Поле алгебраических чисел - Algebraic number field

В математике , поле алгебраических чисел (или просто номер поля ) является расширение поля в поле из рациональных чисел таким образом, что расширение поля имеет конечную степень (и , следовательно , является алгебраическое расширение поля). Таким образом, поле, которое содержит и имеет конечную размерность, если рассматривать его как векторное пространство над .

Изучение полей алгебраических чисел и, в более общем смысле, алгебраических расширений поля рациональных чисел является центральной темой теории алгебраических чисел .

Определение

Предпосылки

Понятие поля алгебраических чисел опирается на понятие поля . Поле состоит из набора элементов вместе с двумя операциями, а именно сложением и умножением , а также некоторыми предположениями о дистрибутивности. Яркий пример поля является полем рациональных чисел , обычно обозначаемых , вместе с обычными операциями сложения и умножения.

Еще одно понятие, необходимое для определения полей алгебраических чисел, - векторные пространства . В той степени, в которой это необходимо здесь, векторные пространства можно рассматривать как состоящие из последовательностей (или кортежей )

( x 1 , x 2 ,…)

записи которого являются элементами фиксированного поля, такого как поле . Любые две такие последовательности можно добавить, добавляя записи по одной. Более того, любая последовательность может быть умножена на единственный элемент c фиксированного поля. Эти две операции, известные как сложение векторов и скалярное умножение, удовлетворяют ряду свойств, которые служат для абстрактного определения векторных пространств. Векторные пространства могут быть «бесконечномерными», то есть последовательности, составляющие векторные пространства, имеют бесконечную длину. Если, однако, векторное пространство состоит из конечных последовательностей

( x 1 , x 2 ,…, x n ),

векторное пространство называется конечной размерности , п .

Определение

Поле алгебраических чисел (или просто номер поля ) является конечно- степень расширения поля поля рациональных чисел. Здесь степень означает размерность поля как векторного пространства над .

Примеры

  • Самое маленькое и самое основное числовое поле - это поле рациональных чисел. Многие свойства общих числовых полей моделируются на основе свойств .
  • В гауссовых рациональные , обозначаемые (читается как « примыкают »), образуют первый нетривиальный пример поля чисел. Его элементы являются выражениями формы
    где a и b - рациональные числа, а i - мнимая единица . Такие выражения можно складывать, вычитать и умножать в соответствии с обычными правилами арифметики, а затем упрощать с использованием тождества
    .
    Ясно,
    Ненулевые гауссовские рациональные числа обратимы , что видно из тождества
    Отсюда следует, что гауссовские рациональные числа образуют числовое поле, которое является двумерным как векторное пространство над
    .
  • В более общем плане , для любого бесквадратного целого числа , квадратичное поле представляет собой поле числа , полученное присоединение квадратного корня к полю рациональных чисел. Арифметические операции в этой области определяется по аналогии со случаем гауссовых рациональных чисел .
  • Циклотомическое поле
    , куда
    числовое поле, полученное из примитивного корня-й степени из единицы . Это поле содержит все комплексные корни n- й степени из единицы и его размерность равна , где - функция Эйлера .
  • В действительные числа , , и комплексные числа , , являются полями , которые имеют бесконечную размерность , как -векторных пространства, следовательно, они не число полей. Это следует из несчетности множеств и как наборов, тогда как каждое числовое поле обязательно счетно .
  • Набор из упорядоченных пар рациональных чисел, с добавлением entrywise и умножением является двумерный коммутативной алгеброй над . Однако это не поле, поскольку у него есть делители нуля :

Алгебраичность и кольцо целых чисел

Как правило, в абстрактной алгебре расширение поля является алгебраическим, если каждый элемент большего поля является нулем многочлена с коэффициентами в :

Всякое расширение поля конечной степени алгебраично. (Доказательство: для in , просто рассмотрите - мы получаем линейную зависимость, то есть многочлен, который является корнем.) В частности, это применимо к полям алгебраических чисел, поэтому любой элемент поля алгебраических чисел может быть записан как нуль числа многочлен с рациональными коэффициентами. Поэтому элементы также называются алгебраическими числами . Дан такой многочлен , что его можно расположить так, чтобы старший коэффициент был равен единице, при необходимости разделив на него все коэффициенты. Многочлен с этим свойством называется моническим многочленом . Как правило, у него будут рациональные коэффициенты. Если, однако, его коэффициенты на самом деле все целые числа, это называется алгебраическим целым числом . Любое (обычное) целое число является алгебраическим целым числом, так как оно является нулем линейного монического многочлена:

.

