Кольцо (математика) - Ring (mathematics)


Из Википедии, свободной энциклопедии
Глава IX от Давида Гильберта «s Die Theorie дер algebraischen Zahlkörper. Название глава Die Zahlringe де Körpers, в буквальном смысле «число колец поля». Слово «кольцо» является сокращение «Zahlring».

В математике , А кольцо является одним из основных алгебраических структур , используемых в абстрактной алгебре . Она состоит из набора , оснащенные два бинарных операций , обобщающих арифметические операции из того и умножения . С помощью этого обобщения теоремы из арифметики распространяется на нечисловые объекты , такие как полиномы , серия , матрицы и функции .

Кольцо является абелевой группой со второй бинарной операцией , которая ассоциативное , является дистрибутивным над операцией абелевой группы, и имеет единичный элемент (это последнее свойство не требуются некоторые авторы, см § Примечания по определению ). В расширительном из целых чисел , операция абелева группа называется дополнением и второй бинарная операция называется умножением .

Если кольцо является коммутативной или нет (то есть, независимо от того порядок , в котором два элемента умножаются в результате изменения или нет) оказывает глубокое воздействие на его поведение в качестве абстрактного объекта. В результате теория коммутативного кольца, широко известная как коммутативная алгебра , является ключевой темой в теории колец . Ее развитие было в значительной степени под влиянием проблем и идей , встречающихся в природе в алгебраической теории чисел и алгебраической геометрии . Примеры коммутативных колец включают множество целых чисел , снабженных операций сложения и умножения, множество многочленов , оснащенных их сложения и умножения, то координатное кольцо из в аффинном алгебраическом многообразии , а кольцо целых числового поля. Примеры некоммутативных колец включают кольцо п × п реальных квадратные матриц с п ≥ 2, групповые кольца в теории представлений , операторные алгебры в функциональном анализе , кольцо дифференциальных операторов в теории дифференциальных операторов , и кольцо когомологий из в топологическом пространстве в топологии .

Концептуализация колец началось в 1870 - е годы и была завершена в 1920 году . Основные участники включают дедекиндовость , Гильберт , Френкель и Нётер . Кольца были впервые формализованными как обобщение дедекиндовыми доменов , которые происходят в теории чисел , и полиномиальных колец и колец инвариантов , которые происходят в алгебраической геометрии и теории инвариантов . После этого , они также оказались полезными в других областях математики , такие как геометрия и математический анализ .

содержание

Определение и иллюстрации

Наиболее известный пример кольца является множеством всех целых чисел , , состоящим из чисел

, , , , -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,. , ,

Знакомые свойства для сложения и умножения целых чисел служить моделью для аксиом для колец.

Определение

Кольцо представляет собой набор R оснащены два бинарных операциями + и · , удовлетворяющих следующие три набора аксиом, называемые кольцевые аксиомы

1. R является абелевой группой относительно сложения, а это означает , что:

2. R представляет собой моноид по умножению, а это означает , что:

  • ( · Б ) · с = · ( Ь · с ) при всех в , б , с в R    (то есть, · ассоциативно).
  • Существует элемент 1 в R такое , что · 1 = и 1 · = для всех в R    (то есть, 1 является мультипликативной идентичность ).

3. Умножение дистрибутивно относительно сложения:

  • ⋅ ( Ь + с ) = ( · б ) + ( · с ) при всех в , б , с в R    (левый дистрибутивности).
  • ( Ь + с ) · = ( Ь · ) + ( с · ) для всех в , б , с в R    (правый дистрибутивности).

Замечания по определению

Как объяснялось в истории § ниже, многие авторы следуют альтернативной конвенции , в которой кольцо не определен , чтобы иметь мультипликативный идентичность. Эта статья принимает соглашение , что, если не указано иное, предполагается , что кольцо , чтобы иметь такую идентичность. Структура , удовлетворяющая всем аксиомам , за исключением требования , что существует мультипликативный единичный элемент называется RNG (обычно произносится как «ступеньку», а иногда называют псевдо-кольцо ). Например, множество четных целых чисел с обычным + и ⋅ является RNG, но не кольцо.

Операции + и ⋅ называются сложением и умножением , соответственно. Символ умножения ⋅ часто опускается, так что сопоставление кольцевых элементов интерпретируется как умножение. Например, х означает еу .

Хотя кольцо сложение коммутативно , умножение кольца не требуется коммутативные: абы не обязательно равные ба . Кольца , которые также удовлетворяют коммутативности для умножения (например, кольцо целых чисел ) называются коммутативные кольца . Книги по коммутативной алгебре или алгебраической геометрии часто принимают соглашение , что «кольцо» означает «коммутативное кольцо», для упрощения терминологии.

В кольце, умножение не должно иметь обратный. А (не- тривиальное ) коммутативное кольцо таким образом, что каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный называется полем .

Аддитивная группа кольца является кольцо оборудован только со структурой того. Хотя определение предполагает, что аддитивная группа абелева, это может быть выведено из других аксиом кольца.

Основные свойства

Некоторые основные свойства кольца непосредственно следует из аксиом:

  • Идентичность добавки, добавка инверсия каждого элемента, а мультипликативная идентичность является уникальными.
  • Для любого элемента х в кольце R , имеет один х 0 = 0 = 0 х (нуль является поглощающим элементом относительно умножения) и (-1) х = - х .
  • Если 0 = 1 в кольце R (или в более общем случае , 0 является единичным элементом), то R имеет только один элемент, и называется нулевым кольцом .
  • Биномиальная формула справедлива для любой коммутирующей пары элементов (т.е. любого х и у такие , что х = ух ).

Пример: Целые по модулю 4

Оборудуйте набор со следующими операциями:

  • Сумма в Z 4 является остатком , когда целое число х + у делится на 4 (как х + у всегда меньше , чем 8, этот остаток является либо х + у или х + у - 4). Так , например, и .
  • Продукт в Z 4 является остатком , когда целое число х делится на 4. Например, и .

Тогда Z 4 представляет собой кольцо: каждая аксиома следует из соответствующей аксиомы для Z . Если х представляет собой целое число, остаток х при делении на 4 может быть рассмотрена в качестве элемента Z 4 , и этот элемент часто обозначаются « х модами 4» или , что согласуется с обозначениями для 0,1,2 , 3. Добавка обратным любому в Z 4 является . Например,

Пример: 2-на-2 матрицы

Набор 2-на-2 матрицы с реальным числом записей написано

С операциями сложения матриц и умножения матриц , этот набор удовлетворяет указанным выше кольцевых аксиомам. Элемент является мультипликативной единицей кольца. Если и , то в то время ; Этот пример показывает , что кольцо некоммутативно.

В более общем плане , для любого кольца R , коммутативного или нет, и любого неотрицательного целого числа п , можно образовать кольцо п матрицы с размерностью п матриц с элементами из R : см Matrix кольца .

история

Дедекинд , один из создателей теории колец .

