Целостно закрытый домен - Integrally closed domain

В коммутативной алгебре , целозамкнут домен является область целостности которого целого замыкание в своем поле частных является самим по себе. Проясняя это, это означает, что если x является элементом поля частных A, который является корнем монического многочлена с коэффициентами в A, то x сам является элементом A. Многие хорошо изученные области интегрально замкнуты: поля , кольцо целых чисел Z , области единственной факторизации и регулярные локальные кольца целозамкнуты.

Обратите внимание, что интегрально замкнутые области появляются в следующей цепочке классовых включений :

rngs кольца коммутативные кольца ⊃ области целостности интегрально замкнутые области ⊃ области GCD уникальные области факторизации ⊃ области главных идеалов евклидовы области поля алгебраически замкнутые поля

Основные свойства

Пусть быть целозамкнутая область с полем частных K и пусть L быть расширение поля из K . Тогда хL является интегралом над А тогда и только тогда , когда оно алгебраическое над К и его минимальный многочлен над К имеет коэффициенты в А . В частности, это означает, что любой элемент интеграла L над A является корнем монического многочлена от A [ X ], неприводимого в K [ X ].

Если это область , содержащаяся в поле К, мы можем рассмотреть целое замыкание в А в К (то есть совокупность всех элементов K , которые являются неотъемлемой частью над A ). Это интегральное замыкание представляет собой интегрально замкнутую область.

Интегрально замкнутые области также играют роль в гипотезе теоремы о понижении . Теорема утверждает, что если AB является целым расширением областей, а A - целозамкнутой областью, то для расширения AB имеет место свойство убывания .

Примеры

Ниже приведены целозамкнутые области.

  • Главные идеалы (в частности: целые числа и любое поле).
  • Однозначным разложением на множители (в частности, любое кольцо многочленов над полем, над целыми числами, или по какой - либо однозначным разложением на множители.)
  • Домена НОД (в частности, любой Безу домен или домен оценки ).
  • Дедекиндово домен .
  • Симметричная алгебра над полем (с каждой симметричной алгебры изоморфна кольцом многочленов от нескольких переменных над полем).
  • Пусть - поле характеристики не 2 и кольцо многочленов над ним. Если - непостоянный многочлен без квадратов в , то является целозамкнутой областью. В частности, является целозамкнутой областью, если .

Чтобы дать не пример, пусть k будет полем и ( A - это подалгебра, порожденная t 2 и t 3. ) A не является интегрально замкнутой: у нее есть поле дробей , а монический многочлен от переменной X имеет корень t, который находится в поле дробей, но не в A. Это связано с тем, что плоская кривая имеет особенность в начале координат.

Другой домен, который не является целиком замкнутым, - это ; он не содержит элемента своего поля дробей, удовлетворяющего приведенному многочлену .

Нётерова интегрально замкнутая область

Для нётеровой локальной области A размерности один следующие утверждения эквивалентны.

  • A целиком замкнуто.
  • Максимальный идеал A является главным.
  • A - кольцо дискретной оценки (эквивалентно A - Дедекинда).
  • A - правильное локальное кольцо.

Пусть A - нётерова область целостности. Тогда A целозамкнуто тогда и только тогда, когда (i) A является пересечением всех локализаций над простыми идеалами высоты 1 и (ii) локализация на простом идеале высоты 1 является кольцом дискретного нормирования.

Нётерово кольцо является областью Крулля тогда и только тогда, когда оно является целозамкнутой областью.

В нётеровой ситуации мы имеем следующее: область целостности интегрально замкнута тогда и только тогда, когда она является пересечением всех колец оценки, содержащих ее.