Можно показать, что любое алгебраическое целое число, которое также является рациональным числом, должно быть на самом деле целым числом, отсюда и название «алгебраическое целое число». Снова используя абстрактную алгебру, в частности понятие конечно порожденного модуля , можно показать, что сумма и произведение любых двух алгебраических целых чисел по-прежнему является целым алгебраическим числом. Отсюда следует , что алгебраические целые числа образуют кольцо , обозначаемое называется кольцо целых чисел от . Это подкольцо (то есть кольцо, содержащееся в) . Поле не содержит делителей нуля, и это свойство наследуется любым подкольцом, поэтому кольцо целых чисел является областью целостности . Поле - это поле дробей области целостности . Таким образом можно перемещаться между полем алгебраических чисел и его кольцом целых чисел . Кольца целых алгебраических чисел обладают тремя отличительными свойствами: во-первых, это область целостности, которая интегрально замкнута в своем поле дробей . Во-вторых, это нётеровское кольцо . Наконец, каждый ненулевой идеал из является максимальным или, что эквивалентно, размерность Крулля этого кольца один. Абстрактное коммутативное кольцо с этими тремя свойствами называется дедекиндовым кольцом (или дедекиндовым доменом ) в честь Ричарда Дедекинда , который провел глубокое изучение колец алгебраических целых чисел.

Уникальная факторизация

Для общих колец Дедекинда , в частности колец целых чисел, существует уникальная факторизация идеалов в произведение простых идеалов . Так , например, идеал в кольце от квадратичных целых коэффициентов на простые идеалы как

Однако, в отличие от кольца целых чисел , кольцо целых чисел надлежащего расширения не обязательно допускает однозначную факторизацию чисел в произведение простых чисел или, точнее, простых элементов . Это происходит уже для квадратичных целых чисел , например в , не удается уникальность факторизации:

Используя норму , можно показать , что эти две факторизации фактически эквивалентны в том смысле , что факторы , не только отличаются по единице в . Евклидовы домены - это уникальные домены факторизации; например , кольцо гауссовых целых чисел , и , кольцо Эйзенштейн целых чисел , где есть кубический корень из единицы (неравной 1), обладает этим свойством.

ζ-функции, L -функции и формула числа классов

Неудача уникальной факторизации измеряется числом класса , обычно обозначаемым h , мощностью так называемой группы идеальных классов . Эта группа всегда конечна. Кольцо целых чисел обладает уникальной факторизацией тогда и только тогда, когда оно является главным кольцом или, что то же самое, имеет номер класса 1 . Учитывая числовое поле, номер класса часто трудно вычислить. Проблема числа классов , восходящая к Гауссу , связана с существованием мнимых полей квадратичных чисел (т. Е. ) С заданным числом классов. Формула числа классов связывает h с другими фундаментальными инвариантами . Он включает в себя дзета-функцию Дедекинда ζ (s), функцию комплексной переменной s , определяемую формулой

(Произведение по всем простым идеалам , обозначает норму простого идеала или, что то же самое, (конечное) число элементов в поле вычетов . Бесконечное произведение сходится только при Re ( s )> 1, в общем аналитическом продолжении и функциональное уравнение для дзета-функции необходимы для определения функции для всех s ). Дзета-функция Дедекинда обобщает дзета-функцию Римана в том смысле, что ζ ( s ) = ζ ( s ).

Формула числа классов утверждает, что ζ ( s ) имеет простой полюс в точке s = 1, и в этой точке вычет определяется выражением

Здесь г 1 и г 2 классический обозначают число вещественных вложений и пары комплексных вложений в , соответственно. Кроме того, Рег является регулятором из , мас числа корней из единицы в и D является дискриминантом .