дедекиндово

Изучение колец возникло из теории полиномиальных колец и теории алгебраических чисел . В 1871 году Дедекинд определил понятие кольца целых чисел поля. В связи с этим он ввел термины «идеал» (вдохновленный Куммер понятие «s идеального числа) и„модуль“и изучены их свойства. Но дедекиндово не использовал термин «кольцо» и не определил понятие кольца в общей постановке.

Гильберт

Термин «Zahlring» (номер кольцо) был придуман Давидом Гильбертом в 1892 году и опубликован в 1897 г. В 19 веке немецкого, слово «кольцо» может означать «объединение», который до сих пор используется в английском языке в ограниченном смысле (например , , шпионский), так что если бы это было этимология , то это было бы подобно тому, как «группа» вошли в математике, будучи нетехническим словом «коллекция связанных вещей». Согласно Харви Co, Гильберт использовал термин для кольца , который имел свойство «кружась непосредственно назад» к элементу сам по себе. В частности, в кольце алгебраических чисел, все высокие степени алгебраического целого числа можно записать в виде интегральной комбинации фиксированного набора более низких степеней, и , таким образом полномочия «цикла назад». Например, если 3 - 4 + 1 = 0 , то 3 = 4 - 1 , 4 = 4 2 - , 5 = - 2 + 16 - 4 , в 6 = 16 2 - 8 + 1 , 7 = -8 2 + 65 - 16 , и так далее; в общем, п будет целочисленной линейной комбинацией 1, , и в 2 .

Френкель и Noether

Первое аксиоматическое определение кольца было дано Адольфом Френкелем в 1914 году, но его аксиомы были строже , чем в современном определении. Так , например, он требовал каждый ненулевой делитель иметь мультипликативный обратный . В 1921 году Э. Нётер дал современное определение аксиоматика (коммутативной) кольца и разработал основы теории коммутативных колец в ее работе Idealtheorie в Ringbereichen .

Multiplicative идентичность: обязательный против опциональный

Френкель требуется кольцо, чтобы иметь мультипликативный идентичность 1, тогда как Нётеровский не было.

Большинство или все книги по алгебре до около 1960 последовал конвенции Нетер о не требующих 1. Начиная с 1960-х годов, она становится все более распространенным, чтобы увидеть книги, в том числе наличие 1 в определении кольца, особенно в передовых книг известных авторов таких в артиновской, Атия и Макдональд, Бурбаки, Эйзенбуда и Ланг. Но даже сегодня, остается много книг, которые не требуют 1.

Столкнувшись с этой терминологической неопределенностью, некоторые авторы пытались навязать свою точку зрения, в то время как другие пытались принять более точные сроки.

В первой категории, мы находим, например, Гарднер и Wiegandt, которые утверждают, что если один требует, чтобы все колец, чтобы иметь 1, то некоторые последствия включают отсутствие существования бесконечных прямых сумм колец, а также тот факт, что соответствующие прямые слагаемые кольца не подкольца. Они пришли к выводу, что «во многих, может быть, больше всего, ветвь теории колец требования о существовании элемента единства не имеет смысла, и поэтому неприемлемо.»

Во второй категории, мы находим авторов, которые используют следующие термины:

  • кольца с мультипликативной идентичности: унитальной кольца , унитарного кольца , единицы кольца , кольцо с единицей , кольцо с единицей , или кольцо с 1
  • кольца , не требующие мультипликативный идентичности: RNG или псевдо-кольцо , хотя последний может сбивать с толку, как имеющие другие значения.

Основные примеры

Коммутативные кольца :

Некоммутативные кольца :

  • Для любого кольца R и любого натурального числа п , множество всех квадрата п матрицу с размерностью п матриц с элементами из R , образует кольцо с матрицей сложения и умножения матриц в качестве операций. Для п = 1, эта матрица кольцо изоморфно R сам. Для п > 1 (и R не нулевое кольцо), эта матрица кольцо некоммутативна.
  • Если G является абелевой группой , то эндоморфизмами из G образуют кольцо, кольцо эндоморфизмов End ( G ) от G . Операции в этом кольце являются дополнением и состав эндоморфизмов. В более общем смысле , если V является левым модулем над кольцом R , то множество всех R -линейной карты образует кольцо, называемое также эндоморфизм кольцо и обозначаются End R ( V ).
  • Если G является группой , и R представляет собой кольцо, то групповое кольцо из G над R представляет собой свободный модуль над R , имеющий G в качестве основы. Умножение определяется правилами , что элементы G коммутируют с элементами R и размножаются вместе , как они это делают в группе G .
  • Многие кольца , которые появляются при анализе некоммутативны. Например, большинство банаховых алгебр некоммутативны.

Non-кольца:

  • Множество натуральных чисел N с обычными операциями не является кольцом, так как ( N , +) еще не является группой (элементы не все обратимо относительно того ). Например, не существует натуральное число , которое может быть добавлено до 3 , чтобы получить 0 в качестве результата. Существует естественный способ сделать это кольцо, добавляя отрицательные числа к набору, получая таким образом кольцо целых чисел . Натуральные числа (включая 0) образуют алгебраическую структуру , известную как полукольца (который имеет все свойства кольца , кроме аддитивной обратной собственности).
  • Пусть R множество всех непрерывных функций на прямой, обращающихся в нуль вне ограниченного интервала в зависимости от функции, с добавлением , как обычно , но с умножением определяется как свертка :
Тогда R является RNG , но не Кольцо: дельта - функции Дирака обладает свойством мультипликативного идентичности, но это не является функцией и , следовательно , не является элементом R .

Основные понятия

Элементы в кольце

Левый делитель нуля кольца является ненулевым элементом в кольце таким образом, что существует ненулевой элемент из такого , что . Правый делитель нуля определяется аналогично.

Нильпотентный элемент является элементом , таким образом, что для некоторых . Одним из примеров нильпотентном элемента является нильпотентной матрицей . Нильпотентный элемент в ненулевом кольце обязательно является делитель нуля.

Идемпотентная является элементом таким образом, что . Одним из примеров элемента идемпотентного является проекцией линейной алгебры.

Блок представляет собой элемент , имеющий мультипликативный обратный ; в этом случае обратный является уникальным, и обозначаются . Множество единиц кольца является группой под кольцом умножения; эта группа обозначается через или или . Например, если R является кольцом всех квадратных матриц размера п над полем, то состоит из множества всех обратимых матриц размера п , и называется общей линейной группой .

подкольцу

Подмножество S из R называется быть подкольцо , если его можно рассматривать как кольцо с добавлением и умножения ограниченного от R до S . Эквивалентное S является подкольцом , если оно не пусто, и для любых х , у в S , , и в S . Если все кольца было предполагается, по соглашению, чтобы иметь мультипликативную идентичность, то , чтобы быть Подкольцом один также потребует S , чтобы один и тот же единичного элемента в виде R . Так что, если предполагалось , все кольца должны иметь мультипликативный идентичность, то собственный идеал не подкольцо.

Например, кольцо Z из целых чисел является подкольцом поля из действительных чисел , а также подкольцо кольца многочленов Z [ X ] (в обеих случаях, Z содержит 1, который является мультипликативной идентичностью больших колец). С другой стороны, подмножество четных чисел 2 Z не содержит единичный элемент 1 и , следовательно , не подпадает под категорию подкольцу Z .

