Идеал (теория колец) - Ideal (ring theory)

В теории колец , ветвь абстрактной алгебры , идеал из кольца является специальным подмножество его элементов. Идеалы обобщают определенные подмножества целых чисел , такие как четные числа или числа, кратные 3. Сложение и вычитание четных чисел сохраняет четность, а умножение четного числа на любое другое целое число приводит к другому четному числу; эти закрывающие и впитывающие свойства являются определяющими свойствами идеала. Идеал может быть использован для построения фактора - кольца аналогично тому , как в теории групп , нормальная подгруппа может быть использована для построения фактора - группы .

Среди целых чисел идеалы взаимно однозначно соответствуют неотрицательным целым числам : в этом кольце каждый идеал является главным идеалом, состоящим из кратных одного неотрицательного числа. Однако в других кольцах идеалы могут не соответствовать непосредственно элементам кольца, а определенные свойства целых чисел при обобщении на кольца более естественно присоединяются к идеалам, чем к элементам кольца. Например, простые идеалы кольца аналогичны простым числам , а китайская теорема об остатках может быть обобщена на идеалы. Существует вариант уникальной факторизации на простые множители идеалов дедекиндовской области (тип кольца, важный в теории чисел ).

Родственная, но отличная концепция идеала в теории порядка происходит от понятия идеала в теории колец. Дробный идеал является обобщением идеала, а обычные идеалы иногда называют целые идеалы для ясности.

История

Эрнст Куммер изобрел концепцию идеальных чисел, которые служат «недостающими» множителями в числовых кольцах, в которых уникальная факторизация не выполняется; здесь слово «идеальный» имеет смысл существовать только в воображении, по аналогии с «идеальными» объектами в геометрии, такими как точки на бесконечности. В 1876 году Ричард Дедекинд заменил неопределенную концепцию Куммера конкретными наборами чисел, наборами, которые он назвал идеалами, в третьем издании книги Дирихле « Vorlesungen über Zahlentheorie» , к которой Дедекинд добавил много дополнений. Позже понятие было распространено за пределы числовых колец на набор полиномиальных колец и других коммутативных колец Дэвидом Гильбертом и особенно Эмми Нётер .

Определения и мотивация

Для произвольного кольца пусть - его аддитивная группа . Подмножество называется левым идеалом группы, если она является аддитивной подгруппой группы, которая «поглощает умножение слева на элементы группы »; то есть является левым идеалом, если он удовлетворяет следующим двум условиям:

  1. является подгруппой в
  2. Для каждого и каждый продукт в .

Правый идеал определяются с условием « гмI » заменен на « хтыI » . Двусторонний идеал левый идеал , который также является правым идеалом, а иногда называют просто идеальным. На языке модулей , определение означает , что левый (. Соответственно вправо, двусторонний) идеал R является именно левым (соответственно правым, би-.) Р - подмодуль из R , когда R рассматриваются как R - модуль . Когда R - коммутативное кольцо, определения левого, правого и двустороннего идеала совпадают, и термин идеал используется отдельно.

Чтобы понять концепцию идеала, рассмотрим, как идеалы возникают при построении колец «элементов по модулю». Для конкретности рассмотрим кольцо ℤ n целых чисел по модулю заданного целого числа n ∈ ℤ (заметим, что ℤ - коммутативное кольцо). Ключевое наблюдение здесь состоит в том, что мы получаем ℤ n , беря целую строку и оборачивая ее вокруг себя так, чтобы можно было идентифицировать различные целые числа. При этом мы должны удовлетворить два требования: 1) n должно быть отождествлено с 0, поскольку n сравнимо с 0 по модулю n , и 2) результирующая структура снова должна быть кольцом. Второе требование заставляет нас делать дополнительные идентификации (т. Е. Оно определяет точный способ, которым мы должны обернуть ℤ вокруг себя). Понятие идеала возникает, когда мы задаем вопрос:

Какой точный набор целых чисел мы вынуждены отождествлять с 0?

Ответ, что неудивительно, состоит в том, что множество n ℤ = { nm | m ∈ ℤ} всех целых чисел, сравнимых с 0 по модулю n . То есть мы должны обернуть ℤ вокруг себя бесконечно много раз, чтобы целые числа ..., n ⋅ (−2) , n ⋅ (−1) , n ⋅ (+1) , n ⋅ (+2) , .. ... все выровняются с 0. Если мы посмотрим, каким свойствам этот набор должен удовлетворять, чтобы гарантировать, что ℤ n является кольцом, то мы придем к определению идеала. В самом деле, можно непосредственно проверить, что n ℤ - идеал в.