L-функции Дирихле являются более изощренным вариантом . Оба типа функций кодируют арифметическое поведение и , соответственно. Например, теорема Дирихле утверждает, что в любой арифметической прогрессии

с взаимно простыми и простых чисел бесконечно много. Эта теорема вытекает из того факта, что функция Дирихле отлична от нуля при . Используя гораздо более продвинутые методы, включая алгебраическую K-теорию и меры Тамагавы , современная теория чисел имеет дело с описанием, хотя и в значительной степени предположительным (см. Гипотезу о числе Тамагавы ), значений более общих L-функций .

Основания для числовых полей

Интегральная основа

Неотъемлемая основа для числового поля степени представляет собой набор

B = { b 1 ,…, b n }

из п алгебраических чисел в таким образом, что каждый элемент кольца целых чисел из может быть однозначно записывается в виде Z - линейной комбинации элементов B ; то есть для любого x из мы имеем

х = м 1 б 1 + ⋯ + м п б п ,

где m i - (обычные) целые числа. Тогда также верно, что любой элемент может быть записан однозначно как

м 1 б 1 + ⋯ + м н б н ,

где теперь m i - рациональные числа. Алгебраические целые числа - это в точности те элементы, в которых все m i являются целыми числами.

Работая локально и используя такие инструменты, как карта Фробениуса , всегда можно явно вычислить такой базис, и теперь для систем компьютерной алгебры стало стандартом иметь встроенные программы для этого.

Основа мощности

Позвольте быть числовое поле степени . Среди всех возможных оснований (рассматриваемых как -векторное пространство) есть частные, известные как основания мощности , которые являются основаниями формы

для какого-то элемента . По теореме о примитивном элементе существует такой элемент , называемый примитивным элементом . Если можно выбрать в и такое, что лежит в основе в качестве свободного Z -модуля, то называется базисом степенного интеграла , а поле - моногенным полем . Пример числового поля, которое не является моногенным, впервые был дан Дедекиндом. Его примером является поле, полученное присоединением корня многочлена

Регулярное представление, след и дискриминант

Напомним, что любое расширение поля имеет уникальную структуру пространства векторов. Используя умножение , элемент поля над базовым полем может быть представлен матрицами

требуя

Вот фиксированная основа для , рассматриваемого как -векторное пространство. Рациональные числа однозначно определяются выбором базиса, поскольку любой элемент может быть однозначно представлен как линейная комбинация базисных элементов. Такой способ привязки матрицы к любому элементу поля называется регулярным представлением . Квадратная матрица представляет собой эффект умножения на в данном базисе. Отсюда следует , что если элемент из представлена в виде матрицы , то произведение представлено матрицей продукта . Инварианты матриц, такие как след , определитель и характеристический полином , зависят исключительно от элемента поля, а не от базиса. В частности, след матрицы называется след элемента поля и обозначается , и определитель называется нормой из й и обозначается .

Теперь это можно немного обобщить, вместо этого рассмотрев расширение поля и указав -базу для . Затем существует связанная матрица, у которой есть след и норма, определенные как след и определитель матрицы .

Пример

Рассмотрим расширение поля где . Тогда у нас есть основание, данное

поскольку любое может быть выражено как некоторая -линейная комбинация

Тогда мы можем взять часть , где и вычислить . Написание этого дает

Мы можем найти матрицу , выписав соответствующее матричное уравнение, дающее

показывая

Затем мы можем относительно легко вычислить след и определитель, задав след и норму.

Характеристики

По определению стандартные свойства следов и определителей матриц переносятся на Tr и N: Tr ( x ) является линейной функцией от x , что выражается как Tr ( x + y ) = Tr ( x ) + Tr ( y ) , Tr ( λx ) = λ Tr ( x ) , а норма - мультипликативная однородная функция степени n : N ( xy ) = N ( x ) N ( y ) , N ( λx ) = λ n N ( x ) . Здесь λ - рациональное число, а x , y - любые два элемента из .

