Настоящий номер - Real number

Символ для набора действительных чисел

В математике , А действительное число является значением непрерывной величины , которая может представлять собой расстояние вдоль линии (или , альтернативно, количество , которое может быть представлено в виде бесконечного расширения десятичной ). Прилагательное реальное в этом контексте был введен в 17 - м веке Рене Декарта , который отличается от реальных и мнимых корней из многочленов . Действительные числа включают в себя все рациональные числа , такие как целое число −5 и дробь 4/3, и все иррациональные числа , такие как 2 (1,41421356 ..., квадратный корень из 2 , иррациональное алгебраическое число ). В иррациональные числа включены реальные трансцендентные числа , такие как π (3,14159265 ...). Помимо измерения расстояния, действительные числа могут использоваться для измерения таких величин, как время , масса , энергия , скорость и многие другие. Набор действительных чисел обозначается символом R или, иногда его называют «вещественными числами».

Действительные числа можно рассматривать как точки на бесконечно длинной линии, называемой числовой линией или действительной линией , где точки, соответствующие целым числам, расположены на одинаковом расстоянии. Любое действительное число может быть определено с помощью возможно бесконечного десятичного представления , такого как 8.632, где каждая следующая цифра измеряется в единицах, составляющих одну десятую размера предыдущей. Реальная линия может рассматриваться как часть комплексной плоскости , а вещественные числа можно рассматривать как часть комплексных чисел .

Действительные числа можно рассматривать как точки на бесконечно длинной числовой прямой.

Эти описания действительных чисел не являются достаточно строгими по современным стандартам чистой математики. Открытие достаточно строгого определения действительных чисел - действительно, осознание необходимости лучшего определения - было одним из важнейших достижений математики XIX века. Тока стандартной четкости аксиомой является то , что действительные числа образуют уникальный Дедекинду упорядоченное поле (  +; ·; <), до с изоморфизма , в то время как популярные конструктивные определения действительных чисел включают объявлять их классов эквивалентности из последовательностей Коши (рационального числа), вырезки Дедекинда или бесконечные десятичные представления вместе с точными интерпретациями арифметических операций и отношения порядка. Все эти определения удовлетворяют аксиоматическому определению и, таким образом, эквивалентны.

Набор всех действительных чисел неисчислим в том смысле, что, хотя и набор всех натуральных чисел, и набор всех действительных чисел являются бесконечными наборами , не может быть однозначной функции от действительных чисел к натуральным числам. . В самом деле, мощность множества всех действительных чисел, обозначаемых и называется мощность континуума , строго больше , чем мощность множества всех натуральных чисел (обозначается , «алеф-нуль» ).

Утверждение о том, что не существует подмножества вещественных чисел с мощностью строго больше и строго меньше, известно как гипотеза континуума (CH). Его нельзя ни доказать, ни опровергнуть с помощью аксиом теории множеств Цермело – Френкеля, включая аксиому выбора (ZFC) - стандартную основу современной математики. Фактически, одни модели ZFC удовлетворяют CH, а другие его нарушают.

История

Действительные числа включают рациональные числа , которые включают целые числа , которые, в свою очередь, включают натуральные числа.

Простые дроби использовались египтянами около 1000 г. до н.э .; ведическая « Шульбинская сутра » ( «Правила аккордов») в с. 600 г. до н.э. включает то, что может быть первым «использованием» иррациональных чисел . Концепция иррациональности была неявно принята ранними индийскими математиками, такими как Манава ( ок. 750–690 до н . Э.) , Которые знали, что квадратные корни из определенных чисел, таких как 2 и 61, нельзя точно определить. Около 500 г. до н.э. греческие математики во главе с Пифагором осознали необходимость иррациональных чисел, в частности, иррациональность квадратного корня из 2 .