Замечание. Также необходимо выполнить идентификацию с элементами, отличными от 0. Например, элементы в 1 + n должны быть отождествлены с 1, элементы в 2 + n должны быть отождествлены с 2 и так далее. Однако они однозначно определяются n ℤ, поскольку ℤ - аддитивная группа.

Аналогичную конструкцию можно провести в любом коммутативном кольце R : начнем с произвольного xR , а затем отождествим с 0 все элементы идеала xR = { xr  : rR }. Оказывается, что идеал хК является наименьший идеал , который содержит х , называется идеалом генерироваться от х . В более общем смысле, мы можем начать с произвольного подмножества SR , а затем отождествить с 0 все элементы в идеале, порожденном S : наименьший идеал ( S ) такой, что S ⊆ ( S ) . Кольцо, которое мы получаем после отождествления, зависит только от идеала ( S ), а не от множества S , с которого мы начали. То есть, если ( S ) = ( T ) , то результирующие кольца будут такими же.

Поэтому, идеальный я коммутативные кольцо R захваты канонической информации , необходимая для получения кольца элементов R по модулю заданного подмножества SR . Элементы I по определению - это те, которые конгруэнтны нулю, то есть отождествлены с нулем в результирующем кольце. Полученное кольцо называется частное от R по I и обозначается R / I . Интуитивно, определение идеального постулирует два естественных условия, необходимых для того, чтобы I содержал все элементы, обозначенные R / I как "нули" :

  1. I - аддитивная подгруппа группы R : нуль 0 группы R является «нулем» 0 ∈ I , и если x 1I и x 2I являются «нулями», то x 1 - x 2I является «нулем» " тоже.
  2. Любая гR , умноженный на «ноль» хI является «нулевым» гмI .

Оказывается, что вышеуказанные условия являются также достаточными для меня , чтобы содержать все необходимые «нули»: никаких других элементов не должны быть обозначены как «ноль» для того , чтобы форма R / I . (Фактически, никакие другие элементы не должны быть обозначены как "ноль", если мы хотим сделать наименьшее количество идентификаций.)

Замечание. Вышеупомянутая конструкция все еще работает с использованием двусторонних идеалов, даже если R не обязательно коммутативно.

Примеры и свойства

(Для краткости некоторые результаты сформулированы только для левых идеалов, но обычно также верны и для правых идеалов с соответствующими изменениями обозначений.)