Полученная форма следа представляет собой билинейную форму, определяемую посредством следа, как

к

. Интегральная форма следа , целочисленная симметричная матрица определяются как , где б 1 , ..., б п является интегральной основой . Дискриминант из определяется как Det ( т ). Это целое число и является инвариантным свойством поля , не зависящим от выбора интегрального базиса.

Матрица, связанная с элементом x из, также может использоваться для получения других эквивалентных описаний алгебраических целых чисел. Элемент x из является алгебраическим целым числом тогда и только тогда, когда характеристический многочлен p A матрицы A, связанный с x, является моническим многочленом с целыми коэффициентами. Предположим, что матрица A , представляющая элемент x, имеет целые элементы в некотором базисе e . По теореме Гамильтона-Кэли , р ( ) = 0, и из этого следует , что р ( х ) = 0, так что х является целым алгебраическим. И наоборот, если х является элемент , который является корнем унитарного многочлена с целыми коэффициентами , то же свойство имеет место для соответствующей матрицы A . В этом случае можно доказать, что A является целочисленной матрицей в подходящем базисе . Свойство быть алгебраическим целым числом определяется способом, который не зависит от выбора базиса в .

Пример с цельным базисом

Рассмотрим , где х удовлетворяет условию х 3 - 11 х 2 + х + 1 = 0 . Тогда интегральный базис равен [1, x , 1/2 ( x 2  + 1)], а соответствующая интегральная форма следа имеет вид

«3» в верхнем левом углу этой матрицы - это след матрицы карты, определяемой первым базисным элементом (1) в регулярном представлении on . Этот элемент базиса индуцирует тождественное отображение на 3-мерном векторном пространстве, . След матрицы тождественного отображения в трехмерном векторном пространстве равен 3.

Определитель этого равен 1304 = 2 3 · 163 , дискриминант поля; для сравнения, корневой дискриминант или дискриминант полинома равен 5216 = 2 5 · 163 .

Места

Математики девятнадцатого века считали алгебраические числа разновидностью комплексных чисел. Ситуация изменилась с открытием ьадических чисел по Хенселем в 1897 году; и теперь стандартно рассматривать сразу все возможные вложения числового поля в его различные топологические пополнения .

Место поля чисел является классом эквивалентности абсолютных значений на пг 9 . По существу, абсолютное значение является понятием для определения размера элементов из . Два таких абсолютных значения считаются эквивалентными, если они порождают одно и то же понятие малости (или близости). Отношение эквивалентности между абсолютными значениями задается некоторыми такими, что

То есть мы берем значение нормы в -й степени.

В целом типы мест делятся на три режима. Во-первых (и в основном это не имеет значения) тривиальное абсолютное значение | | 0 , который принимает все ненулевые значения . Второй и третий классы - это места Архимеда и неархимедовы (или ультраметрические) места . Завершение по отношению к месту , приводятся в обеих случаях, принимая последовательность Коши в и делении из последовательностей нулевых , то есть последовательности , таким образом, что

стремится к нулю, когда стремится к бесконечности. Это может быть показано, что поле снова, так называемое завершение в данном месте , обозначается .

Для , следующие нетривиальных норм возникают ( теорема Островской ): в (обычном) абсолютное значение , иногда обозначаемое что приводит к полному топологическому полю действительных чисел . С другой стороны, для любого простого числа , то р -адических абсолютных значений определяются

| q | p = p - n , где q = p n a / b, а a и b - целые числа, не делящиеся на p .

используются для построения -адических чисел . В отличие от обычного абсолютного значения, р -адическая норма становится меньше , когда д умножается на р , что приводит к совершенно иному поведению визави .

Обратите внимание, что обычно рассматривается общая ситуация, когда берется числовое поле и рассматривается простой идеал для связанного с ним кольца алгебраических чисел . Тогда будет уникальное место, называемое неархимедовым местом. Кроме того, для каждого вложения будет обозначено место, называемое Архимедовым местом . Это утверждение также называется теоремой Островского .