Пересечение подкольцах является подкольцом. Наименьшее подкольцо , содержащее данное подмножество Е из R называется подкольцо , порожденное Е . Такое Подкольцо существует , так как оно является пересечением всех подколец , содержащих Е .

Для кольца R , наименьшее подкольцо , содержащее 1, называется характеристической подкольцо из R . Она может быть получена путем добавления копий 1 и -1 вместе много раз в любой смеси. Вполне возможно , что ( п раз) может быть равна нулю. Если п есть наименьшее целое положительное число такое , что это происходит, то п называется характеристику из R . В некоторых кольцах, никогда не равна нулю для любого натурального числа п , и эти кольца как говорят, имеют нулевую характеристику .

Учитывая кольцо R , пусть обозначим множество всех элементов х в R такой , что х коммутирует с каждым элементом в R : для любого у в R . Тогда является подкольцом R ; называется центром в R . В более общем плане , учитывая подмножество Х из R , пусть S множество всех элементов R , коммутирующих с каждым элементом в X . Тогда S является подкольцом R , называется центратор (или коммутант) из X . Центр централизатор всего кольца R . Элементы или подмножества центра , как говорят, центральный в R ; они порождают подкольцо центра.

идеальный

Определение идеала в кольце аналогично нормальная подгруппы в группе. Но, в действительности, он играет роль идеализированного обобщения элемента в кольце; отсюда и название «идеальный». Как и элементы колец, изучение идеалов играет центральную роль в структурном понимании кольца.

Пусть R некоторое кольцо. Непустое подмножество Я из R затем называется левым идеалом в R , если для любых х , у в I и г в R , и в I . Если обозначает промежуток I над R ; т.е. множество конечных сумм

то я левый идеал , если . Кроме того , я сказал , чтобы быть правым идеалом , если . Подмножество я это называется двусторонним идеалом или просто идеально , если это и левый идеал и правый идеал. Односторонний или двусторонний идеал тогда аддитивная подгруппа R . Если Е представляет собой подмножество R , то есть левый идеал, называемый левый идеал , порожденный Е ; это наименьший левый идеал , содержащий Е . Аналогичным образом , можно считать , правый идеал или двусторонний идеал , порожденный подмножеством R .

Если х находится в R , то и остаются идеалы и правые идеалы, соответственно; они называются главным левые идеалы и правые идеалы , порожденные х . Главный идеал записывается . Например, множество всех положительных и отрицательных кратных 2 вместе с 0 образуют идеал из целых чисел, и этот идеал порождается целым числом 2. В самом деле, каждый идеал кольца целых чисел является главным.

Как группа, кольцо называется простым , если он отличен от нуля , и он не имеет собственных ненулевых двусторонних идеалов. Коммутативное простое кольцо точно поле.

Кольца часто изучаются с особыми условиями , установленными на их идеалы. Например, кольцо , в котором не существует строго возрастающая бесконечная цепь левых идеалов называется левым нетерово кольцо . Кольцо , в котором не существует строго убывающей бесконечная цепь левых идеалов называется левым артиново кольцо . Это несколько удивительно то , что левое артиново кольцо остается нетерово ( теорема Hopkins-Левицкий ). Эти целые числа, однако, образуют нётерову кольцо , которое не является артинами.

Для коммутативных колец, идеалы обобщают классическое понятие делимости и разложения целого числа на простые числа в алгебре. Собственный идеал P из R называется простым идеалом , если для любых элементов мы имеем , что подразумевает либо или . Эквивалентное P является простым , если для любых идеалов мы имеем , что означает либо или Эта последняя формулировка иллюстрирует идею идеалов как обобщения элементов.

Гомоморфизм

Гомоморфизм из кольца ( R +, · ) к кольцу ( S , ‡, *) является функцией F от R до S , который сохраняет кольцевые операции; а именно, например , что для всех , б , в R следующие тождества:

  • е ( + б ) = п ( ) ‡ е ( б )
  • е ( · б ) = п ( ) * е ( б )
  • е (1 R ) = 1 S

Если один работают с не обязательно унитарными кольцами, то третье условие отбрасывается.

Кольцо гомоморфизм назовет изоморфизм , если существует обратный гомоморфизм к F (то есть кольцевой гомоморфизм , который является обратной функцией ). Любой биективен кольцевой гомоморфизм является изоморфизмом колец. Два кольца называются изоморфными , если существует изоморфизм между ними , и в этом случае один пишет . Кольцевой гомоморфизм между тем же кольцом называется эндоморфизм и изоморфизм между тем же кольцом автоморфизм.

Примеры:

  • Функция , которая отображает каждый целое число х его остаток по модулю 4 (число в {0, 1, 2, 3}) есть гомоморфизм из кольца Z в факторе - кольце Z / 4 Z ( «фактор - кольцо» определенно ниже) ,
  • Если это единичный элемент в кольце R , то есть кольцевой гомоморфизм, называемый внутренний автоморфизм из R .
  • Пусть R коммутативное кольцо простой характеристики р . Тогда это кольцо эндоморфизм R называется фробениусова гомоморфизм .
  • Группа Галуа из поля расширения является множество всех автоморфизмов L , сужения на K тождественны.
  • Для любого кольца R существует единственный кольцевой гомоморфизм ZR и уникальный гомоморфизм колец R → 0.
  • Эпиморфизм (т.е. правого отменяемый морфизма) кольца не должен быть сюръективен. Например, уникальная карта эпиморфна.
  • Гомоморфизм алгебры из K - алгебры в алгебры эндоморфизмов векторного пространства над к называется представлением алгебры .

Учитывая кольцевой гомоморфизм , то множество всех элементов , отображенных в 0 е называется ядром из е . Ядро двусторонний идеал R . Изображение е , с другой стороны, не всегда является идеальным, но это всегда подкольцо S .

Чтобы дать кольцевой гомоморфизм из коммутативной кольца R в кольце А с изображением , содержащимся в центре А так же , как дать структуру алгебры над R , чтобы (в частности , дает структуру A - модуль).

Факторпространства кольцо

Фактор - кольцо кольца, аналогично понятию фактор - группы группы. Более формально, учитывая кольцо ( R +, · ) и двусторонний идеал I из ( R , +, · ), то фактор - кольцо (или фактор кольца ) R / I есть множество смежных классов I (по отношению к аддитивной группе из ( R , +, · ), то есть смежности по отношению к ( R , +)) совместно с операциями:

( + I ) + ( б + я ) = ( + б ) + я и
( + I ) ( Ь + I ) = ( AB ) + Я .

для каждого в , б в R .

Как и в случае фактор - группы, существует каноническое отображение задается . Это сюръективно и удовлетворяет универсальное свойство: если есть гомоморфизм колец таким образом, что , то существует единственный такое , что . В частности, с I быть ядро, один видит , что фактор - кольцо изоморфно образ F ; тот факт , известный как первый теоремы изоморфизма . Последний факт означает , что на самом деле любой сюръективен гомоморфизм колец удовлетворяет универсальное свойство , так как образом такой карты является фактор - кольцом.