  • В кольце R , множество R сам по себе образует двусторонний идеал R называется блок идеально подходит . Его также часто обозначают как двусторонний идеал, порожденный (см. Ниже) единицей . Кроме того, множество, состоящее только из аддитивной единицы 0 R, образует двусторонний идеал, называемый нулевым идеалом и обозначаемый . Каждый идеал (левый, правый или двусторонний) содержит нулевой идеал и содержится в единичном идеале.
  • Идеал (левый, правый или двусторонний), который не является единичным идеалом, называется собственным идеалом (поскольку он является собственным подмножеством ). Примечание: левый идеал является правильным тогда и только тогда, когда он не содержит единичного элемента, поскольку если это единичный элемент, то для каждого . Обычно правильных идеалов предостаточно. Фактически, если R - тело , то это его единственные идеалы, и наоборот: то есть ненулевое кольцо R является телом, если являются единственными левыми (или правыми) идеалами. (Доказательство: если это ненулевой элемент, то главный левый идеал (смотри ниже) не равен нулю , и , таким образом , то есть, для некоторого ненулевого Аналогично,. Для некоторого ненулевого Тогда. ) .
  • Четные целые числа образуют идеал в кольце всех целых чисел; обычно обозначается . Это связано с тем, что сумма любых четных целых чисел четна, и произведение любого целого числа на четное число также является четным. Аналогично, множество всех целых чисел, делящихся на фиксированное целое число n, является обозначенным идеалом .
  • Множество всех многочленов с действительными коэффициентами, которые делятся на многочлен x 2 + 1, является идеалом в кольце всех многочленов.
  • Множество всех N матрицы с размерностью п матриц , последней строкой равно нуль образует правый идеал в кольце всех N матрицы с размерностью п матриц. Это не левый идеал. Множество всех ˝n˝ матрицы с размерностью п матриц, последней колонкой равно нуль , образует левый идеал , а не правый идеал.
  • Кольцо всех непрерывных функций F из в рамках точечно умножения содержит идеал всех непрерывных функций ф такая , что F (1) = 0. Еще один идеал в задается теми функциями , которые обращаются в нуль при достаточно больших аргументов, то есть те непрерывные функции F для что существует такое число L > 0, что f ( x ) = 0 всякий раз, когда | х | > L .
  • Кольцо называется простым кольцом, если оно не равно нулю и не имеет двусторонних идеалов, кроме . Таким образом, тело является простым, а простое коммутативное кольцо является полем. Кольцо матриц над телом полем является простым кольцом.
  • Если - гомоморфизм колец , то ядро является двусторонним идеалом . По определению, и, следовательно, если не является нулевым кольцом (так ), то является собственным идеалом. В более общем смысле, для каждого левого идеала I в S прообраз является левым идеалом. Если я есть левый идеал R , то есть левый идеал подкольце из S : если F не сюръективна, не должно быть идеалом S ; см. также # Расширение и сжатие идеала ниже.
  • Идеальное соответствие : учитывая сюръективный гомоморфизм колец , существует биективное соответствие, сохраняющее порядок между левыми (соответственно, правыми, двусторонними) идеалами, содержащими ядро, и левыми (соответственно, правыми, двусторонними) идеалами : соответствие дается и прообраз . Более того, для коммутативных колец это биективное соответствие ограничивается первичными идеалами, максимальными идеалами и радикальными идеалами ( определения этих идеалов см. В разделе « Типы идеалов»).
  • (Для тех , кто знает модули) Если М является левым R - модулем и подмножество, то аннуляторный из S является левым идеалом. Принимая во внимание идеалы коммутативного кольца R , то R -annihilator из является идеалом R называется идеальным частное от по и обозначается ; это пример идеализатора в коммутативной алгебре.
  • Пусть - восходящая цепочка левых идеалов в кольце R ; т.е. является полностью упорядоченным набором и для каждого . Тогда объединение является левым идеалом R . (Примечание: этот факт остается верным, даже если R не имеет единицы 1.)
  • Вышеуказанный факт вместе с леммой Цорна доказывает следующее: если это возможно , пустое подмножество и является левым идеалом , который не пересекается с Е , то есть идеал , который является максимальным среди идеалов , содержащих и не пересекаются с Е . (Опять же, это остается в силе , если кольцо R не хватает единства 1.) Когда , принимая и , в частности, существует левый идеал , который максимален среди собственных левых идеалов (часто называют просто максимальный левый идеал); см . теорему Крулля для получения дополнительной информации.
  • Произвольное объединение идеалов не обязательно должно быть идеалом, но по-прежнему верно следующее: для данного возможно пустого подмножества X в R существует наименьший левый идеал, содержащий X , называемый левым идеалом, порожденным X, и обозначается через . Такой идеал существует , поскольку она является пересечением всех левых идеалов , содержащих X . Эквивалентно, это множество всех (конечных) левых R -линейных комбинаций элементов X над R :
(поскольку такая оболочка является наименьшим левым идеалом, содержащим X. ) Правый (соответственно двусторонний) идеал, порожденный X , определяется аналогичным образом. Для «двустороннего» необходимо использовать линейные комбинации с обеих сторон; т.е.
  • Левый (соответственно правый, двусторонний) идеал, порожденный одним элементом x , называется главным левым (соответственно правым, двусторонним) идеалом, порожденным x, и обозначается (соответственно ). Главный двусторонний идеал часто также обозначается . Если - конечное множество, то также записывается как .
  • В кольце целых чисел каждый идеал может быть порожден одним числом ( как и область главных идеалов ) в результате евклидова деления (или каким-либо другим способом).
  • Существует взаимно однозначное соответствие между идеалами и конгруэнции отношений (отношений эквивалентности, учитывающих структуру кольца) на кольце: Учитывая идеал я кольцевого R , пусть х ~ у , если х - уI . Тогда ~ есть отношение конгруэнтности на R . Наоборот, если дано отношение конгруэнтности ~ на R , пусть I = { x | х ~ 0} . Тогда я является идеалом R .

Типы идеалов

Для упрощения описания предполагается, что все кольца коммутативны. Некоммутативный случай подробно обсуждается в соответствующих статьях.

Идеалы важны, потому что они появляются как ядра гомоморфизмов колец и позволяют определять фактор-кольца . Изучаются различные типы идеалов, поскольку с их помощью можно построить различные типы факторных колец.