Примеры

Поле для где - фиксированный корень шестой степени из единицы, представляет собой богатый пример для построения явных действительных и сложных архимедовых вложений, а также неархимедовых вложений стр. 15-16 .

Архимедовы места

Здесь мы используем стандартные обозначения и для количества используемых вещественных и комплексных вложений соответственно (см. Ниже).

Вычисление архимедовых мест числового поля выполняется следующим образом: пусть будет примитивным элементом , с минимальным полиномом (над ). Over , как правило, больше не будет неприводимым, но его неприводимые (действительные) факторы имеют степень один или два. Поскольку нет повторяющихся корней, нет повторяющихся факторов. Корни множителей первой степени обязательно действительны, и замена на дает вложение в ; количество таких вложений равно количеству действительных корней . Ограничение стандартного абсолютного значения на к дает Архимед абсолютное значение на ; такое абсолютное значение также упоминается как реальное место в . С другой стороны, корни множителей второй степени являются парами сопряженных комплексных чисел, что позволяет выполнять два сопряженных вложения в . Любое из этих вложений может использоваться для определения абсолютного значения on , которое одинаково для обоих вложений, поскольку они сопряжены. Это абсолютное значение называется сложное место из .

Если все вышеупомянутые корни действительны (соответственно, комплексны) или, что то же самое, любое возможное вложение фактически вынуждено быть внутри (соответственно ), это называется полностью реальным (соответственно, полностью сложным ).

Неархимедовы или ультраметрические места

Чтобы найти неархимедовы места, позвольте еще раз и быть, как указано выше. В , расщепляется в факторах различной степени, ни один из которых не повторяются, и степень , которые добавляют до , степени . Для каждого из этих -adically неприводимых множителей , мы можем предположить , что удовлетворяет и получить вложение в алгебраическое расширение конечной степени над . Такое локальное поле во многом похоже на числовое поле, и -адические числа могут аналогичным образом играть роль рациональных чисел; в частности, мы можем точно таким же образом определить норму и трассировку, теперь давая отображение функций в . Используя это отображение -адической нормы для места , мы можем определить абсолютное значение, соответствующее данному -адически неприводимому множителю степени , как

Такое абсолютное значение называется ультраметрическим , неархимедовым или -адическим местом .

Для любого ультраметрического места v | х | v ≤ 1 для любого x in , поскольку минимальный многочлен для x имеет целочисленные множители и, следовательно, его p -адическая факторизация имеет множители в Z p . Следовательно, термин нормы (постоянный член) для каждого фактора является p -адическим целым числом, и одно из них является целым числом, используемым для определения абсолютного значения для v .

Простые идеалы в O K

Для ультраметрической точки v подмножество, определяемое | х | v <1 является идеальным из . Это зависит от ультраметричности из V : учитывая й и у в , то

| х + у | v ≤ max (| x | v , | y | v ) <1.

Собственно, это даже главный идеал .

И наоборот, учитывая простой идеал из , дискретного нормирования может быть определена путем установки , где п является самым большим целым числом , так что , п - кратная сила идеала. Эту оценку можно превратить в ультраметрическое место. При этом соответствии (классы эквивалентности) ультраметрических точек соответствуют первичным идеалам . В самом деле , это возвращает теорему Островского: любой простой идеал в Z (который обязательно состоит из одного простого числа) соответствует неархимедову месту и наоборот. Однако для более общих числовых полей ситуация становится более сложной, как будет объяснено ниже.

Еще один, эквивалентный способ описания ультраметрических мест с помощью локализаций в . Учитывая ультраметрику места на поле номера , соответствующие локализации -подкольца из всех элементов , такой , что | х  | v ≤ 1. По ультраметрическому свойству - кольцо. Более того, он содержит . Для каждого элемента х из , по меньшей мере , один из х или х -1 содержится в . Фактически, поскольку можно показать , что K × / T × изоморфно целым числам, это кольцо дискретной оценки , в частности, локальное кольцо . На самом деле, это всего лишь локализация в идеале , так что . Наоборот, это максимальный идеал .