модуль

Понятие модуля над кольцом обобщает понятие векторного пространства (над полем ) путем обобщения умножения векторов с элементами поля ( скалярное умножение ) для умножения с элементами кольца. Более точно, учитывая кольцо R с 1, его R - модуль М является абелева группа оснащена операции R × MM (сопоставляющего элемент М к каждой паре элемента R и элемент М ) , который удовлетворяет некоторые аксиомы . Эта операция обычно обозначается мультипликативная и называется умножением. Аксиомы модулей являются следующими: для всех в , б в R и все х , у в М , мы имеем:

  • М является абелевой группой относительно сложения.

Когда кольцо некоммутативно эти аксиомы определяют левые модули ; правые модули определяются аналогично запись ха вместо топора . Это не только изменение обозначений, как последний аксиома правых модулей (то есть х ( AB ) = ( Xa ) б ) становится ( AB ) х = Ь ( ах ) , если умножение слева (от кольцевых элементов) используются для правого модуля.

Основные примеры модулей являются идеалами, в том числе самого кольца.

Несмотря на то, аналогично определяется, теория модулей является гораздо более сложным , чем у векторного пространства, главным образом, потому что, в отличие от векторных пространств, модули не характеризуются ( с точностью до изоморфизма) с помощью одного инварианта (далее размерность векторного пространства ). В частности, не все модули имеют основу .

Аксиомы модулей следует , что (-1) х = - х , где первый минус обозначает аддитивную инверсию в кольце , а второй минус аддитивную инверсию в модуле. Используя это и обозначая повторное добавление путем умножения на положительное целое число позволяет идентифицировать абелевых групп с модулями над кольцом целых чисел.

Любой кольцевой гомоморфизм индуцирует структуру модуля: если F  : RS является кольцевым гомоморфизмом, то S является левым модулем над R с помощью умножения: RS = е ( г ) с . Если R коммутативно или если ф ( R ) содержится в центре из S , кольцо S называется R - алгебра . В частности, каждое кольцо является алгеброй над целыми числами.

конструкции

Прямой продукт

Пусть R и S будет кольцо. Затем продукт R × S может быть оснащены следующей естественной кольцевой структурой:

  • ( Г 1 , ев 1 ) + ( г 2 , ˙s 2 ) = ( г 1 + г 2 , ы 1 + s 2 )
  • ( Г 1 , ˙s 1 ) ⋅ ( г 2 , ˙s 2 ) = ( г 1г 2 , ˙s 1с 2 )

для каждого р 1 , р 2 в R и S 1 , ˙s 2 в S . Кольца R × S с указанными выше операциями сложения и умножения и мультипликативной идентичности называется прямым произведением из R с S . Та же конструкция также работает для произвольного семейства колец: если есть кольца , индексированные множества I , то есть кольцо с добавлением покомпонентного и умножением.

Пусть R коммутативное кольцо и идеалы таким образом, что всякий раз , когда . Тогда Китайская теорема об остатках говорит , что существует канонический изоморфизм колец:

,

А «конечный» прямой продукт также можно рассматривать как прямую сумму идеалов. А именно, пусть будет кольцо, включение с изображением (в частности , является кольцом , хотя и не подкольца). Тогда являются идеалами R и

в виде прямой суммы абелевых групп (потому , что для абелевых групп конечные продукты являются такими же , как прямые суммы). Очевидно , что прямая сумма таких идеалов также определяет произведение колец, изоморфная R . Эквивалентное выше , может быть сделано с помощью центральных идемпотентов . Предположим , R имеет указанное выше разложение. Тогда мы можем написать

По условиям на , один имеет , что являются центральными идемпотентами и (ортогональной). Опять же , можно полностью изменить конструкцию. А именно, если один дано разбиение 1 в ортогональных центральных идемпотентах, то пусть , которые являются двусторонний идеалами. Если каждый не является суммой ортогональных центральных идемпотентов, то их прямая сумма изоморфна R .

Важное применение бесконечного прямого произведения является построение проективного предела колец (см ниже). Другое применение является ограниченным продуктом семейства колец (ср адельной кольца ).

полиномиальное кольцо

Учитывая символ т ( так называемый переменной) и коммутативное кольцо R , множество многочленов

образует коммутативное кольцо с обычным сложением и умножением, содержащий R в качестве подкольца. Это называется кольцо многочленов над R . В более общем смысле , множество всех многочленов от переменных образует коммутативное кольцо, содержащим в качестве подколец.

Если R является областью целостности, то это также является областью целостности; его поле дробей является полем рациональных функций . Если R является нётерово кольцо, то есть нётерово кольцо. Если R является однозначным разложением на множители, то есть однозначное разложение на множители. Наконец, R является полем тогда и только тогда является областью главных идеалов.

Пусть коммутативные кольца. Учитывая элемент х из S , можно рассматривать кольцевой гомоморфизм

(то есть замена ). Если S = R [ т ] и х = т , то е ( т ) = п . Из - за этого, многочлен е часто обозначается также . Изображение карты обозначается ; это то же самое, подкольцу S , генерируемого R и х .

Пример: обозначает образ гомоморфизма

Другими словами, это подалгебра порождается т 2 и т 3 .

Пример: пусть F многочлен от одной переменной; т.е. элемент в кольце полиномов R . Тогда является элементом , и делится на ч в этом кольце. Результат подстановки к нулю ч в это производная F в х .

Замещение представляет собой частный случай универсального свойства кольца многочленов. Свойство гласит: данные кольцевой гомоморфизм и элемент х в S существует единственный кольцевой гомоморфизм такой , что и ограничивает к . Например, выбирая основу, симметричная алгебра удовлетворяет универсальное свойство и поэтому является многочленом кольца.

Для того, чтобы привести пример, пусть S кольцо всех функций из R к самому себе; сложение и умножение являются те из функций. Пусть х будет функция тождества. Каждый г в R определяет постоянную функцию, что приводит к гомоморфизму . Универсальное свойство говорит , что эта карта однозначно продолжается

( Т сопоставляется й ) , где есть функция полинома определяется F . Полученная карта инъективна тогда и только тогда , когда R бесконечен.

Принимая во внимание непостоянного унитарного многочлена п в , существует кольцо S , содержащее R таких , что F представляет собой продукт линейных факторов .

Пусть к алгебраически замкнутое поле. В Гильберта о нулях (теорема нулей) утверждает , что существует естественное соответствие один к одному между множеством всех простых идеалов и множество замкнутых подмногообразий . В частности, многие локальные проблемы в алгебраической геометрии могут быть атакованы путем изучения генераторов идеала в кольце многочленов. (см базис Грёбнера .)

Есть некоторые другие родственные конструкции. Формальный степенной ряд кольцо состоит из формальных степенных рядов

вместе с умножением и сложением , которые имитируют те , для сходящихся рядов. Он содержит в качестве подкольца. Обратите внимание , формальный степенной ряд кольцо не имеет универсальное свойство кольца многочленов; ряд не может сходиться после подстановки. Важное преимущество кольца формального степенных рядов над кольцом многочленов, что это локальное (на самом деле, в комплекте ).