В Средние века принесенные о принятии нуля , отрицательных чисел , целых и дробных чисел, первый по индийской и китайской математики , а затем арабскими математиками , которые также были первыми , чтобы рассматривать иррациональные числа как алгебраические объекты (последний возможен развитием алгебры). Арабские математики объединили понятия « число » и « величина » в более общее представление о действительных числах. Египетский математик Абу Камил Шуджа ибн Аслам ( ок. 850–930) был первым, кто принял иррациональные числа как решения квадратных уравнений или как коэффициенты в уравнении (часто в форме квадратных корней, кубических корней и корней четвертой степени ).

В 16 веке Саймон Стевин создал основу для современной десятичной системы счисления и настаивал на том, что в этом отношении нет разницы между рациональными и иррациональными числами.

В 17 веке Декарт ввел термин «реальные» для описания корней многочлена, отличая их от «мнимых».

В 18-19 веках было много работ по иррациональным и трансцендентным числам . Иоганн Генрих Ламберт (1761) дал первое ошибочное доказательство того, что π не может быть рациональным; Адриан-Мари Лежандр (1794) завершил доказательство и показал, что π не является квадратным корнем из рационального числа. Паоло Руффини (1799) и Нильс Хенрик Абель (1842) построили доказательства теоремы Абеля – Руффини : общие уравнения пятой или более высокой степени не могут быть решены общей формулой, включающей только арифметические операции и корни.

Эварист Галуа (1832) разработал методы определения того, можно ли решить данное уравнение с помощью радикалов, что положило начало теории Галуа . Джозеф Лиувилль (1840 г.) показал, что ни е, ни е 2 не могут быть корнем целочисленного квадратного уравнения , а затем установил существование трансцендентных чисел; Георг Кантор (1873) расширил и значительно упростил это доказательство. Чарльз Эрмит (1873) первым доказал, что е трансцендентно, а Фердинанд фон Линдеманн (1882) показал, что π трансцендентно. Доказательство Линдеманна было значительно упрощено Вейерштрассом (1885 г.), еще дальше - Давидом Гильбертом (1893 г.) и, наконец, стало элементарным благодаря Адольфу Гурвицу и Полу Гордану .

В процессе развития математики в 18 веке использовался весь набор действительных чисел без их строгого определения. Первое строгое определение было опубликовано Георгом Кантором в 1871 г. В 1874 г. он показал , что множество всех действительных чисел несчетно бесконечное , но множество всех алгебраических чисел является счетно бесконечным . Вопреки широко распространенному мнению, его первый метод не был его знаменитым диагональным аргументом , который он опубликовал в 1891 году. Подробнее см . Первое доказательство несчетности Кантора .

Определение

Система действительных чисел может быть определена аксиоматически с точностью до изоморфизма , который описан ниже. Существует также много способов построения "" действительной системы счисления, и популярный подход включает в себя начало с натуральных чисел, затем определение рациональных чисел алгебраически и, наконец, определение действительных чисел как классов эквивалентности их последовательностей Коши или как сокращений Дедекинда , которые являются определенными подмножества рациональных чисел. Другой подход состоит в том, чтобы начать с некоторой строгой аксиоматизации евклидовой геометрии (скажем, Гильберта или Тарского ), а затем определить геометрическую систему счисления. Было показано, что все эти конструкции действительных чисел эквивалентны в том смысле, что полученные системы счисления изоморфны .

Аксиоматический подход

Обозначим через множество всех действительных чисел, тогда:

Последнее свойство - это то, что отличает вещественные числа от рациональных (и от других более экзотических упорядоченных полей ). Например, имеет рациональную верхнюю границу (например, 1,42), но не имеет наименее рациональной верхней границы, поскольку не является рациональной.

Эти свойства подразумевают свойство Архимеда (которое не подразумевается другими определениями полноты), которое утверждает, что набор целых чисел не имеет верхней границы в вещественных числах. Фактически, если бы это было ложно, то целые числа имели бы наименьшую верхнюю границу N ; тогда N - 1 не будет верхней границей, и будет такое целое число n , что n > N - 1 , и, следовательно, n + 1> N , что противоречит свойству N верхней границы .