  • Максимальный идеал : Собственный идеал Я называется максимальным идеалом , если не существует никакого другого собственного идеала J с I собственное подмножество J . Фактор-кольцо максимального идеала - это,вообще говоря, простое кольцо и поле для коммутативных колец.
  • Минимальный идеал : ненулевой идеал называется минимальным, если он не содержит других ненулевых идеалов.
  • Prime идеал : Собственный идеал I называется простым идеалом , если для любых а и Ь в R , если абы в I , токрайней мереодин изи б в I . Фактор-кольцо первичного идеала является первичным кольцом в общем случае и является областью целостности коммутативных колец.
  • Радикальный идеал или полупервичный идеал : Собственный идеал я называюсь радикалом или полупервичным , если для любого а в R , если п в I для некоторого п , тов I . Фактор-кольцо радикального идеала является полупервичным кольцом для общих колец и редуцированным кольцом для коммутативных колец.
  • Первичный идеал : идеал I называется первичным идеалом, если для всех a и b в R , если ab находится в I , то по крайней мере один из a и b n находится в I для некоторого натурального числа n . Каждый первичный идеал первичен, но не наоборот. Полупервичный примарный идеал первичен.
  • Главный идеал : идеал, порожденный одним элементом.
  • Конечно порожденный идеал : этот тип идеала конечно порожден как модуль.
  • Примитивный идеал : Левая примитивный идеал является аннуляторным из простого левого модуля .
  • Неприводимый идеал : идеал называется неприводимым, если он не может быть записан как пересечение идеалов, которые должным образом его содержат.
  • Комаксимальные идеалы : два идеала считаются комаксимальными, если для некоторых и .
  • Обычный идеал : этот термин имеет несколько применений. См. Список в статье.
  • Ниль-идеал : идеал - это ниль-идеал, если каждый из его элементов нильпотентен.
  • Нильпотентный идеал : некоторая его мощность равна нулю.
  • Параметр идеал : идеал, порожденный системой параметров .

Два других важных термина, использующих слово «идеал», не всегда являются идеалами их круга. Подробности смотрите в соответствующих статьях:

  • Дробный идеал : Это, как правилоопределяетсякогда R является коммутативной областью с полем частных K . Несмотря на свое название, дробные идеалы - это R подмодулей в K со специальным свойством. Если дробный идеал содержится целиком в R , то это действительно идеал R .
  • Обратимый идеал : Обычно обратимый идеалопределяется как дробного идеаладля которого существует еще один дробный идеал В такойчто АВ = ВА = R . Некоторые авторы могут также применять «обратимый идеал» к обычным кольцевым идеалам A и B с AB = BA = R в кольцах, отличных от областей.

Идеальные операции

Сумма и произведение идеалов определяются следующим образом. Для и слева (соотв. Правых) идеалов кольца R , их сумма

,

который является левым (соответственно правым) идеалом, и, если они двусторонние,

т.е. продукт - это идеал, созданный всеми продуктами формы ab с a in и b in .

Примечание - это наименьший левый (соответственно правый) идеал, содержащий оба и (или объединение ), в то время как произведение содержится в пересечении и .

Закон распределения справедлив для двусторонних идеалов ,

  • ,
  • .

Если продукт заменяется перекрестком, выполняется частичный закон распределения:

где равенство имеет место, если содержит или .

Замечание : сумма и пересечение идеалов снова является идеалом; с этими двумя операциями как соединением и соединением множество всех идеалов данного кольца образует полную модулярную решетку . Решетка, вообще говоря, не является распределительной решеткой . Три операции пересечения, суммы (или соединения) и произведения превращают множество идеалов коммутативного кольца в квант .

Если - идеалы коммутативного кольца R , то в следующих двух случаях (по крайней мере)

  • порождается элементами, которые образуют регулярную последовательность по модулю .

( В более общем смысле , разница между продуктом и пересечением идеалов измеряются функтор Tor : )

Область целостности называется областью Дедекинда, если для каждой пары идеалов существует такой идеал , что . Затем можно показать, что каждый ненулевой идеал дедекиндовской области может быть однозначно записан как произведение максимальных идеалов, обобщение основной теоремы арифметики .

Примеры идеальных операций

У нас есть

поскольку это набор целых чисел, которые делятся на и .

Пусть и пусть . Потом,

  • а также
  • пока

В первом вычислении мы видим общую схему взятия суммы двух конечно порожденных идеалов, это идеал, порожденный объединением их образующих. В последних трех мы замечаем, что произведения и пересечения совпадают всякий раз, когда два идеала пересекаются в нулевом идеале. Эти вычисления можно проверить с помощью Macaulay2 .

Радикал кольца

Идеалы естественным образом возникают при изучении модулей, особенно в форме радикала.