Матричное кольцо и кольцо эндоморфизмов

Пусть R будет кольцо (не обязательно коммутативное). Множество всех квадратных матриц размера п с записями в R образует кольцо с въездными-накрест сложениями и обычным матричным умножением . Это называется матричным кольцом и обозначается через М п ( R ). Учитывая правый R - модуль , множество всех R -линейной карты из U к себе образует кольцо с добавлением , что является функцией и умножения , который в составе функций ; это называется кольцо эндоморфизмов U и обозначается .

Как и в линейной алгебре, матрица кольцо может быть истолковано как каноническое кольцо эндоморфизмов: . Это особый случай следующего факта: Если это R карты -линейной, то F может быть записано в виде матрицы с элементами в , что приводит к кольцевому изоморфизму:

Любой гомоморфизм колец RS индуцирует M N ( R ) → M N ( S ) ; на самом деле, любой кольцевой гомоморфизм между матричными кольцами возникает таким образом.

Леммы Шура говорит , что если U является простой правый R - модуль, то есть деление кольца. Если прямая сумма т я -copies простых R - модулей , то

,

Артин-Веддерберно утверждает любые полупростое кольцо (см ниже) имеет такой вида.

Кольцо R и матрица кольца М п ( Р ) над ней Морита эквивалентны : категория правых модулей R эквивалентна категории правых модулей над М п ( R ). В частности, двусторонние идеалы в R соответствуют в одном-к-одному до двусторонних идеалов в М п ( R ).

Примеры:

Пределы и копределы колец

Пусть R я последовательность колец таким образом, что R я является подкольцом R я + 1 для всех I . Тогда объединение (или фильтруют копредел ) из R я это кольцо определяется следующим образом : оно является несвязным объединением всех R я «ы по модулю отношения эквивалентности тогда и только тогда , когда в R я при достаточно большой я .

Примеры копределы:

Любое коммутативное кольцо является копределом из конечно порожденных подколец .

Проективный предел (или фильтруются предел ) колец определяются следующим образом . Предположим , что мы дали семейство колец , я работает над положительными целыми числами, скажем, и кольцевые гомоморфизмы такие , что имеют все тождества и является всякий раз . Тогда подкольцо , состоящее из таких , что карты до заместителя .

Для примера проективного предела, см § Завершение .

локализация

Локализации обобщает построение области фракций интегрального домена для произвольного кольца и модулей. Принимая во внимание (не обязательно коммутативный) кольцо R и подмножество S из R , существует кольцо вместе с кольцевым гомоморфизмом , что «инвертирует» S ; то есть, гомоморфизм отображает элементы в S для единичных элементов , и, кроме того, любой кольцевой гомоморфизм из R , что «инвертирует» S однозначно через факторы . Кольцо называется локализацией из R относительно S . Например, если R является коммутативным кольцом и е элемента в R , то локализация состоит из элементов вида (чтобы быть точным, )

Локализации часто применяются к коммутативному кольцу R относительно дополнения к простому идеалу (или объединения простых идеалов) в R . В этом случае , один часто пишет для . Затем локальное кольцо с максимальным идеалом . Это причина , по терминологии «локализации». Поле частных области целостности R является локализация R в простом идеале нуля. Если это простой идеал коммутативного кольца R , то поле фракций такого же , как поле вычетов локального кольца и обозначаются .

Если М есть левый R - модуль, то локализация М по отношению к S задается изменением колец .

Наиболее важные свойства локализаций являются следующими: когда R является коммутативным кольцом и S мультипликативна замкнутым подмножество

  • взаимно однозначное соответствие между множеством всех простых идеалов в R не пересекается с S и множеством всех простых идеалов в .
  • , F работает над элементами в S с частичным упорядочением заданного делимостью.
  • Локализация точно:
    точно над всякий раз точно над R .
  • И наоборот, если точна для любого максимального идеала , то точно.
  • Замечание: локализация не поможет доказать глобальное существование. Одним из примеров этого является то, что если два модуля изоморфны при всех простых идеалов, не следует, что они изоморфны. (Один из способов объяснить это, что локализация позволяет просматривать модуль как пучок над простыми идеалами и пучок по своей сути является локальным понятие.)

В теории категории, локализация категории составляет сделать некоторые морфизмов изоморфизмов. Элемент в коммутативном кольце R можно рассматривать как эндоморфизм любого R - модуль. Таким образом, категорически, локализация R относительно подмножества S из R представляет собой функтор из категории R - модулей себе , что посылает элементы S рассматривать как эндоморфизмы автоморфизмов и является универсальным относительно этого свойства. (Конечно, R затем сопоставляется и R -модулей карты -модулей.)

завершение

Пусть R коммутативное кольцо, и пусть я идеал в R . Завершение из R в I является проективным пределом ; это коммутативное кольцо. Канонические гомоморфизмы из R к дробей индуцирует гомоморфизм . Последний гомоморфизм инъективен , если R нётеров целостная и я собственный идеал, или если R нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом I , по теореме Крулля пересечения . Конструкция особенно полезна , когда я являюсь максимальным идеалом.

Основной пример является завершение Z р из Z на главном идеале ( р ) , порожденным простым число р ; она называется кольцом р -адических чисел . Завершение в этом случае может быть выполнено также из р -адического абсолютного значения на Q . Р -адическое абсолютное значение на Q представляет собой карта от Q до R определяется , где обозначает показатель степени р в разложении простого ненулевого целого числа п на простые числа (мы также положить и ). Это определяет функцию расстояния на Q и завершение Q как метрическое пространство обозначается через Q р . Это снова поле , поскольку операции на местах доходят до завершения. Подкольцо Q р , состоящий из элементов х с изоморфно Z р .

Аналогичным образом , формальный степенной ряд кольцо является завершение на (смотри также лемму Гензеля )

Полное кольцо имеет гораздо более простую структуру , чем коммутативное кольцо. Это принадлежит к структурной теореме Коэна , в которой говорится, грубо говоря, что полное локальное кольцо , как правило, выглядят как кольца формальных степенных рядов или частное от него. С другой стороны, взаимодействие между интегралом закрытием и завершением было одним из наиболее важных аспектов , которые отличают современную теорию коммутативного кольца от классической , разработанного такого Нётера. Патологические примеры , найденные Нагатым привели к пересмотру роли нетеровских колец и мотивированному, среди прочего, определения превосходного кольца .

Кольца с образующими и соотношениями

Наиболее общий способ построить кольцо, указав генераторы и отношения. Пусть F быть свободным кольцом (т.е. свободная алгебра над целыми числами) с множеством X символов; т.е. F состоит из многочленов с целыми коэффициентами в некоммутирующем переменных , которые являются элементами X . Свободное кольцо удовлетворяет универсальное свойство: любую функцию из множества X в кольцевом R факторы через F , так что это единственный кольцевой гомоморфизм. Так же , как и в групповом случае, каждое кольцо может быть представлено как фактор свободного кольца.