В целом существует трехсторонняя эквивалентность между ультраметрическими абсолютными значениями, простыми идеалами и локализациями в числовом поле.

Лежа над теоремой и местами

Одной из основных теорем в алгебраической теории чисел являются теоремы о восходящем и нисходящем уровнях , которые описывают поведение некоторого простого идеала, когда он расширяется как идеал в некотором расширении поля . Мы говорим, что идеал лежит над if . Тогда в одном из воплощений теоремы утверждается, что простой идеал в лежит над , следовательно, всегда существует сюръективное отображение

индуцированный включением . Поскольку существует соответствие между местами и простыми идеалами, это означает, что мы можем найти места, разделяющие место, индуцированное расширением поля. То есть, если есть место , то есть места , на которые делятся , в том смысле , что их индуцированные простые идеалы разделить индуцированный простой идеал в . На самом деле, это наблюдение полезна стр 13 , глядя на базовое изменении алгебраического расширения поля к одной из его доработок . Если мы напишем
и напишем для индуцированного элемента
, мы получим разложение . Явно это разложение имеет вид
кроме того, индуцированный полином разлагается как
в силу леммы Гензеля pg 129-131 , поэтому
Кроме того, существуют вложения
где корень отдачи , поэтому мы могли бы написать
как подмножества (что является завершением алгебраического замыкания
).

Разветвление

Схематическое изображение ветвления: волокна почти всех точек в Y ниже состоят из трех точек, за исключением двух точек в Y, отмеченных точками, где волокна состоят из одной и двух точек (отмечены черным) соответственно. Карта F называется разветвленными в этих точках Y .

Ветвление , вообще говоря, описывает геометрическое явление, которое может происходить с отображениями конечного к одному (т. Е. Такими, что прообразы всех точек y в Y состоят только из конечного числа точек): мощность слоев f −1 ( y ) обычно будет иметь такое же количество точек, но бывает, что в особых точках y это количество падает. Например, карта

имеет n точек в каждом слое над t , а именно n (комплексных) корней t , за исключением t = 0 , где слой состоит только из одного элемента, z = 0. Говорят, что отображение «разветвлено» в нуле. Это пример разветвленного покрытия из римановых поверхностей . Эта интуиция также служит для определения разветвления в алгебраической теории чисел . Учитывая (обязательно конечное) расширение числовых полей , простой идеал р из формирует идеал рО К из . Этот идеал может быть, а может и не быть первичным идеалом, но, согласно теореме Ласкера – Нётер (см. Выше), всегда задается формулой

pO = q 1 e 1 q 2 e 2q м е м

с однозначно определяются простые идеалы д я о и числах (называемые индексы ветвления) е я . Когда один индекс ветвления больше единицы, говорят , что простое число p разветвляется внутрь .

Связь между этим определением и геометрической ситуацией доставляется картой спектров колец . На самом деле, неразветвленные морфизмы из схем в алгебраической геометрии являются прямым обобщением неразветвленных расширений числовых полей.

Ветвление - это чисто локальное свойство, т. Е. Зависит только от пополнений вокруг простых чисел p и q i . Группа инерции измеряет разницу между локальными группами Галуа в некотором месте и группами Галуа задействованных конечных полей вычетов.

Пример

Следующий пример иллюстрирует введенные выше понятия. Чтобы вычислить индекс ветвления , где

f ( x ) = x 3 - x - 1 = 0,

на 23 достаточно рассмотреть расширение поля . До 529 = 23 2 (то есть по модулю 529) f можно разложить на множители как

f ( x ) = ( x + 181) ( x 2 - 181 x - 38) = gh .

Подстановка x = y + 10 в первый множитель g по модулю 529 дает y + 191, поэтому оценка | y  | g для y, заданного g, равно | −191 | 23 = 1. С другой стороны, такая же подстановка в h дает y 2 - 161 y - 161 по модулю 529. Поскольку 161 = 7 × 23,

Поскольку возможные значения абсолютного значения места, определяемого фактором h , не ограничиваются целыми степенями 23, а вместо этого являются целыми степенями квадратного корня из 23, индекс разветвления расширения поля в 23 равен двум.