Для простоты мы работаем с коммутативными кольцами, но с некоторыми изменениями результаты верны и для некоммутативных колец.

Пусть R - коммутативное кольцо. По определению, примитивный идеал из R является Аннулятор (отличным от нуля) простого R - модуля . Радикал Джекобсона из R является пересечением всех примитивных идеалов. Эквивалентно,

В самом деле, если - простой модуль и x - ненулевой элемент в M , то и , то есть, является максимальным идеалом. Наоборот, если - максимальный идеал, то - аннулятор простого R -модуля . Есть еще одна характеристика (доказательство несложно):

Для необязательно коммутативного кольца это общий факт, что он является единичным элементом тогда и только тогда, когда он есть (см. Ссылку), и поэтому эта последняя характеристика показывает, что радикал может быть определен как в терминах левого, так и правого примитивных идеалов .

Следующий простой , но важный факт ( лемма Накаям ) встроен определение Джекобсон радикал: если M представляет собой модуль таким образом, что , то М не допускают максимальный подмодуль , так как если существует максимальный подмодуль , и так , противоречие. Поскольку ненулевой конечно порожденный модуль допускает максимальный подмодуль, в частности, он имеет:

Если и M конечно порожден, то

Максимальный идеал - это простой идеал, поэтому

где пересечение слева называется нильрадикал из R . Как выясняется, также множество нильпотентов из R .

Если R - артиново кольцо , то нильпотентно и . (Доказательство: сначала обратите внимание, что DCC следует для некоторого n . Если (DCC) - идеал, должным образом минимальный над последним, то . То есть, противоречие.)

Расширение и сжатие идеала

Пусть A и B - два коммутативных кольца , и пусть f  : AB - гомоморфизм колец . Если - идеал в A , то не обязательно должен быть идеалом в B (например, возьмем f как включение кольца целых чисел Z в поле рациональных чисел Q ). Расширение из в B определяется как идеал в B , порожденный . Ясно,

Если это идеал B , то это всегда идеал А , называется сокращение от до А .

Предположим, что f  : AB - гомоморфизм колец, идеал в A , идеал в B , тогда:

  • является простым в B является простым в A .

Это ложь, в целом, что является первичным (или максимальным) в A означает , что простой (или максимальный) в B . Многие классические примеры этого восходят к теории алгебраических чисел. Например, встраивание . В , элемент 2 факторы , как где (можно показать) ни один из являются единицами в B . So не является простым в B (а значит, и не максимальным). В самом деле, показывает , что , и поэтому .

С другой стороны, если е является сюръективны и затем:

  • и .
  • является простым идеалом в А является простым идеалом в B .
  • это максимальный идеал в А является максимальным идеалом в B .

Замечание : Пусть К является расширение поля из L , и пусть В и быть кольца целых из K и L , соответственно. Тогда B является целым расширением от А , и пусть е будет отображение включения от A до B . Поведение простого идеала из А при расширении является одной из центральных задач теории алгебраических чисел .

Иногда полезно следующее: простой идеал является сжатием простого идеала тогда и только тогда, когда . (Доказательство: Предположим , что последний, нота пересекается . Противоречие Теперь простые идеалы соответствуют таковым в B , которые не пересекаются с . Следовательно, существует простой идеал из В , не пересекается с , таким образом, что максимальный идеал , содержащий . Затем проверяют, что лежит наверху . Обратное очевидно.)

Обобщения

Идеалы могут быть обобщены на любой моноидный объект , где есть объект, в котором моноидная структура была забыта . Левый идеал из является подобъектом , что «поглощает умножение слева на элементы »; то есть является левым идеалом, если он удовлетворяет следующим двум условиям:

  1. является субобъект из
  2. Для каждого и каждый продукт в .

Правый идеал определяется с условием « » заменены на «» ». Двусторонний идеал левый идеал , который также является правым идеалом, а иногда называют просто идеальным. Когда - коммутативный моноидный объект соответственно, определения левого, правого и двустороннего идеала совпадают, и термин идеал используется отдельно.

Идеал также можно рассматривать как особый тип R -модуля . Если мы рассматриваем как левый -модуль (путем левого умножения), то левый идеал на самом деле является просто левым подмодулем в . Другими словами, является левым (правым) идеалом тогда и только тогда, когда он является левым (правым) -модулем, являющимся подмножеством . является двусторонним идеалом, если он является суб- бимодулем в .

Пример: Если мы позволим , идеалом является абелева группа, которая является подмножеством , т.е. для некоторых . Таким образом, они дают все идеалы .

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

Внешние ссылки