Действительные числа однозначно задаются указанными выше свойствами. Точнее, для любых двух полных по Дедекинду упорядоченных полей и существует единственный изоморфизм полей от до . Эта уникальность позволяет нам думать о них как об одном и том же математическом объекте.

Для другой аксиоматизации см . Аксиоматизацию действительных чисел Тарским .

Построение из рациональных чисел

Действительные числа могут быть построены как завершение рациональных чисел таким образом, что последовательность, определенная десятичным или двоичным расширением, например (3; 3.1; 3.14; 3.141; 3.1415; ...), сходится к уникальному действительному числу. - в данном случае π . Для получения подробной информации и других построений действительных чисел см. Построение действительных чисел .

Характеристики

Основные свойства

Более формально, действительные числа имеют два основных свойства: упорядоченное поле и свойство наименьшей верхней границы . Первая гласит, что действительные числа составляют поле со сложением и умножением, а также делением на ненулевые числа, которые могут быть полностью упорядочены по числовой строке способом, совместимым со сложением и умножением. Второй говорит, что если непустой набор действительных чисел имеет верхнюю границу , то он имеет реальную наименьшую верхнюю границу . Второе условие отличает действительные числа от рациональных: например, набор рациональных чисел, квадрат которых меньше 2, является набором с верхней границей (например, 1,5), но без (рациональной) наименьшей верхней границы: следовательно, рациональные числа не удовлетворяют свойству наименьшей верхней границы.

Полнота

Основная причина использования действительных чисел заключается в том, что многие последовательности имеют ограничения . Более формально, действительные числа являются полными (в смысле метрических пространств или равномерных пространств , что отличается от дедекиндовской полноты порядка в предыдущем разделе):

Последовательность ( х п ) действительных чисел называется последовательностью Коши , если для любого е> 0 существует целое число N (возможно , в зависимости от е) такое , что расстояние | х п - х м | меньше е для всех п и т , которые , как больше , чем N . Это определение, первоначально предоставленное Коши , формализует тот факт, что x n в конечном итоге приходят и остаются сколь угодно близкими друг к другу.

Последовательность ( x n ) сходится к пределу x, если ее элементы в конечном итоге приходят и остаются сколь угодно близкими к x , то есть, если для любого ε> 0 существует целое число N (возможно, зависящее от ε) такое, что расстояние | х п - х | меньше е для п больше , чем N .

Каждая сходящаяся последовательность является последовательностью Коши, и обратное верно для действительных чисел, и это означает, что топологическое пространство действительных чисел полно.

Набор рациональных чисел не полный. Например, последовательность (1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; ...), где каждый член добавляет цифру десятичного разложения положительного квадратного корня из 2, является Коши, но не сходится к рациональное число (в действительных числах, напротив, сходится к положительному квадратному корню из 2).

Свойство полноты вещественных чисел - это основа, на которой строятся исчисления и, в более общем смысле, математический анализ . В частности, проверка того, что последовательность является последовательностью Коши, позволяет доказать, что последовательность имеет предел, не вычисляя его и даже не зная об этом.

Например, стандартный ряд экспоненциальной функции

сходится к действительному числу для каждого x , потому что суммы

можно сделать сколь угодно малым (независимо от M ), выбрав N достаточно большим. Это доказывает, что последовательность является Коши, и, таким образом, сходится, показывая, что она корректно определена для каждого x .

«Полное упорядоченное поле»

Действительные числа часто описывают как «полное упорядоченное поле» - эту фразу можно интерпретировать по-разному.

Во-первых, порядок может быть решетчато-полным . Легко видеть , что нет упорядоченного поле не может быть решетчатым полным, так как он не может иметь наибольший элемента (при любом элементе г , г +- больше).