Теперь мы можем наложить отношения между символами X , принимая фактор. Явное, если Е представляет собой подмножество F , то фактор - кольцо F от идеала , порожденного Е называется кольцом с образующими X и соотношениями Е . Если бы мы использовали кольцо, скажем, А в качестве базового кольца вместо Z , то полученное кольцо будет более . Например, если , то полученное кольцо будет обычным кольцом многочленов с коэффициентами из А в переменных , которые являются элементами X (Это также то же самое , как симметричная алгебра над с символами X ) .

В категории теоретико-плане, образование является левым сопряженным функтором забывания функтора из категории колец Набора (и его часто называют свободным кольцо функтора.)

Пусть , В алгебрах над коммутативным кольцом R . Тогда тензорное произведение R -модулей является R - модуль. Мы можем превратить его в кольцо путем расширения линейно . Смотрите также: тензорное произведение алгебр , изменение колец .

Специальные виды колец

Домены

Отлично от нуля кольца без ненулевых делителей нуля называется доменом . Коммутативный домен называется областью целостности . Наиболее важные области целостности являются основными идеалами области, PID для краткости, и поле. Принципиальные идеалы является областью целостности , в которой каждый идеал является главным. Важный класс интегральных областей , которые содержат PID является доменом уникального разложения (УФО), область целостности , в которой каждый неединичном элемент является произведением простых элементов (элемент является простым , если оно генерирует простой идеал .) Основной вопрос в теория алгебраических чисел на той степени , в которой кольцо (обобщенных) целых чисел в числовом поле , где «идеальный» допускает разложение на простые множители, не может быть ПИД.

Среди теорем о ПИД - регулятора, наиболее важным из них является структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов . Теорему можно проиллюстрировать следующее приложение к линейной алгебре. Пусть V конечномерное векторное пространство над полем к и линейное отображение с минимальным многочленом д . Тогда, так как является однозначным разложением на множители, Q факторов в степеней различных неприводимых многочленов (т.е. простые элементы):

Полагая , мы делаем V с K [ т ] -модуль. Структурная теорема говорит то V является прямой суммой циклических модулей , каждый из которых изоморфна модуле формы . Теперь, если , то такой циклический модуль (для ) имеет базис , в котором сужение F представлено матрицей Jordan . Таким образом, если, скажем, к алгебраически замкнуто, то все «s имеют вид и выше разложение соответствует жордановой канонической форме из е .

В алгебраической геометрии, UF возникают из - за гладкости. Точнее, точка в многообразии (над совершенным полем) является гладкой , если локальное кольцом в точке является регулярным локальным кольцом . Регулярное локальное кольцо является УФО.

Ниже цепь класса включений , которые описывают взаимосвязь между кольцами, доменами и полей:

Коммутативные кольца интегральные домены целозамкнутые доменов уникальных домены факторизационной главных идеалов евклидовых областей полей

Отдел кольцо

Деление кольцо представляет собой кольцо , таким образом, что каждый ненулевой элемент является единицей. Коммутативное кольцо разделения является полем . Яркий пример тела, которое не является полем является кольцом кватернионов . Любой централизатор в теле также является тело. В частности, центр тела является полем. Оказалось, что каждый конечной домен (в частности конечного кольца с разделением) является полем; в частности коммутативной (в малой теореме Веддербарна ).

Каждый модуль над телом является свободным модулем (имеет базис); следовательно, большая часть линейной алгебры можно проводить над телом вместо поля.

Изучение классов сопряженности занимает видное место в классической теории разделения колец. Картанно классно задал следующий вопрос: дано разделение кольца D и надлежащее подразделение кольцо S , который не содержится в центре, имеет каждый внутренний автоморфизм D ограничиться автоморфизм S ? Ответ отрицательный: это теорема Картана-Брауэра-Хуа .

Циклическая алгебра , введенный LE Диксон , является обобщением алгебры кватернионов .

Полупростые кольца

Кольцо называется полупростым кольцом , если оно полупрост как левый модуль (или правый модуль) над самими собой; то есть прямая сумма простых модулей. Кольцо называется полупросты кольцо , если его радикал Джекобсона равен нулю. (Джекобсона радикал является пересечением всех максимальных левых идеалов.) Кольцо полупроста тогда и только тогда , когда это артиновое и полупроста.

Алгебра над полем к артиново тогда и только тогда , когда оно имеет конечную размерность. Таким образом, полупростая алгебра над полем обязательно конечномерна, в то время как простая алгебра может иметь бесконечную размерность; например, кольцо дифференциальных операторов .

Любой модуль над кольцом полупростом полупрост. (Доказательство: любой свободный модуль над полупростым кольцом явно полупрост и любой модулем является фактором свободного модуля.)

Примеры полупростых колец:

  • Матрицу кольцо над телом полупрост (на самом деле просто).
  • Групповое кольцо конечной группы G над полем к полупросту если характеристика к не делит порядок G . ( Теорема Машке )
  • Алгебра Вейля (над полем) представляет собой простое кольцо; она не полупроста , поскольку она имеет бесконечную размерность и , следовательно , не Артиново.
  • Алгебры Клиффорда полупросты.

ПОЛУПРОСТОТА тесно связана с отделимостью. Алгебра над полем к называется разъемные , если база расширения полупрост для любого расширения поля . Если случается поле, то это эквивалентно обычному определению в теории поля (см сепарабельного расширения .)

Центральная простая алгебра и группа Брауэра

Для поля к , А к -алгебра является центральной , если ее центр к и просто , если это простое кольцо . Так как центр простого K - алгебра является полем, любая простая к -алгебре центральной простая алгебра над своим центром. В этом разделе предполагается , центральная простая алгебра , чтобы иметь конечную размерность. Кроме того , мы в основном фиксируют базовое поле; Таким образом, алгебра относится к K - алгебре. Кольцо матриц размера п над кольцом R будет обозначать .

Теорема Сколема-Нётер утверждает , любой автоморфизм центральной простой алгебры является внутренним.

Два центральных простая алгебра и B называются аналогично , если существует такой целые числа п и т таким образом, что . Так , сходство является отношением эквивалентности. Классы подобия с умножением образуют абелеву группу , называемую группой Брауэра из к и обозначается . По теореме Артина- Веддербарно , центральная простая алгебра матрицы кольцо тела; Таким образом, каждый класс подобия представлен уникальное кольцо деления.

Например, тривиально , если к конечному поле или алгебраически замкнутое поле ( в более общем случае квази-алгебраически замкнутое поле ; ср теорема Тзен ). имеет порядок 2 (частный случай теоремы Фробениуса ). Наконец, если к является неархимедово локальным поле (например, ), то через инвариантную карту .

Теперь, если F является расширение поля к , то расширение базы вызывает . Его ядро обозначается . Он состоит из таким образом, что представляет собой матрицу кольца над F (то есть, расщепляются F .) Если расширение конечно и Галуа, то канонический изоморфно .

Адзумая алгебры обобщают понятие центральных простых алгебр с коммутативным локальным кольцом.

Оценка кольцо

Если К является поле, оценка V представляет собой группу гомоморфизм из мультипликативной группы К * к линейно упорядоченной абелевой группе G такие , что для любых е , г в К с е + г отличен от нуля, v ( е + г ) ≥ мин { v ( е ), v ( г )}. Кольцо нормирования из V является подкольцом K , состоящей из нуля , и все ненулевые е такое , что v ( F ) ≥ 0.

