Категория колец - Category of rings

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Основные понятия Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо с продуктом • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Клеммное кольцо ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (п ^ {\ infty})}$ • Основание - круговое кольцо p ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ • База - p целых чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -адические рациональные числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • База - p вещественных чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -адические целые числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p -адические числа ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • p -адический соленоид ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

В математике , то категория колец , обозначается кольцом , является категорией , объекты которой является кольцо (с единицей) и чьи морфизмы являются кольцевыми гомоморфизмами (которые сохраняют идентичность). Как и многие категории в математике, категория колец велика , а это означает, что класс всех колец правильный .

Как конкретная категория

Категория Кольцо - это конкретная категория, означающая, что объекты представляют собой множества с дополнительной структурой (сложение и умножение), а морфизмы - это функции , сохраняющие эту структуру. Есть естественный забывчивый функтор

U  : Кольцо → Установить

для категории колец в категорию наборов, которые отправляют каждое кольцо в его базовый набор (таким образом «забывая» операции сложения и умножения). У этого функтора есть сопряженный слева

F  : Установить → Кольцо

который присваивает каждое множество X в свободном кольцо , порожденном X .

Можно также рассматривать категорию колец как конкретную категорию над Ab ( категория абелевых групп ) или над Mon ( категория моноидов ). В частности, есть забывчивые функторы

A  : кольцо → Ab

M  : кольцо → пн

которые «забывают» умножение и сложение соответственно. Оба этих функтора имеют левые сопряжения. Левые сопряженный А есть функтор , который присваивает к каждой абелевой группе X (рассматривать как Z - модуль ) тензор кольцо Т ( Х ). Левый сопряженный к M функтор сопоставляет каждому моноиду X целое кольцо моноидов Z [ X ].

Характеристики

Пределы и коллимиты

Категория « Кольцо» одновременно является полной и совмещенной , что означает, что все малые пределы и копределы существуют в кольце . Как и многие другие алгебраические категории, забывчивый функтор U  : Ring → Set создает (и сохраняет) пределы и отфильтрованные копределы , но не сохраняет ни копроизведения, ни коэквалайзеры . Забывчивые функторы к Ab и Mon также создают и сохраняют пределы.

Примеры пределов и копределов в Ring включают:

• Кольцо целых чисел Z - начальный объект в Ring .
• Нулевое кольцо является терминалом объекта в кольце .
• Продукт в кольце даются прямым произведением колец . Это просто декартово произведение базовых множеств с покомпонентным определением сложения и умножения.
• Копроизведение семейства колец существует и дается конструкция , аналогичной к свободному произведению групп. Копроизведение ненулевых колец может быть нулевым кольцом; в частности, это происходит всякий раз, когда множители имеют относительно простые характеристики (поскольку характеристика копроизведения ( R _i ) _{i ∈ I} должна делить характеристики каждого из колец R _i ).
• Эквалайзер в кольце просто теоретико-множественная эквалайзера (эквалайзер из двух кольцевых гомоморфизмов всегда Подкольцо ).
• Коуравнитель из двух кольцевых гомоморфизмов F и г от R до S является фактор из S по идеалу , порожденной всеми элементами вида F ( г ) - г ( г ) для г ∈ R .
• Учитывая кольцевой гомоморфизм F  : R → S в ядро пары из F (это только откат от е с самим собой) является отношение конгруэнтности на R . Идеал, определяемый этим соотношением конгруэнтности, является в точности (теоретико-кольцевым) ядром функции f . Обратите внимание, что теоретико-категориальные ядра не имеют смысла в Ring, поскольку нет нулевых морфизмов (см. Ниже).

Морфизмы

В отличие от многих категорий, изучаемых в математике, не всегда существуют морфизмы между парами объектов в кольце . Это следствие того факта, что гомоморфизмы колец должны сохранять тождество. Например, нет морфизмов нулевого кольца 0 в любое ненулевое кольцо. Необходимым условием там быть морфизмы из R к S является то , что характерно для S разрыва , что из R .

Обратите внимание, что даже несмотря на то, что некоторые из hom-множеств пусты, категория Ring по-прежнему подключена, поскольку у нее есть начальный объект.

Некоторые специальные классы морфизмов в Ring включают:

• Изоморфизмы в кольце - это биективные гомоморфизмы колец.
• Мономорфизмы в кольце - это инъективные гомоморфизмы. Однако не всякий мономорфизм регулярен .
• Любой сюръективный гомоморфизм является эпиморфизмом в кольце , но обратное неверно. Включение Z → Q - несюръективный эпиморфизм. Естественный гомоморфизм колец из любого коммутативного кольца R в любую из его локализаций является эпиморфизмом, который не обязательно сюръективен.
• Сюръективные гомоморфизмы можно охарактеризовать как регулярные или экстремальные эпиморфизмы в кольце (эти два класса совпадают).
• Биморфизмы в кольце - это инъективные эпиморфизмы. Включение Z → Q является примером биморфизма, который не является изоморфизмом.

Прочие свойства

• Единственный инъективный объект в кольце с точностью до изоморфизма - это нулевое кольцо (т.е. конечный объект).
• Без нулевых морфизмов категория колец не может быть преаддитивной категорией . (Однако каждое кольцо, рассматриваемое как категория с одним объектом, является предаддитивной категорией).
• Категория колец - это симметричная моноидальная категория с тензорным произведением колец ⊗ _Z в качестве моноидального произведения и кольцом целых чисел Z в качестве единичного объекта. Из теоремы Экмана – Хилтона следует , что моноид в кольце является коммутативным кольцом . Действие моноида (= коммутативное кольцо) R на объекте (= кольцо) из кольца является R - алгебра .