Таким образом можно вычислить оценки любого элемента из результирующих . Если, например, y = x 2 - x - 1, использование результирующего для исключения x между этим соотношением и f = x 3 - x - 1 = 0 дает y 3 - 5 y 2 + 4 y - 1 = 0 . Если вместо этого мы исключим по отношению к множителям g и h функции f , мы получим соответствующие множители для полинома для y , а затем 23-адическая оценка, примененная к константе (норме), позволяет нам вычислить оценки y для g и h (в данном случае они равны 1).

Дискриминантная теорема Дедекинда

Большая часть значения дискриминанта заключается в том факте, что все разветвленные ультраметрические позиции - это места, полученные в результате факторизации, где p делит дискриминант. Это верно даже для полиномиального дискриминанта; однако верно и обратное: если простое число p делит дискриминант, то существует p- место, которое разветвляется. Для этого нужен дискриминант поля. Это дискриминантная теорема Дедекинда . В приведенном выше примере дискриминант числового поля с x 3  -  x  - 1 = 0 равен −23, и, как мы видели, 23-адическое место разветвляется. Дискриминант Дедекинда говорит нам, что это единственное ультраметрическое место, которое делает это. Другое разветвленное место происходит от абсолютной ценности сложного вложения .

Группы Галуа и когомологии Галуа

Обычно в абстрактной алгебре расширения полей K / L можно изучать, исследуя группу Галуа Gal ( K / L ), состоящую из полевых автоморфизмов, оставляющих поэлементно фиксированными. В качестве примера, группа Галуа кругового расширения поля степени п (смотри выше) дается формулой ( Z / п Z ) × , группа обратимых элементов в Z / п Z . Это первый шаг к теории Ивасавы .

Для того , чтобы включать в себя все возможные расширения , имеющие определенные свойства, понятие группы Галуа обычно применяются к (бесконечному) расширениям поля К / К в алгебраическому замыканию , что приводит к абсолютной группе Галуа G  : = Gal ( K / K ) или просто Gal ( K ) и в расширение . Основная теорема теории Галуа связывает поля между и его алгебраическим замыканием и замкнутыми подгруппами Gal ( K ). Например, абелианизация (наибольшее абелево фактор) G ab группы G соответствует полю, называемому максимальным абелевым расширением K ab (называемым так, поскольку любое дальнейшее расширение не является абелевым, т. Е. Не имеет абелевой группы Галуа). По теореме Кронекера – Вебера максимальное абелево расширение является расширением, порожденным всеми корнями из единицы . Для более общих числовых полей теория полей классов , в частности закон взаимности Артина, дает ответ, описывая G ab в терминах группы классов иделей . Также следует отметить поле классов Гильберта , максимальное абелево неразветвленное расширение поля . Можно показать, что он конечен над , его группа Галуа над изоморфна группе классов , в частности, его степень равна номеру классов h из (см. Выше).

В определенных ситуациях группа Галуа действует на другие математические объекты, например группу. Такая группа тогда также называется модулем Галуа. Это позволяет использовать групповые когомологии для группы Галуа Gal ( K ), также известной как когомологии Галуа , которая в первую очередь измеряет неточность взятия Gal ( K ) -инвариантов, но предлагает более глубокое понимание (и вопросы) как хорошо. Например, группа Галуа G из расширения полей L / K действует на L × , ненулевых элементов L . Этот модуль Галуа играет важную роль во многих арифметических двойствах , таких как двойственность Пуату-Тата . Группу Брауэра из , первоначально задуман , чтобы классифицировать алгебры с делением над , можно переписать в виде группы когомологий, а именно Н 2 (Gal ( K , K × ).

Локально-глобальный принцип

Вообще говоря, термин «от локального к глобальному» относится к идее, что глобальная проблема сначала решается на локальном уровне, что имеет тенденцию упрощать вопросы. Затем, конечно, информацию, полученную в ходе локального анализа, необходимо собрать воедино, чтобы вернуться к некоторому глобальному утверждению. Например, понятие пучков усиливает эту идею в топологии и геометрии .