Примеры:

  • Поле формальных рядов Лорана над полем к приходит с оценки V таким образом, что V ( ф ) является наименьшая степень ненулевого члена в F ; кольцо нормирования V является формальным степенным рядом кольца .
  • В более общем плане , учитывая поле к и линейно упорядоченная абелева группа G , пусть будет множество всех функций из G в K , носители (множества точек , в которых функции отличны от нуля) являются вполне упорядочено . Это поле с умножением заданного сверткой :
    ,
Он также поставляется с оценочной V таким образом, что V ( ф ) является наименьшим элементом в поддержке F . Подкольцо , состоящее из элементов с конечным носителем называется групповое кольцо из G (который имеет смысл , даже если G не является коммутативным). Если G является кольцом целых чисел, то восстановить предыдущий пример (путем идентификации п с рядом, п -го коэффициента е ( п )) .

Смотрите также: Новиков кольцо и цепное кольцо .

Кольца с дополнительной структурой

Кольцо может рассматриваться как абелевой группы (с помощью операции сложения), с дополнительной структурой , а именно: кольцо умножения. Точно так же, есть и другие математические объекты , которые можно рассматривать как кольца с дополнительной структурой. Например:

  • Ассоциативная алгебра является кольцом , которое является также векторным пространством над полем K такое , что скалярное умножение распределяющим над кольцом умножением. Например, множество п матрица с размерностью п матриц над реальным полем R имеет размерность п 2 в качестве реального векторного пространства.
  • Кольцо R представляет собой топологическое кольцо , если его множество элементов R дается топология , что делает сложение карты ( ) и карту умножения ( ) , чтобы быть как непрерывной , как отображения между топологическими пространствами (где X × X наследует топология продукта или любые другой продукт в категории). Так , например, п матрица с размерностью п матрицы над действительными числами могут быть дана либо топология евклидова , или топология Зарисской , и в любом случае можно было бы получить топологическое кольцо.
  • Λ-кольцо является коммутативным кольцом R вместе с операциями λ п : RR , которые подобны п -ой внешние силы :
,
Например, Z является λ-кольцо с , по биномиальных коэффициентов . Понятие играет центральную власть в алгебраическом подходе к теореме Римана-Роха .

Некоторые примеры повсеместного колец

Много различных видов математических объектов могут быть плодотворно проанализированы в терминах некоторого ассоциированного кольца .

Кольцо когомологий топологического пространства

Для любого топологического пространства X можно связать его интегральное кольцо когомологий

градуированное кольцо . Есть также группы гомологии пространства, а на самом деле они были определены во- первых, в качестве полезного инструмента для различения между определенными парами топологических пространств, как сферы и торы , для которых методы точечного набора топологии являются не очень хорошо подходит. Когомологические группы были позднее определены в терминах групп гомологии таким образом , что примерно аналогична двойственным в векторном пространстве . Чтобы знать каждую отдельная интеграл группа гомологии по существу такой же , как знание каждой отдельную целостной группы когомологий, вследствие теоремы универсальных коэффициентов . Тем не менее, преимущество когомологий групп является то , что есть натуральный продукт , который является аналогом наблюдения , что можно умножить на точечно K - полилинейная форма и л форма -multilinear , чтобы получить ( K + л ) -multilinear формы.

Кольцевая структура в когомологиях обеспечивает основу для характеристических классов из пучков волокон , теории пересечений на многообразиях и алгебраических многообразий , Шуберта исчислении и многое другое.

Бернсайдовское кольцо группы

Для любой группы связана ее бернсайдовой кольцо , которое использует кольцо , чтобы описать различные способы группы могут действовать на конечном множестве. Аддитивная группа Бернсайд кольца является свободная абелева группа , базисом являются переходными действия группы и добавление которого является объединением непересекающихся действия. Выражая действие в терминах базиса разложение действия в его переходные компоненты. Умножение легко выражаются в терминах кольца представлений : умножение в кольце бернсайдового формируются путем записи тензорного произведения двух модулей перестановок в качестве модуля перестановок. Кольцевая структура позволяет формальный способ вычитания одного действия от другого. Поскольку бернсайдовского кольцо содержится в качестве конечного индекса подкольцу кольца представлений, можно легко переходить от одного к другому за счет расширения коэффициентов из целых чисел до рациональных чисел.

Представление кольцо группового кольца

Для любого группового кольца или алгебры Хопфа связано его представление кольцо или «Зеленое кольцо». Аддитивная группа кольца представлений является свободная абелева группа, основой являются неразложимые модули и, добавление которого соответствует прямой сумме. Выражая модуль в терминах базиса найти неразложимое разложение модуля. Умножение тензорное произведение. Когда алгебра полупроста, то представление кольцо просто символ кольцо из теории символов , что более или менее группа Гротендик дается кольцевая структура.

Функция поля неприводимого алгебраического многообразия

Для любого неприводимого алгебраического многообразия связано его поле функции . Точки алгебраического многообразия соответствуют кольцам нормирования , содержащимся в поле функции и содержащее кольцо координат . Изучение алгебраической геометрии широко использует коммутативной алгебры для изучения геометрических понятий в терминах теоретико-кольцевых свойств. Биращюнальные геометрии исследования карты между подкольцами поля функции.

Лицо кольцо симплициалъного комплекса

Каждый симплициальный комплекс имеет ассоциированное лицо кольцо, также называется его Stanley Райснер . Это кольцо отражает многие из комбинаторных свойств симплициального комплекса, поэтому особого интереса в алгебраической комбинаторике . В частности, алгебраическая геометрия кольца Стенли-Рейснер была использована для характеристики числа граней в каждой размерности симплициальных многогранников .

Категория теоретическое описание

Каждое кольцо можно рассматривать как моноиде в Ab , в категории абелевых групп (мысли как моноидальная категория под тензорным произведением -модулей ). Моноид действие кольца R на абелевой группы является просто R - модуль . По сути дела , R - модуль является обобщением понятия векторного пространства - где , а не векторное пространство над полем, имеет один «векторное пространство над кольцом».

Пусть ( , +) абелева группа и End ( A ) будет его кольцо эндоморфизмов (см . Выше) Следует отметить , что, по существу, Конец ( ) есть множество всех морфизмов А , где , если Р находится в конце ( A ), и г в End ( A ), следующие правила могут быть использованы для вычисления п + г и п · г :

  • ( Е + г ) ( х ) = е ( х ) + г ( х )
  • ( F · г ) ( х ) = п ( г ( х ))

где + , как в F ( х ) + г ( х ) является дополнением в A , и композиция функций обозначается справа налево. Поэтому, связанное с любой абелевой группой, представляет собой кольцо. Наоборот, учитывая любое кольцо, ( R , +, · ), ( R +) является абелевой группой. Кроме того, для каждого г в R , вправо (или влево) умножение на г порождает морфизм ( R , +), по правой (или левой) дистрибутивности. Пусть A = ( R , +). Рассмотрим эти эндоморфизмы из А , что «фактор через» справа (или слева) умножения R . Другими словами, пусть Конец R ( ) множество всех морфизмов м от А , обладающие тем свойством , что М ( г · х ) = г · м ( х ). Было видно , что каждый р в R порождает морфизм : правое умножение на р . Это на самом деле правда , что это объединение любого элемента R , до морфизма А , как функции от R до End R ( A ), является изоморфизмом колец. В этом смысле, следовательно, любое кольцо можно рассматривать как кольца эндоморфизмов некоторой абелевой X -группы (по X -группы, это означает группу с Й являются его множеством операторов ). В сущности, наиболее общий вид кольца, -эндоморфизм группа некоторой абелевой X -группы.

