Кольцо целых чисел - Ring of integers
В математике , то кольцо целых чисел в качестве поля алгебраических чисел является кольцом всех целых алгебраических чисел , содержащихся в . Алгебраическое число является корнем в унитарный многочлен с целыми коэффициентами . Это кольцо часто обозначают символом или . Поскольку любое целое число , принадлежит и является неотъемлемым элементом , кольцо всегда Подкольцо из .
Кольцо целых чисел - это простейшее возможное кольцо целых чисел. А именно, где это поле из рациональных чисел . И действительно, в теории алгебраических чисел элементы часто называют «целыми рациональными числами» из-за этого.
Следующий простейший пример - кольцо гауссовских целых чисел , состоящее из комплексных чисел, действительная и мнимая части которых являются целыми числами. Это кольцо целых чисел в поле Номер из гауссовых рациональных чисел , состоящих из комплексных чисел, действительная и мнимая части являются рациональными числами. Подобно целым рациональным числам, это евклидова область .
Кольцо целых чисел поля алгебраических чисел - это единственный максимальный порядок в поле. Это всегда дедекиндовское владение .
Характеристики
Кольцо целых O K является конечно-порожденной Z - модуль . В самом деле, это свободный Z - модуль, и , следовательно , имеет интегральную основу , которая является основой б 1 , ..., б п ∈ O K из Q -векторных пространства K таким образом, что каждый элемент х в O K может быть однозначно представлен как
с в я ∈ Z . Ранга п из O K как свободный Z - модуль равен степени из K над Q .
Примеры
Вычислительный инструмент
Полезным инструментом для вычисления интегрального замыкания кольца целых чисел в алгебраическом поле K / Q является использование дискриминанта. Если K имеет степень n над Q и образует базис K над Q , положим . Тогда является подмодулем Z -модуля, натянутым на pg. 33 . Фактически, если d не содержит квадратов, то это составляет интегральную основу для pg. 35 .
Циклотомические расширения
Если p - простое число , ζ - корень p- й степени из единицы и K = Q ( ζ ) - соответствующее круговое поле , то интегральный базис O K = Z [ ζ ] задается формулами (1, ζ , ζ 2 , ..., ζ p −2 ) .
Квадратичные расширения
Если - целое число без квадратов и соответствующее квадратичное поле , то является кольцом целых квадратичных чисел, и его интегральный базис задается формулой (1, (1 + √ d ) / 2), если d ≡ 1 ( mod 4), и (1, √ d ), если d ≡ 2, 3 (mod 4) . Это можно найти, вычислив минимальный многочлен произвольного элемента, где .
Мультипликативная структура
В кольце целых чисел каждый элемент имеет факторизацию на неприводимые элементы , но кольцо не обязательно должно обладать свойством уникальной факторизации : например, в кольце целых чисел Z [ √ −5 ] элемент 6 имеет две существенно разные факторизации. на несводимые:
Кольцо целых чисел всегда является дедекиндовской областью , и поэтому имеет уникальную факторизацию идеалов в простые идеалы .
В единицы кольца целых чисел О К является конечно порожденной абелевой группой по теореме Дирихле о единицах . Подгруппа кручения состоит из корней из единицы в K . Набор генераторов без кручения называется набором фундаментальных единиц .
Обобщение
Один определяет кольцо целых чисел неархимедова локального поля F как множество всех элементов F с абсолютным значением ≤ 1 ; это кольцо из-за сильного неравенства треугольника. Если F - пополнение поля алгебраических чисел, его кольцо целых чисел является пополнением последнего кольца целых чисел. Кольцо целых чисел поля алгебраических чисел можно охарактеризовать как элементы, которые являются целыми числами в каждом неархимедовом пополнении.
Например, целые p -адические числа Z p представляют собой кольцо целых p -адических чисел Q p .
Смотрите также
- Минимальный многочлен (теория поля)
- Интегральное замыкание - дает метод вычисления интегральных замыканий.
Заметки
Цитаты
Рекомендации
- Алача, Сабан; Уильямс, Кеннет С. (2003). Вводная алгебраическая теория чисел . Издательство Кембриджского университета . ISBN 9780511791260.
- Касселс, JWS (1986). Местные поля . Тексты студентов Лондонского математического общества. 3 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006 .
- Нойкирх, Юрген (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту 1697859 . Zbl 0956.11021 .
- Самуэль, Пьер (1972). Алгебраическая теория чисел . Германн / Кершоу.