Кольцо целых чисел - Ring of integers

В математике , то кольцо целых чисел в качестве поля алгебраических чисел является кольцом всех целых алгебраических чисел , содержащихся в . Алгебраическое число является корнем в унитарный многочлен с целыми коэффициентами . Это кольцо часто обозначают символом или . Поскольку любое целое число , принадлежит и является неотъемлемым элементом , кольцо всегда Подкольцо из .

Кольцо целых чисел - это простейшее возможное кольцо целых чисел. А именно, где это поле из рациональных чисел . И действительно, в теории алгебраических чисел элементы часто называют «целыми рациональными числами» из-за этого.

Следующий простейший пример - кольцо гауссовских целых чисел , состоящее из комплексных чисел, действительная и мнимая части которых являются целыми числами. Это кольцо целых чисел в поле Номер из гауссовых рациональных чисел , состоящих из комплексных чисел, действительная и мнимая части являются рациональными числами. Подобно целым рациональным числам, это евклидова область .

Кольцо целых чисел поля алгебраических чисел - это единственный максимальный порядок в поле. Это всегда дедекиндовское владение .

Характеристики

Кольцо целых O K является конечно-порожденной Z - модуль . В самом деле, это свободный Z - модуль, и , следовательно , имеет интегральную основу , которая является основой б 1 , ..., б п ∈ O K из Q -векторных пространства  K таким образом, что каждый элемент  х в O K может быть однозначно представлен как

с в яZ . Ранга  п из O K как свободный Z - модуль равен степени из  K над Q .

Примеры

Вычислительный инструмент

Полезным инструментом для вычисления интегрального замыкания кольца целых чисел в алгебраическом поле K / Q является использование дискриминанта. Если K имеет степень n над Q и образует базис K над Q , положим . Тогда является подмодулем Z -модуля, натянутым на pg. 33 . Фактически, если d не содержит квадратов, то это составляет интегральную основу для pg. 35 .

Циклотомические расширения

Если p - простое число , ζ - корень p- й степени из единицы и K = Q ( ζ ) - соответствующее круговое поле , то интегральный базис O K = Z [ ζ ] задается формулами (1,  ζ ,  ζ 2 , ...,  ζ p −2 ) .

Квадратичные расширения

Если - целое число без квадратов и соответствующее квадратичное поле , то является кольцом целых квадратичных чисел, и его интегральный базис задается формулой (1, (1 + d ) / 2), если d ≡ 1 ( mod 4), и (1,  d ), если d ≡ 2, 3 (mod 4) . Это можно найти, вычислив минимальный многочлен произвольного элемента, где .

Мультипликативная структура

В кольце целых чисел каждый элемент имеет факторизацию на неприводимые элементы , но кольцо не обязательно должно обладать свойством уникальной факторизации : например, в кольце целых чисел Z [ −5 ] элемент 6 имеет две существенно разные факторизации. на несводимые:

Кольцо целых чисел всегда является дедекиндовской областью , и поэтому имеет уникальную факторизацию идеалов в простые идеалы .

В единицы кольца целых чисел О К является конечно порожденной абелевой группой по теореме Дирихле о единицах . Подгруппа кручения состоит из корней из единицы в K . Набор генераторов без кручения называется набором фундаментальных единиц .

Обобщение

Один определяет кольцо целых чисел неархимедова локального поля F как множество всех элементов F с абсолютным значением ≤ 1 ; это кольцо из-за сильного неравенства треугольника. Если F - пополнение поля алгебраических чисел, его кольцо целых чисел является пополнением последнего кольца целых чисел. Кольцо целых чисел поля алгебраических чисел можно охарактеризовать как элементы, которые являются целыми числами в каждом неархимедовом пополнении.

Например, целые p -адические числа Z p представляют собой кольцо целых p -адических чисел Q p .

Смотрите также

Заметки

Цитаты


Рекомендации