Нормальные кольца

Авторы, в том числе Серр , Гротендик и Мацумура, определяют нормальное кольцо как кольцо, локализации которого в простых идеалах являются целозамкнутыми областями. Такое кольцо обязательно является редуцированным кольцом , и это иногда включается в определение. В общем, если A - нётерово кольцо, все локализации которого в максимальных идеалах представляют собой области, то A - конечное произведение областей. В частности, если A - нётерово нормальное кольцо, то области в произведении являются целозамкнутыми областями. Наоборот, любое конечное произведение целозамкнутых областей нормально. В частности, если нётерова, нормальная и связная, то A - целозамкнутая область. (ср. гладкую разновидность )

Пусть A - нётерово кольцо. Тогда ( критерий Серра ) нормально тогда и только тогда , когда она удовлетворяет следующему: для любого простого идеала ,

  1. Если имеет высоту , то есть регулярный (т.е. является дискретно нормированным кольцом .)
  2. Если имеет высоту , то имеет глубину .

Пункт (i) часто выражается как «правильный в коразмерности 1». Примечание (i) подразумевает, что набор ассоциированных простых чисел не имеет вложенных простых чисел , и, когда (i) имеет место, (ii) означает, что у него нет вложенных простых чисел для любого ненулевого делителя f . В частности, кольцо Коэна-Маколея удовлетворяет (ii). Геометрически мы имеем следующее: если X - локальное полное пересечение в неособом многообразии; например, сам X неособен, тогда X - Коэна-Маколея; т.е. стебли структурного пучка Коэна-Маколея для всех простых идеалов p. Тогда мы можем сказать: X является нормальным (т.е. Стебли его структуры пучка все нормально) , если и только если она регулярна в коразмерности 1 .

Полностью целозамкнутые области

Пусть A - область, K - поле частных. Элемент х в К называется почти интеграл по А если Подкольцо [ х ] из K , порожденной А и х представляет собой дробный идеал из А ; то есть если есть такой то на всех . Затем называется полностью целозамкнуто , если каждый почти неотъемлемый элемент K содержатся в A . Полностью замкнутая область интегрально замкнута. Наоборот, нетерова целозамкнутая область полностью целозамкнута.

Предположим, что A полностью целозамкнута. Тогда кольцо формальных степенных рядов полностью целозамкнуто. Это важно, поскольку аналог неверен для интегрально замкнутой области: пусть R будет оценочной областью высотой не менее 2 (которая интегрально замкнута). Тогда интегрально замкнута не будет. Пусть L является расширение поля K . Тогда интегральное замыкание A в L полностью целозамкнуто.

Область целостности полностью интегрально замкнута тогда и только тогда, когда моноид делителей A является группой.

См. Также: Домен Krull .

«Целостно закрытые» под постройки

Следующие условия эквивалентны для области целостности A :

  1. A целиком замкнуто;
  2. A p (локализация A относительно p ) интегрально замкнута для любого простого идеала p ;
  3. A m целозамкнуто для любого максимального идеала m .

1 → 2 сразу следует из сохранения целостного замыкания при локализации; 2 → 3 тривиально; 3 → 1 следует из сохранения интегрального замыкания при локализации, точности локализации и того свойства, что A -модуль M равен нулю тогда и только тогда, когда его локализация относительно каждого максимального идеала равна нулю.

Напротив, «интегрально замкнутый» не переходит через частное, поскольку Z [t] / (t 2 +4) не является целозамкнутым.

Локализация полностью замкнутого объекта не обязательно должна быть полностью замкнутой.

Прямым пределом целозамкнутых областей является целозамкнутая область.

Модули над целозамкнутой областью

Пусть A - нётерова целозамкнутая область.

Идеал I из А является дивизориальной тогда и только тогда , когда каждым ассоциированным простым из A / I имеет высоту один.

Обозначим через P множество всех простых идеалов в A высоты один. Если T - конечно порожденный модуль кручения, можно положить:

,

что имеет смысл как формальная сумма; т. е. делитель. Мы пишем для класса дивизоров d . Если - максимальные подмодули в M , то и обозначается (по Бурбаки) через .

Смотрите также

Цитаты

Рекомендации

  • Бурбаки. Коммутативная алгебра .
  • Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157
  • Каплански, Ирвинг (сентябрь 1974 г.). Коммутативные кольца . Лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-42454-5.
  • Мацумура, Хидеюки (1989). Коммутативная теория колец . Кембриджские исследования в области высшей математики (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-36764-6.
  • Мацумура, Хидеюки (1970). Коммутативная алгебра . ISBN 0-8053-7026-9.