководство по ремонту 0940245. Vol. II, Чистая и прикладная математика 128, ISBN 0-12-599842-2 .
Вейбель, Чарльз А. (2013), K-книга: Введение в алгебраическую K-теорию , Аспирантура по математике, 145 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-9132-2, Руководство по ремонту 3076731

Languages

In other projects