Подкатегории

Категория колец имеет ряд важных подкатегорий . Они включают в себя полные подкатегорий из коммутативных колец , интегральных областей , областей главных идеалов и поле .

Категория коммутативных колец

Категория коммутативных колец , обозначенный CRING , является полной подкатегорией Ring , объекты которой являются все коммутативными кольцами . Эта категория является одним из центральных объектов изучения предмета коммутативной алгебры .

Любое кольцо можно сделать коммутативным, если взять фактор по идеалу, порожденному всеми элементами вида ( xy - yx ). Это определяет функтор Ring → CRing, который сопряжен слева с функтором включения, так что CRing является рефлексивной подкатегорией в Ring . Свободное коммутативное кольцо на множестве генераторов Е является кольцо многочленов Z [ Е ], переменный которого берется из Е . Это дает левый сопряженный функтор забывчивому функтору из CRing в Set .

CRing является закрытым по пределу в Ring , что означает, что ограничения в CRing такие же, как и в Ring . Коллимиты, однако, обычно разные. Их можно сформировать, взяв коммутативное частное копределов в кольце . Копроизведение двух коммутативных колец дается тензорным произведением колец . Опять же, копроизведение двух ненулевых коммутативных колец может быть нулевым.

Напротив категории из CRING является эквивалентом к категории аффинных схем . Эквивалентность задается контравариантным функтором Spec, который переводит коммутативное кольцо в свой спектр - аффинную схему .

Категория полей

Категория пола , обозначенное поле , является полной подкатегорией CRING , объекты которой является полем . Категория полей не так хорошо развита, как другие алгебраические категории. В частности, свободных полей не существует (т.е. не существует левого сопряженного к забывчивому функтору Поле → Set ). Отсюда следует , что поле является не рефлексивной подкатегорией CRING .

Категория полей не является ни конечно полной, ни конечно кокополной. В частности, у Field нет ни продуктов, ни побочных продуктов.

Еще один любопытный аспект категории полей состоит в том, что каждый морфизм является мономорфизмом . Это следует из того факта, что единственными идеалами в поле F являются нулевой идеал и сам F. Затем можно рассматривать морфизмы в Поле как расширения поля .

Категория полей не связана . Между полями разной характеристики нет морфизмов . Компоненты связности поля - это полные подкатегории характеристики p , где p = 0 или простое число . Каждая такая подкатегория имеет начальный объект : простое поле характеристики p (которое является Q, если p = 0, в противном случае - конечным полем F _p ).

Связанные категории и функторы

Категория групп

Существует естественный функтор из кольца к категории групп , Grp , который посылает каждое кольцо R к его группе единиц U ( R ) и в каждом кольцевом гомоморфизм к ограничению на U ( R ). У этого функтора есть левый сопряженный элемент, который переводит каждую группу G в целое групповое кольцо Z [ G ].

Другой функтор между этими категориями переводит каждое кольцо R в группу единиц кольца матриц M ₂ ( R ), которая действует на проективной прямой над кольцом P ( R ).

R -алгебры

Для коммутативного кольца R можно определить категорию R -Alg , все объекты которой являются R -алгебрами, а морфизмы - гомоморфизмами R -алгебр.

Категорию колец можно считать частным случаем. Каждое кольцо можно однозначно рассматривать как Z -алгебру. Гомоморфизмы колец - это в точности гомоморфизмы Z- алгебр. Следовательно, категория колец изоморфна категории Z-Alg . Многие утверждения о категории колец можно обобщить до утверждений о категории R -алгебр.

Для каждого коммутативного кольца R существует функтор R -Alg → Ring, который забывает структуру R -модуля. У этого функтора есть левый сопряженный элемент, который переводит каждое кольцо A в тензорное произведение R ⊗ _Z A , которое можно представить как R -алгебру, положив r · ( s ⊗ a ) = rs ⊗ a .

Кольца без личности

Многие авторы не требуют, чтобы кольца имели мультипликативный элемент идентичности и, соответственно, не требуют гомоморфизма колец для сохранения идентичности (если он существует). Это приводит к совершенно другой категории. Для различения мы называем такие алгебраические структуры rng и их морфизмы гомоморфизмами . Категория всех рангов обозначим Rng .

Категория колец Ring является неполной подкатегорией в Rng . Он неполный, потому что между кольцами существуют гомоморфизмы rng, которые не сохраняют тождество и, следовательно, не являются морфизмами в кольце . Функтор включения Ring → Rng имеет левый сопряженный элемент, который формально присоединяет единицу к любому rng. Функтор включения Ring → Rng учитывает пределы, но не копределы.

Нулевое кольцо служит как начальный и терминальный объект в Rng (то есть, это нулевой объект ). Отсюда следует, что Rng , как и Grp, но в отличие от Ring , не имеет морфизмов . Это просто гомоморфизмы rng, которые переводят все в 0. Несмотря на существование нулевых морфизмов, Rng по-прежнему не является предаддитивной категорией . Поточечная сумма двух rng-гомоморфизмов, вообще говоря, не является rng-гомоморфизмом.

Существует полностью точный функтор из категории абелевых групп в Rng, переводящий абелеву группу в ассоциированный Rng с квадратом нуля .

Бесплатные конструкции менее естественны в Rng, чем в Ring . Например, свободное кольцо, порожденное набором { x }, является кольцом всех целочисленных многочленов над x без постоянного члена, в то время как свободное кольцо, порожденное { x }, является просто кольцом многочленов Z [ x ].

использованная литература

• Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-60922-6.
• Мак-Лейн, Сондерс ; Гаррет Биркофф (1999). Алгебра ((3-е изд.) Изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1646-2.
• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике 5 ((2-е изд.) Изд.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.