Кроме того, порядок может быть полным по Дедекинду , см. § Аксиоматический подход . Результат уникальности в конце этого раздела оправдывает использование слова «the» во фразе «полностью упорядоченное поле», когда имеется в виду именно «полное». Это чувство полноты наиболее тесно связано с построением действительных чисел из дедекиндовских разрезов, поскольку это построение начинается с упорядоченного поля (рациональных чисел) и затем стандартным образом формирует его дедекиндовое завершение.

Эти два понятия полноты игнорируют структуру поля. Однако упорядоченная группа (в данном случае аддитивная группа поля) определяет однородную структуру, а однородные структуры имеют понятие полноты ; описание в § Полнота - частный случай. (Мы ссылаемся на понятие полноты в равномерных пространствах, а не на родственное и более известное понятие для метрических пространств , поскольку определение метрического пространства опирается на уже имеющуюся характеристику действительных чисел.) Неверно, что это единственное равномерно полное упорядоченное поле, но это единственное однородно полное архимедово поле , и действительно часто можно услышать фразу «полное архимедово поле» вместо «полностью упорядоченное поле». Каждое единообразно полное архимедово поле также должно быть дедекиндовым (и наоборот), оправдывая использование «the» во фразе «полное архимедово поле». Это чувство полноты наиболее тесно связано с построением вещественных чисел из последовательностей Коши (построение полностью проведено в этой статье), поскольку оно начинается с архимедова поля (рациональных чисел) и образует его единообразное завершение в стандарте. способ.

Но первоначально выражение «полное архимедово поле» было использовано Дэвидом Гильбертом , который имел в виду еще что-то под этим. Он имел в виду, что действительные числа образуют самое большое архимедово поле в том смысле, что любое другое архимедово поле является подполем . Таким образом, он «завершен» в том смысле, что к нему больше ничего нельзя добавить, не сделав его больше архимедовым полем. Это чувство полноты наиболее тесно связано с построением действительных чисел из сюрреалистических чисел , поскольку это построение начинается с надлежащего класса, который содержит каждое упорядоченное поле (сюрреализацию), а затем выбирает из него наибольшее архимедово подполе.

Дополнительные свойства

Реалы неисчислимы ; то есть действительных чисел строго больше, чем натуральных , даже если оба набора бесконечны . Фактически, мощность действительных чисел равна мощности множества подмножеств (то есть набора степеней) натуральных чисел, и диагональный аргумент Кантора утверждает, что мощность последнего набора строго больше, чем мощность . Поскольку множество алгебраических чисел счетно, почти все действительные числа трансцендентны . Отсутствие подмножества вещественных чисел с мощностью строго между целыми и действительными числами известно как гипотеза континуума . Гипотезу континуума нельзя ни доказать, ни опровергнуть; он не зависит от аксиом теории множеств .

Как топологическое пространство, действительные числа разделимы . Это потому, что счетное множество рациональных чисел плотно представлено действительными числами. Иррациональные числа также плотны в действительных числах, однако они неисчислимы и имеют ту же мощность, что и действительные числа.

Действительные числа образуют метрическое пространство : расстояние между x и y определяется как абсолютное значение | х - у | . Поскольку они являются полностью упорядоченным множеством, они также несут топологию порядка ; топологии , вытекающие из метрики и один , вытекающие из того , являются идентичными, но дают разные представления для топологии-в топологии порядка как упорядоченные интервалы, в метрической топологии как эпсилон-шарики. Конструкция разрезов Дедекинда использует представление топологии порядка, в то время как конструкция последовательностей Коши использует представление метрической топологии.  Действительные числа образуют стягиваемое (следовательно, связное и односвязное ) сепарабельное и полное метрическое пространство хаусдорфовой размерности 1. Действительные числа локально компактны, но не компактны . Существуют различные свойства, которые однозначно определяют их; например, все неограниченные, связные и разделимые порядковые топологии обязательно гомеоморфны вещественным числам.

