Prüfer group - Prüfer group

Прюферово 2 -группа с презентацией ⟨ г _п : г _{п + 1} ² = г _п , г ₁ ² = е ⟩ , проиллюстрирована в качестве подгруппы единичной окружности в комплексной плоскости

В математике, в частности , в теории групп , то прюферово р -группа или р -quasicyclic группа или р ^∞ -группа, Z ( р ^∞ ), для простого числа р является единственным р -группа , в которой каждый элемент имеет р различный р -ые корни.

P -группы Прюфера являются счетными абелевыми группами , которые важны для классификации бесконечных абелевых групп: они (вместе с группой рациональных чисел ) образуют наименьшие строительные блоки всех делимых групп .

Группы названы в честь Хайнца Прюфера , немецкого математика начала 20 века.

Конструкции Z ( p ^∞ )

P -группа Прюфера может быть отождествлена ​​с подгруппой круговой группы , U (1), состоящей из всех корней p ⁿ -й степени из единицы, поскольку n пробегает все неотрицательные целые числа:

${\ displaystyle \ mathbf {Z} (p ^ {\ infty}) = \ {\ exp (2 \ pi im / p ^ {n}) \ mid 0 \ leq m <p ^ {n}, \, n \ in \ mathbf {Z} ^ {+} \} = \ {z \ in \ mathbf {C} \ mid z ^ {(p ^ {n})} = 1 {\ text {для некоторых}} n \ in \ mathbf {Z} ^ {+} \}. \;}$

Групповая операция здесь - это умножение комплексных чисел .

Есть презентация

${\ displaystyle \ mathbf {Z} (p ^ {\ infty}) = \ langle \, g_ {1}, g_ {2}, g_ {3}, \ ldots \ mid g_ {1} ^ {p} = 1 , g_ {2} ^ {p} = g_ {1}, g_ {3} ^ {p} = g_ {2}, \ dots \, \ rangle.}$

Здесь групповая операция в Z ( p ^∞ ) записывается как умножение.

Альтернативно и эквивалентно, прюферово р -группа может быть определена как Силова р -подгруппы в фактор - группа Q / Z , состоящее из тех элементов, порядок является степенью р :

${\ Displaystyle \ mathbf {Z} (p ^ {\ infty}) = \ mathbf {Z} [1 / p] / \ mathbf {Z}}$

(где Z [1 / p ] обозначает группу всех рациональных чисел, знаменатель которых является степенью p , с использованием сложения рациональных чисел в качестве групповой операции).

Для каждого натурального числа n рассмотрим фактор-группу Z / p ⁿ Z и вложение Z / p ⁿ Z → Z / p ^{n +1} Z, индуцированное умножением на p . Прямой предел этой системы является Z ( р ^∞ ):

${\ displaystyle \ mathbf {Z} (p ^ {\ infty}) = \ varinjlim \ mathbf {Z} / p ^ {n} \ mathbf {Z}.}$

Мы также можем написать

${\ displaystyle \ mathbf {Z} (p ^ {\ infty}) = \ mathbf {Q} _ {p} / \ mathbf {Z} _ {p}}$

где Q _p обозначает аддитивную группу p -адических чисел, а Z _p - подгруппа целых p -адических чисел.

Свойства

Полный список подгрупп в p -группе Прюфера Z ( p ^∞ ) = Z [1 / p ] / Z :

${\ displaystyle 0 \ subsetneq \ left ({1 \ over p} \ mathbf {Z} \ right) / \ mathbf {Z} \ subsetneq \ left ({1 \ over p ^ {2}} \ mathbf {Z} \ right) / \ mathbf {Z} \ subsetneq \ left ({1 \ over p ^ {3}} \ mathbf {Z} \ right) / \ mathbf {Z} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq \ mathbf {Z} (p ^ {\ infty})}$

(Здесь циклическая подгруппа в Z ( p ^∞ ) с p ⁿ элементами; она содержит в точности те элементы Z ( p ^∞ ), порядок которых делит p ⁿ и соответствует множеству корней p ⁿ -й степени из единицы.) p -группы - единственные бесконечные группы, чьи подгруппы полностью упорядочены по включению. Эта последовательность включений выражает p -группу Прюфера как прямой предел ее конечных подгрупп. Поскольку в p -группе Прюфера нет максимальной подгруппы , это ее собственная подгруппа Фраттини . ${\ displaystyle \ left ({1 \ над p ^ {n}} \ mathbf {Z} \ right) / \ mathbf {Z}}$

Учитывая этот список подгрупп, ясно, что p -группы Прюфера неразложимы (не могут быть записаны как прямая сумма собственных подгрупп). Верно и другое: p -группы Прюфера подпрямо неразложимы . Абелева группа подпрямо неразложима тогда и только тогда, когда она изоморфна конечной циклической p -группе или группе Прюфера.

P -группа Прюфера - это единственная бесконечная p -группа, которая является локально циклической (каждый конечный набор элементов порождает циклическую группу). Как было показано выше, все собственные подгруппы в Z ( p ^∞ ) конечны. P -группы Прюфера - единственные бесконечные абелевы группы с этим свойством.

P -группы Прюфера делимы . Они играют важную роль в классификации делимых групп; наряду с рациональными числами они являются простейшими делимыми группами. Точнее: абелева группа делима тогда и только тогда, когда она является прямой суммой (возможно, бесконечного) числа копий Q и (возможно, бесконечного) числа копий Z ( p ^∞ ) для любого простого числа p . ( Кардинальные ) числа копий Q и Z ( p ^∞ ), которые используются в этой прямой сумме, определяют делимую группу с точностью до изоморфизма.

Как абелева группа (то есть как Z- модуль ) Z ( p ^∞ ) артинова, но не нётерова . Таким образом, его можно использовать как контрпример против идеи, что каждый артинов модуль является нётеровым (тогда как каждое артиново кольцо является нётеровым).

Кольцо эндоморфизмов из Z ( р ^∞ ) изоморфно кольцу р -адических чисел Z _р .

В теории локально компактных топологических групп p -группа Прюфера (наделенная дискретной топологией ) является двойственной по Понтрягину компактной группы целых p -адических чисел , а группа целых p -адических чисел является двойственной по Понтрягину p- адической группе Прюфера. -группа.

Смотрите также

• p -адические целые числа , которые можно определить как обратный предел конечных подгрупп p -группы Прюфера .
• Диадические рациональные , рациональные числа вида a / 2 ^b . 2-группу Прюфера можно рассматривать как диадические рациональные числа по модулю 1.
• Циклическая группа ( конечный аналог)
• Круговая группа ( бесчисленно бесконечный аналог)

Ноты

Рекомендации

• Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра . 2 (2-е изд.). Дувр. ISBN   978-0-486-47187-7 .
• Пьер Антуан Грийе (2007). Абстрактная алгебра . Springer. ISBN   978-0-387-71567-4 .
• Каплански, Ирвинг (1965). Бесконечные абелевы группы . Пресса Мичиганского университета.
• Н. Н. Вильямс (2001) [1994], "Квазициклическая группа" , Энциклопедия математики , EMS Press