Любое кольцо можно рассматривать как предаддитивные категории с одним объектом. Поэтому естественно рассматривать произвольные предаддитивных категории как обобщение колец. И действительно, многие определения и теоремы , первоначально данные для колец могут быть переведены более общим контекст. Аддитивные функторы между категориями предаддитивных обобщить понятие кольцевого гомоморфизма и идеалы в аддитивных категориях могут быть определены как наборы морфизмов замкнуто относительно сложения и относительно композиции с произвольными морфизмами.

Обобщение

Алгебраисты определили структуры, более общими, чем кольца пути ослабления или удаления некоторых из кольцевых аксиом.

дальность

RNG такой же , как кольцо, за исключением того, что существование мультипликативной идентичности не предполагаются.

Неассоциативные кольцо

Неассоциативная кольцо является алгебраической структурой , которая удовлетворяет все аксиомы кольца , кроме ассоциативности и существования мультипликативной идентичности . Характерным примером является алгебра Ли . Там существует некоторая структурная теория для таких алгебр, обобщающих аналогичные результаты для алгебр Ли и ассоциативных алгебр.

полукольцо

Полукольцо получается путем ослабления предположения о том, что ( R +) является абелевой группой к предположению , что ( R +) является коммутативным моноидом, и добавляя аксиому , что 0 · = · 0 = 0 для все в ин R (так как он больше не следует из остальных аксиом).

Пример: тропическое полукольцо .

Другие кольцевые объекты

объект Ring в категории

Пусть C категория с конечными продуктами. Пусть пт обозначает терминальный объект из C (пустой продукт). Кольцо объект в C представляет собой объект R , оснащенный морфизмы (дополнение), (умножение), (аддитивные идентичности), (аддитивные обратный) и (мультипликативные идентичности) , удовлетворяющий обычные кольцевые аксиомы. Эквивалентно, объект кольцо является объектом R оснащен факторизации его функтора точек через категорию колец: .

схема кольца

В алгебраической геометрии, А схема кольца над базовой схемой S представляет собой кольцо объект в категории S -схем. Одним из примеров является схема кольца Ш п над Spec Z , который для любого коммутативного кольца возвращает кольцо W п ( А ) из р -isotypic Witt векторов длины п над .

спектр кольца

В алгебраической топологии , A кольцевой спектр представляет собой спектр Х вместе с умножением и единичная картой из сферы спектра S , таким образом, что кольцо аксиомы диаграмма коммутирует с точностью до гомотопии. На практике, обычно , чтобы определить кольцо спектра в качестве объекта моноидного в хорошей категории спектров , такие как категория симметричных спектров .

Смотрите также

Специальные типы колец:

Заметки

^  А: Некоторые авторы требуют толькочто кольцо будетполугруппапо умножению; то есть, не требуют наличия мультипликативный тождество (1). Смотрите разделЗамечания по определениюдляболее подробной информации.
^  Б: Элементыкоторые действительно имеют мультипликативные инверсии называютсяединицами, см Ланга 2002, §II.1, стр. 84.
^  с: Замыкание аксиома уже вытекает из условиячто + / • быть бинарной операцией. Поэтому некоторые авторы опускают эту аксиому. Ланг 2002
^  д: Переход от целых чисел к рациональным числам пути добавления фракций обобщаются наполе фактора.
^  Е: Многие авторы включаюткоммутативность колецв наборекольцевых аксиом(смотрите выше) иследовательноотносятся к «коммутативным кольцам»как только «кольцо».

Цитирование

Рекомендации

Общие ссылки

Специальные ссылки

  • Balcerzyk, Станислава; Józefiak, Тадеуш (1989), Коммутативный Нетеровы и Крулль кольцо , математика и ее приложения, Чичестер: Эллис Хорвуд Ltd., ISBN  978-0-13-155615-7,
  • Balcerzyk, Станислава; Józefiak, Тадеуш (1989), Dimension, множественность и гомологические методы , Математика и ее приложения, Чичестер: Эллис Хорвуд Ltd., ISBN  978-0-13-155623-2,
  • Ballieu, R. (1947). «Anneaux Финис; Systèmes гиперкомплексы де зазвонил Труа - сюр - ип корпусного commutatif». Энн. Soc. Sci. Брюссель . Я (61): 222-227.
  • Berrick, AJ; Keating, ME (2000). Введение колец и модулей с K-теории в View . Cambridge University Press.
  • Кон, Пол Моритц (1995), Skew поля: Теория общего отдела колец , энциклопедии математики и ее применения, 57 , Cambridge University Press, ISBN  9780521432177,
  • Эйзенбад, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра. С целью к алгебраической геометрии. , Graduate тексты по математике, 150 , Springer, ISBN  978-0-387-94268-1 , MR  1322960,
  • Джилмер, R .; Mott, J. (1973). «Ассоциативные Кольца ордена». Proc. Япония Акад . 49 : 795-799. DOI : 10,3792 / PJA / 1195519146 .
  • Харрис, JW; Стокер, H. (1998). Справочник по математике и вычислительной науки . Springer.
  • Jacobson, Натан (1945), "Структурная теория алгебраических алгебр ограниченной степени", Анналы математики , Annals математики, 46 (4): 695-707, DOI : 10,2307 / 1969205 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1969205,
  • Кнут, DE (1998). Искусство программирования . Том 2: Получисленные алгоритмы (3 - е изд.). Addison-Wesley.
  • Korn, GA; Корн, Т. (2000). Справочник по математике для научных работников и инженеров . Дувр.
  • Милн, J. «теория полей классов» .
  • Нагаты, Масайоси (1962) [1975 Оттиск], Локальные кольца , Interscience Трэктс в чистой и прикладной математики, 13 , Interscience Publishers, ISBN  978-0-88275-228-0 , МР  0155856,
  • Пирс, Ричард С. (1982). Ассоциативные алгебры . Выпускающая Тексты математики. 88 . Springer. ISBN  0-387-90693-2 .
  • Серр, Жан-Пьер (1979), Локальные поля , Graduate тексты по математике, 67 , Springer,
  • Springer, Тонни А. (1977), инвариантная теория , Лекции по математике, 585 , Springer,
  • Weibel, Чарльз. «K-книга: Введение в алгебраические К-теорию» .
  • Зарискому, Оскар ; Samuel, Пьер (1975). Коммутативная алгебра . Выпускающая Тексты математики. 28-29. Springer. ISBN  0-387-90089-6 .

Основные источники

Исторические ссылки