Каждое неотрицательное вещественное число имеет квадратный корень в , хотя и не отрицательное число не делает. Это показывает, что порядок на определяется его алгебраической структурой. Кроме того, каждый многочлен нечетной степени допускает по крайней мере один действительный корень: эти два свойства составляют главный пример реального замкнутого поля . Доказательство этого - первая половина одного доказательства фундаментальной теоремы алгебры .

Действительные числа несут каноническую меру , меру Лебега , которая является мерой Хаара по их структуре как топологической нормированной группе , так что единичный интервал [0; 1] имеет меру 1. Существуют наборы действительных чисел, которые не измеримы по Лебегу, например Виталий наборы .

Аксиома супремума вещественных чисел относится к подмножествам вещественных чисел и, следовательно, является логическим утверждением второго порядка. Невозможно охарактеризовать действительные числа только с помощью логики первого порядка : теорема Левенгейма – Сколема подразумевает, что существует счетное плотное подмножество действительных чисел, удовлетворяющих точно таким же предложениям в логике первого порядка, что и сами действительные числа. Набор гиперреальных чисел удовлетворяет тем же предложениям первого порядка, что и . Упорядоченные поля, удовлетворяющие те же предложения первого порядка , как называются нестандартные модели из . Это то, что заставляет нестандартный анализ работать; доказывая утверждение первого порядка в некоторой нестандартной модели (что может быть проще, чем доказывать его в ), мы знаем, что это утверждение также должно быть верным .

Поле действительных чисел является расширением поля поля рациональных чисел, и , следовательно , можно рассматривать как векторное пространство над . Теория множеств Цермело – Френкеля с выбранной аксиомой гарантирует существование базиса этого векторного пространства: существует множество B действительных чисел, такое что каждое действительное число может быть записано однозначно как конечная линейная комбинация элементов этого множества, используя только рациональные коэффициенты и такие, что ни один элемент B не является рациональной линейной комбинацией других. Однако эта теорема существования носит чисто теоретический характер, поскольку такая основа никогда не описывалась в явном виде.

Хорошо упорядоченность теоремы следует , что реальные цифры могут быть вполне упорядоченным , если аксиома выбора предполагается: существует общий порядок по тем свойством , что каждое непустое подмножество из имеет наименьший элемент в таком порядке. (Стандартный порядок ≤ действительных чисел не является правильным порядком, поскольку, например, открытый интервал не содержит ни малейшего элемента в этом порядке.) Опять же, существование такого хорошего порядка является чисто теоретическим, поскольку оно не было явно описано. Если V = L предполагается в дополнение к аксиомам ZF, можно показать, что хороший порядок действительных чисел явно определяется формулой.

Действительное число может быть вычислимым или невычислимым; либо алгоритмически случайным, либо нет; и либо арифметически случайным образом, либо нет.

Приложения и связи с другими областями

Реальные числа и логика

Действительные числа чаще всего формализуются с использованием аксиоматизации Цермело – Френкеля теории множеств, но некоторые математики изучают действительные числа с другими логическими основаниями математики. В частности, действительные числа также изучаются в обратной математике и в конструктивной математике .

В гиперреальное число , как разработанные Эдвин Хьюитт , Abraham Робинсон и другие расширить множество действительных чисел, вводя бесконечно малые и бесконечное число, что позволяет строить исчисление бесконечно малых в некотором смысле ближе к оригинальным интуиций Лейбница , Эйлера , Коши и др.

Эдвард Нельсон «s внутренняя теория множеств обогащает Цермело-Френкеля теории множеств синтаксически путем введения унарный предикат„стандарт“. В этом подходе бесконечно малые числа являются (нестандартными) элементами множества действительных чисел (а не элементами его расширения, как в теории Робинсона).

Гипотеза континуума утверждает, что мощность множества действительных чисел равна ; то есть наименьшее бесконечное кардинальное число после количества целых чисел. Пол Коэн доказал в 1963 году, что это аксиома, независимая от других аксиом теории множеств; то есть: можно без противоречия выбрать либо гипотезу континуума, либо ее отрицание в качестве аксиомы теории множеств.