Локальные и глобальные поля

Количество полей разделяют большое сходство с другим классом полей много , используемых в алгебраической геометрии , известной как функции полей в алгебраических кривых над конечными полями . Примером является K p ( T ). Они похожи во многих отношениях, например, в том, что числовые кольца являются одномерными регулярными кольцами, как и координатные кольца (поля частных которых являются рассматриваемым функциональным полем) кривых. Поэтому оба типа полей называются глобальными полями . В соответствии с изложенной выше философией, они могут быть изучены сначала на местном уровне, то есть путем изучения соответствующих локальных полей . Для числовых полей , локальные поля являются пополнениями во всех местах, в том числе архимедовых (см локального анализа ). Для функциональных полей локальные поля - это пополнения локальных колец во всех точках кривой для функциональных полей.

Многие результаты, действительные для функциональных полей, также верны, по крайней мере, при правильной переформулировке, для числовых полей. Однако изучение числовых полей часто сопряжено с трудностями и явлениями, не встречающимися в функциональных полях. Например, в функциональных полях нет дихотомии на неархимедовы и архимедовы места. Тем не менее, функциональные поля часто служат источником интуиции, чего следует ожидать в случае числовых полей.

Принцип Хассе

Типичный вопрос, который задается на глобальном уровне, заключается в том, имеет ли какое-то полиномиальное уравнение решение в . В этом случае это решение также является решением для всех завершений. Локально глобальный принцип или принцип Хассе утверждает , что для квадратичных уравнений, верно и обратное, а также. Таким образом, проверка того, имеет ли такое уравнение решение, может выполняться на всех завершениях , что часто проще, поскольку аналитические методы (классические аналитические инструменты, такие как теорема о промежуточном значении в архимедовых местах и p-адический анализ в неархимедовых местах) может быть использован. Однако это утверждение неверно для более общих типов уравнений. Однако идея перехода от локальных данных к глобальным оказывается плодотворной в теории полей классов, например, где локальная теория поля классов используется для получения глобальных идей, упомянутых выше. Это также связано с тем, что группы Галуа пополнений K v могут быть определены явно, тогда как группы Галуа глобальных полей, даже если они, гораздо менее понятны.

Адель и идель

Для того , чтобы собрать местные данные , относящиеся ко всем локальным полей , прикрепленных к , адельная кольцо устанавливаются. Мультипликативный вариант называется иделами .

Смотрите также

Обобщения

Алгебраическая теория чисел

Теория поля классов

Примечания

  1. ^ Ирландия, Кеннет ; Розен, Майкл (1998), Классическое введение в современную теорию чисел , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97329-6, Гл. 1.4
  2. ^ Блох, Спенсер; Като, Казуя (1990), " L- функции и числа Тамагавы мотивов", Grothendieck Festschrift, Vol. Я , Прогр. Math., 86 , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 333–400, MR  1086888
  3. ^ Narkiewicz 2004 , §2.2.6
  4. ^ Клейнер, Израиль (1999), "Поле теории:. От уравнений к аксиоматизациям I", Американские Математический Месячное , 106 (7): 677-684, DOI : 10,2307 / 2589500 , MR  1720431 , Дедекинд, то поля было подмножества комплексных чисел.
  5. ^ Маклейн, Saunders (1981), "Математические модели: эскиз к философии математики", Американский Математический Месячный , 88 (7): 462-472, DOI : 10,2307 / 2321751 , MR  0628015 , Эмпиризм возникал из 19 вековой взгляд на математику как на почти совпадающую с теоретической физикой.
  6. ^ a b c Гра, Жорж (2003). Теория поля классов: от теории к практике . Берлин. ISBN 978-3-662-11323-3. OCLC  883382066 .
  7. ^ Cohn, Глава 11 §C р. 108
  8. ^ Конрад
  9. ^ Cohn, Глава 11 §C р. 108
  10. ^ Конрад
  11. Перейти ↑ Neukirch, Jürgen (1999). Алгебраическая теория чисел . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-03983-0. OCLC  851391469 .

использованная литература