Изоморфизм - Isomorphism


Из Википедии, свободной энциклопедии
В-пятых корни единства
Повороты пятиугольника
Группа пятых корней из единицы при умножении изоморфна группе вращений правильного пятиугольника по составу.

В математике , изоморфизм (от древнегреческого : ἴσος ISOs «равен», и μορφή морфы «форма» или «форма») является гомоморфизмом или морфизм (т.е. математического отображения ) , которое может быть отменено с помощью обратного морфизма. Два математические объекты являются изоморфными , если существует изоморфизм между ними. Автоморфизм является изоморфизмом , чей источник и цель совпадают. Интерес изоморфизмам заключается в том , что изоморфные объекты нельзя отличить, используя только свойство , используемое для определения морфизмов; Таким образом , изоморфные объекты можно рассматривать так же , как долго , как рассматривать только эти свойства и их последствия.

Для большинства алгебраических структур , в том числе групп и колец , гомоморфизм является изоморфизмом тогда и только тогда , когда это биективно .

В топологии , где морфизмы являются непрерывными функциями , изоморфизмы также называются гомеоморфизмами.Ели или бинепрерывную функцию . В математическом анализе , где морфизмы дифференцируемых функций , изоморфизмы также называются диффеоморфизмы .

Канонический изоморфизм является каноническим отображением , что является изоморфизмом. Два объекта , называются канонически изоморфны , если существует канонический изоморфизм между ними. Например, каноническое отображение из конечного-мерного векторного пространства V на его второе сопряженное пространство канонический изоморфизм; с другой стороны, V изоморфна ее двойственное пространство , но не каноническая в целом.

Изоморфизм оформляются с использованием теории категорий . Морфизм F  : XY в категории является изоморфизмом , если оно допускает двусторонний обратное, а это означает , что существует еще один морфизм г  : YX в этой категории , такие , что гс = 1 Х и фг = 1 У , где- Х и 1 Y являются тождественными морфизмами X и Y , соответственно.

Примеры

Логарифм и экспоненциальный

Пусть мультипликативная группа положительных действительных чисел , и пусть аддитивная группа вещественных чисел.

В функции логарифм удовлетворяет для всех , так что это гомоморфизм групп . Экспоненциальная функция удовлетворяет всем , так что это тоже является гомоморфизмом.

Идентичность и показать , что и являются обратными друг друга. Так как гомоморфизм , который имеет обратный , который также является гомоморфизмом, является изоморфизмом групп.

Потому что есть изоморфизм, он переводит умножение положительных действительных чисел в дополнение действительных чисел. Это средство позволяет умножить действительные числа , используя линейку и таблицу логарифмов , или используя логарифмическую линейку с логарифмической шкалой.

Целые по модулю 6

Рассмотрим группу , целые числа от 0 до 5 с добавлением по модулю  6. Кроме того, рассмотрим группу , упорядоченные пары , где х координаты могут быть 0 или 1, а координаты у может быть 0, 1 или 2, где в дополнение х координата по модулю 2 и добавление в у -координаты по модулю 3.

Эти структуры изоморфны при добавлении, по следующей схеме:

(0,0) ↦ 0
(1,1) ↦ 1
(0,2) ↦ 2
(1,0) ↦ 3
(0,1) ↦ 4
(1,2) ↦ 5

или в целом ( , б ) ↦ (3 + 4 б ) мод 6.

Например, (1,1) + (1,0) = (0,1) , который переводит в другой системе как 1 + 3 = 4 .

Несмотря на то, что эти две группы «выглядят» отличается тем , что наборы содержат различные элементы, они действительно изоморфны : их структуры , точно так же. В более общем случае прямое произведение двух циклических групп и изоморфна тогда и только тогда , когда т и п являются взаимно простыми , согласно теореме китайского остатка .

Соотношение сохраняющего изоморфизма

Если один объект состоит из множества X с бинарным отношением R , а другой объект состоит из множества Y с бинарным отношением S тогда изоморфизм из X на Y является функцией биективен ƒ: ХY такое , что:

S является рефлексивным , иррефлексивным , симметричным , антисимметричным , асимметричным , транзитивным , общим , разделенным на три частях , А частичный порядок , общий порядок , а порядка , строгий слабый порядок , общая предпорядок (слабый порядок), отношение эквивалентности , или связь с любым другим особые свойства, если и только если R есть.

Например, R представляет собой упорядочение ≤ S и упорядочение , то изоморфизм из X на Y является функцией биективен ƒ: ХY такое , что

Такой изоморфизм называется изоморфизмом порядка или (реже) изотонен изоморфизмом .