В физике

В физических науках большинство физических констант, таких как универсальная гравитационная постоянная, и физических переменных, таких как положение, масса, скорость и электрический заряд, моделируются с помощью действительных чисел. Фактически, фундаментальные физические теории, такие как классическая механика , электромагнетизм , квантовая механика , общая теория относительности и стандартная модель , описываются с использованием математических структур, обычно гладких многообразий или гильбертовых пространств , которые основаны на действительных числах, хотя фактические измерения физических величин имеют конечную точность и прецизионность .

Иногда физики предполагали, что более фундаментальная теория заменит действительные числа величинами, которые не образуют континуум, но такие предложения остаются спекулятивными.

В вычислении

За некоторыми исключениями , большинство калькуляторов не работают с действительными числами. Вместо этого они работают с приближениями конечной точности, называемыми числами с плавающей запятой . Фактически, в большинстве научных вычислений используется арифметика с плавающей запятой. Действительные числа удовлетворяют обычным правилам арифметики , а числа с плавающей запятой - нет .

Компьютеры не могут напрямую хранить произвольные действительные числа с бесконечным числом цифр. Достижимая точность ограничена количеством битов, выделенных для хранения числа, будь то числа с плавающей запятой или числа произвольной точности . Однако системы компьютерной алгебры могут оперировать иррациональными величинами точно, манипулируя формулами для них (такими как или ), а не их рациональным или десятичным приближением. Как правило, невозможно определить, равны ли два таких выражения ( постоянная проблема ).

Действительное число называется вычислимым, если существует алгоритм, вычисляющий его цифры. Поскольку существует только счетное количество алгоритмов, но несчетное количество действительных чисел , почти все действительные числа не поддаются вычислению. Более того, равенство двух вычислимых чисел - неразрешимая проблема . Некоторые конструктивисты признают существование только вычислимых действительных чисел. Набор определяемых чисел шире, но по-прежнему исчисляем.

«Реалы» в теории множеств

В теории множеств , особенно в описательной теории множеств , пространство Бэра используется в качестве суррогата для действительных чисел, поскольку последние обладают некоторыми топологическими свойствами (связностью), которые доставляют технические неудобства. Элементы пространства Бэра называют «реалами».

Словарь и обозначения

Математики использовать символ R , или, в качестве альтернативы, , то буква «R» в доске жирного шрифта (закодирован в Unicode , как U + 211DДВОЙНОГО пораженного КАПИТАЛ R (HTML  · )), чтобы представить множество всех действительных чисел. Поскольку это множество естественно наделено структурой поля , поле выражения действительных чисел часто используется, когда рассматриваются его алгебраические свойства. &#8477;  &reals;, &Ropf;

Наборы положительных действительных чисел и отрицательных действительных чисел часто отмечаются и соответственно; и тоже используются. Можно отметить неотрицательные действительные числа, но часто можно увидеть этот набор отмеченным Во французской математике положительные действительные числа и отрицательные действительные числа обычно включают ноль , и эти наборы отмечены соответственно, и в этом понимании соответствующие наборы без нуля называются строго положительные действительные числа и строго отрицательные действительные числа, и отмечены и

Обозначение относится к декартово произведение из п копий , что является п - мерное векторное пространство над полем действительных чисел; это векторное пространство , может быть идентифицировано с п - мерное пространство евклидовой геометрии , как только система координат была выбрана в последнем. Например, значение от состоит из набора из трех действительных чисел и определяет координаты о наличии точки в 3-мерном пространстве.

В математике реальное число используется как прилагательное, означающее, что основное поле - это поле действительных чисел (или действительное поле ). Например, вещественная матрица , вещественный многочлен и вещественная алгебра Ли . Слово также используется как существительное , означающее действительное число (например, «набор всех действительных чисел»).

Обобщения и расширения

Действительные числа можно обобщить и расширить в нескольких направлениях:

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Цитаты

Источники

внешние ссылки