Единица (теория колец) - Unit (ring theory)

В ветви абстрактной алгебры , известной как теории колец , А блок из кольца любой элемент , который имеет мультипликативный обратный в : элемент , такой , что

,

где 1 - мультипликативное тождество . Набор единиц U ( R ) кольца образует группу при умножении.

Реже термин « единица» также используется для обозначения элемента 1 кольца в таких выражениях, как « кольцо с единицей» или « единичное кольцо» , а также, например, «единичная» матрица . По этой причине некоторые авторы называют 1 «единством» или «идентичностью» и говорят, что R - это «кольцо с единицей» или «кольцо с идентичностью», а не «кольцо с единицей».

Примеры

Мультипликативное тождество 1 и его аддитивный обратный -1 всегда являются единицами. В более общем смысле, любой корень из единицы в кольце R является единицей: если r n = 1 , то r n  - 1 является мультипликативным обратным к r . В ненулевом кольце , то элемент 0 не является единицей, так что U ( R ) не замкнут относительно того. Кольцо R, в котором каждый ненулевой элемент является единицей (то есть U ( R ) = R - {0} ), называется телом (или телом). Коммутативное тело называется полем . Например, группа единиц поля действительных чисел R - это R - {0 }.

Целые числа

В кольце целых чисел Z единственными единицами являются 1 и -1 .

Кольцо целых чисел в числовом поле может иметь больше единиц в целом. Например, в кольце Z [ 1 + 5 / 2 ], которая возникает при присоединении квадратичного целого числа 1 + 5 / 2 до Z , есть

( 5 + 2) ( 5 - 2) = 1

в кольце, поэтому 5 + 2 - единица. (Фактически, группа единиц этого кольца бесконечна.)

Фактически, теорема Дирихле о единице точно описывает структуру U ( R ) : она изоморфна группе вида

где - (конечная, циклическая) группа корней из единицы в R и n , ранг единичной группы равен

где - количество вещественных вложений и количество пар комплексных вложений F соответственно.

Это восстанавливает приведенный выше пример: группа единиц (кольца целых чисел) вещественного квадратичного поля бесконечна ранга 1, поскольку .

В кольце Z / п Z из целых чисел по модулю п , единицы являются классы конгруэнции ( по модулю п ) представлены целыми числами взаимно простыми с п . Они составляют мультипликативную группу целых чисел по модулю n .

Полиномы и степенные ряды

Для коммутативного кольца R единицы кольца многочленов R [ x ] - это в точности те многочлены

таким образом, что является единицей в R , а остальные коэффициенты являются нильпотентными элементами, то есть, удовлетворяют для некоторого N . В частности, если Р представляет собой домен (не имеет делителей нуля ), то единицы R [ х ] согласуются с одними из R . Блоки силового кольца - это именно те силовые ряды.

таким образом, что является единицей в R .

Матричные кольца

Группа единиц кольца М п ( R ) из п  ×  п матриц над кольцом R представляет собой группу GL п ( Р ) из обратимых матриц . Для коммутативного кольца R , элемент А из М п ( R ) обратим тогда и только тогда , когда определитель из А обратим в R . В этом случае A −1 явно задается правилом Крамера .

В общем

Для элементов x и y в кольце R , если обратимо, то обратимо с обратным . Формулу для обратного можно угадать, но не доказать, следующим вычислением в кольце некоммутативных степенных рядов:

См . Личность Хуа для получения аналогичных результатов.

Группа юнитов

Единицы кольца R образуют группу U ( R ) относительно умножения, на группу единиц из R .

Другие общие обозначения для U ( R ) - R , R × и E ( R ) (от немецкого термина Einheit ).

Коммутативное кольцо является локальным кольцом , если R - U ( R ) является максимальным идеалом .

Как выясняется, если R - U ( R ) является идеалом, то это обязательно максимальный идеал и R является локальным так как максимальный идеал не пересекается с U ( R ) .

Если R - конечное поле , то U ( R ) - циклическая группа порядка .

Формулировка группы единиц определяет функтор U из категории колец в категорию групп :

каждый гомоморфизм колец f  : R S индуцирует гомоморфизм группы U ( f ): U ( R ) → U ( S ) , поскольку f отображает единицы в единицы.

Этот функтор имеет левый сопряженный элемент, который является конструкцией целочисленного группового кольца .

Групповая схема изоморфна мультипликативной групповой схемы над любым основанием, так что для любого коммутативного кольца R , групп и канонически изоморфны . Заметим, что функтор (т.е. ) представим в смысле: для коммутативных колец R (это, например, следует из вышеупомянутого сопряженного отношения с конструкцией группового кольца). Явно это означает, что существует естественная биекция между множеством гомоморфизмов колец и множеством единичных элементов R (напротив, представляет собой аддитивную группу , забывчивый функтор из категории коммутативных колец в категорию абелевых групп).

Ассоциативность

Предположим, что R коммутативно. Элементы r и s в R называются ассоциированными, если существует такая единица u в R , что r = us ; тогда пишем r s . В любом кольце, пары аддитивных обратных элементов х и - х являются ассоциированными . Так , например, 6 и -6 являются ассоциированными в Z . В общем, ~ является отношением эквивалентности на R .

Associatedness также может быть описан в терминах действий на U ( R ) на R с помощью умножения: два элемента R является ассоциированным , если они находятся в одной и тот же U ( R ) - орбита .

В области целостности множество ассоциатов данного ненулевого элемента имеет ту же мощность, что и U ( R ) .

Отношение эквивалентности ~ можно рассматривать как любой из отношений Грина полугруппы специализированных мультипликативной полугруппы коммутативной кольца R .

Смотрите также

Заметки

Цитаты

Источники