Если X = Y , то это отношение сохраняющих автоморфизм .

Изоморфизм против биективный морфизм

В конкретной категории (то есть, грубо говоря, категория, объектами которой являются множества и морфизмы отображения между множествами), такие как категории топологических пространств или категорий алгебраических объектов , таких как группы, кольца и модули, изоморфизм должен быть биективен на основных множеств. В алгебраических категориях ( в частности, категории сортов в смысле универсальной алгебры ), изоморфизм такой же , как гомоморфизм , который биективен на нижележащих наборов. Тем не менее, есть конкретные категории , в которых биективные морфизмы не обязательно являются изоморфизмами (например, категории топологических пространств), и есть категории , в которой каждый объект допускает основное множество , но в которых изоморфизмы не должны быть взаимно однозначными (например, категория гомотопической ХО-комплексов).

Приложения

В абстрактной алгебре определены два основных изоморфизма:

Так же , как автоморфизмы из в алгебраических структурах образуют группу , изоморфизмы между двумя алгебрами разделяющих общей структурой образуют кучу . Разрешив частности изоморфизмом определить две структуры превращает эту кучу в группу.

В математическом анализе , то преобразование Лапласа является сопоставление изоморфизма жесткие дифференциальные уравнений в более простые алгебраические уравнения.

В теории категории , пусть категория C состоят из двух классов , один из объектов , а другие из морфизмов . Тогда общее определение изоморфизма , который покрывает предыдущее и многих других случаев: изоморфизм морфизм ƒ: → B , который имеет обратный, т.е. существует морфизм г : б с ƒg = 1 б и = 1 . Так , например, взаимно однозначное линейное отображение является изоморфизм векторных пространств , а биективная непрерывная функция которого обратным также непрерывно изоморфизм между топологическими пространствами , называется гомеоморфизм .

В теории графов , изоморфизм между двумя графами G и H является биективен отображение F из вершин G к вершинам H , сохраняющим «край структуры» в том смысле , что есть ребро из вершины U в вершину V в G если и только если существует ребро от ƒ ( U ) к f ( v ) в H . См изоморфизма графов .

В математическом анализе изоморфизм между двумя гильбертовых пространств является взаимно однозначное соответствие с сохранением сложение, скалярное умножение и скалярное произведение.

В ранних теориях логического атомизма , формальные отношения между фактами и истинными предложениями был теоретизировалась Рассела и Витгенштейна изоморфными. Пример этой линии мышления можно найти в Рассела Введение в математическую философию .

В кибернетике , то хороший регулятор или теорема Conant-Эшби заявил : «Каждый хороший регулятор системы должен быть моделью этой системы». Независимо от регулируемого или саморегулирующейся, изоморфизм требуется между регулятором и обработки частей системы.

Связь с равенством

В некоторых областях математики, в частности теории категорий , она ценна различать равенство с одной стороны , и изоморфизмом на другом. Равенство , когда два объекта точно так же, и все , что правда об одном объекте верно о других, в то время как изоморфизм подразумевает все , что это верно в отношении назначенной части структуры одного объекта верно о друге. Например, наборы

а также

являются равными ; они просто разные представления, первый интенсиональный один (в множестве строителя обозначений ), а второй экстенсиональный (явным перечисление) -of то же подмножество целых чисел. В отличие от этого множества { , B , C } и {1,2,3} не равны -Первый есть элементы , которые являются буквами, в то время как вторая имеет элементы , которые являются числами. Они изоморфны как множества, так как конечные множества определяются с точностью до изоморфизма их мощность (количество элементов) , и они оба имеют три элемента, но есть много вариантов изоморфизма-один изоморфизм

а другой

и ни один изоморфизм не является принципиально лучше , чем любой другой. С этой точки зрения , и в этом смысле, эти два множества не равны , потому что никто не может считать их идентичными : можно выбрать изоморфизм между ними, но это более слабым требованием , чем идентичность, и действуют только в контексте выбранного изоморфизма.

Иногда изоморфизмы могут показаться очевидными и убедительными, но все еще не Равенство. В качестве простого примера, что генеалогические отношения между Джо , Джоном и Бобби Кеннеди, в некотором реальном смысле, то же самое , как и среди американских футбольных защитников в семье Мэннинга: Archie , Пейтон , и Эли . Тесть сын спаривания и старший брат-младший брат спаривания соответствуют отлично. Это сходство между двумя семейными структурами иллюстрирует происхождение слова изоморфизма (греческий изо -, «же» , и - морф , «форма» или «форма»). Но поскольку Kennedys не те же люди , как Маннингс, две генеалогических структуры просто изоморфны и не равны.

Другой пример является более формальным и более непосредственно иллюстрирует мотивацию для различения равенства от изоморфизма: различие между конечномерным векторным пространством V и его сопряженным пространством V * = {φ: V → K } линейных отображений из V в свою области скаляры K . Эти пространства имеют одинаковую размерность, и , таким образом , изоморфны как абстрактные векторные пространства (с алгебраически, векторными пространствами классифицируются по размеру, так же , как наборы классифицируются по мощности), но нет «естественного» выбора изоморфизма . Если выбрать базис V , то это дает изоморфизм: Для всех ц . vV ,

,

Это соответствует преобразованиям вектора - столбца (элемент V ) в вектор - строки (элемент из V *) путем транспозиции , но различный выбор базиса дает различный изоморфизм: изоморфизм «зависит от выбора базиса». Более тонко, там есть карта из векторного пространства V в его двойной двойной V ** = { х : V * → K } , которая не зависит от выбора базиса: Для всех vV и φ ∈ V *,

,

Это приводит к третьему понятию, что из естественного изоморфизма : в то время как V и V ** различные наборы, есть «естественный» выбор изоморфизма между ними. Это интуитивное понятие «изоморфизма , который не зависит от произвольного выбора» формализуется в понятии естественного преобразования ; кратко, что один может последовательно идентифицировать, или в более общую карту из, в конечномерном векторном пространстве его двойной двойной, для любого векторного пространства в единообразной форме. Формализация этой интуиции является мотивацией для развития теории категорий.

Тем не менее, есть случай , когда различие между естественным изоморфизмом и равенством, как правило , не производится. То есть для объектов , которые могут быть охарактеризованы с помощью универсального свойства . На самом деле, существует единственный изоморфизм, обязательно естественно, между двумя объектами обмена же универсальным свойством. Типичным примером является множество действительных чисел , которые могут быть определены посредством бесконечного расширения десятичной, бесконечного двоичного разложения, последовательностей Коши , порезы дедекиндовыми и многими другими способами. Формально эти конструкции определяют различные объекты, которые все являются решениями одного и того же универсального свойства. Поскольку эти объекты имеют точно такое же свойство, можно забыть метод построения и рассматривая их как равные. Это то , что каждый делает , когда речь идет о « на множестве действительных чисел». То же самое происходит с факторпространствами : они , как правило , построены в виде набора классов эквивалентности . Однако, говоря о множестве множеств может быть нелогичным, и фактор - пространства , которые обычно рассматриваются как пара из множества неопределенных объектов, часто называемые «точки», и сюръективно на это множество.

Если кто -то хочет , чтобы провести различие между произвольным изоморфизмом (тот , который зависит от выбора) и естественный изоморфизм (тот , который может быть сделан последовательно), один может написать для неестественного изоморфизма и для естественного изоморфизма, как и в VV * и V V **. Это соглашение не универсально последовало, и авторы , которые хотят провести различие между неестественными изоморфизмами и естественными изоморфизмами обычно явно указать различие.

Вообще, говоря , что два объекта равен зарезервировано, когда есть понятие больших (окружающие) пространств , что эти объекты живут. Чаще всего, один говорят о равенстве двух подмножеств данного множества (как в целом набора примера выше), но не из двух объектов отвлеченно представлены. Так , например, 2-мерный единичный шар в 3-мерном пространстве

и сфера Римана

которые могут быть представлены в виде одноточечной компактификации комплексной плоскости C ∪ {∞ } , или в качестве комплексной проективной прямойфактор - пространстве )

три различных описания для математического объекта, все из которых являются изоморфными, но не равны , так как они не все подмножества единого пространства: первое подмножество R 3 , вторая CR 2 плюс дополнительные точки, и третий является подфактор из С 2

В контексте теории категории, объекты, как правило , в большинстве изоморфных-действительно, мотивация для развития теории категории показывала , что различные конструкции в теории гомологии дали эквивалентные (изоморфные) группы. Указанные карты между двумя объектами X и Y , однако, один спрашивает , если они равны или нет (они оба являются элементами множества Hom ( XY ), следовательно , равенством является правильным соотношением), особенно в коммутативных диаграммах .

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

дальнейшее чтение

внешняя ссылка