Уникальный домен факторизации - Unique factorization domain

В математике , однозначным разложением на множители ( УФО ) (также иногда называемый факторный кольцо следуя терминологии Бурбаки ) представляет собой кольцо , в котором утверждение аналогично основной теоремы арифметики имеет. В частности, УФО является областью целостности (а нетривиальным коммутативное кольцо , в котором произведение любых двух ненулевых элементов не равно нулю) , в которой каждый ненулевой не- единицы элемент может быть записан в виде произведения простых элементов (или неприводимые элементы ), однозначно до порядка и единиц.

Важными примерами UFD являются целые числа и кольца многочленов от одной или нескольких переменных с коэффициентами, получаемыми из целых чисел или из поля .

Уникальные домены факторизации появляются в следующей цепочке включений классов :

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ области целостности ⊃ интегрально замкнутые области ⊃ области GCD ⊃ уникальные области факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Определение

Формально уникальная область факторизации определяется как область целостности R, в которой каждый ненулевой элемент x из R может быть записан как произведение ( пустой продукт, если x является единицей) неприводимых элементов p _i из R и единицы u :

x = u p ₁ p ₂ ⋅⋅⋅ p _n при n ≥ 0

и это представление единственно в следующем смысле: если q ₁ , ..., q _m - неприводимые элементы R и w - единица такая, что

x = w q ₁ q ₂ ⋅⋅⋅ q _m при m ≥ 0,

затем т = п , и существует взаимно однозначное отображение ф : {1, ..., п } → {1, ..., т }, что р _я это связано с ц _{ф ( я )} для I ∈ {1, ..., n }.

Часть уникальности обычно трудно проверить, поэтому полезно следующее эквивалентное определение:

Уникальное доменное разложение является областью целостности R , в котором каждый ненулевой элемент может быть записан в виде произведения единицы и простых элементов из R .

Примеры

Большинство знакомых из элементарной математики колец - это UFD:

Все главные идеальные области , а следовательно, и все евклидовы области , являются UFD. В частности, целые числа (также см основной теоремы арифметика ), то гауссовые целые числа и числа Эйзенштейн являются UFDs.
Если R - UFD, то R [ X ] - кольцо многочленов с коэффициентами в R - тоже . Если R не является полем, R [ X ] не является областью главных идеалов. По индукции кольцо многочленов от любого числа переменных над любым UFD (и, в частности, над полем или над целыми числами) является UFD.
Формальный степенной ряд кольцо К [[ X ₁ , ..., Х _п ]] над полем K (или в более общем случае над регулярным УФО , такие как PID) является УФО. С другой стороны, кольцо формальных степенных рядов над UFD не обязательно должно быть UFD, даже если UFD является локальным. Например, если R является локализацией k [ x , y , z ] / ( x ² + y ³ + z ⁷ ) на первичном идеале ( x , y , z ), то R является локальным кольцом, которое является UFD, но кольцо формальных степенных рядов R [[ X ]] над R не является UFD.
Теорема Ауслендера – Буксбаума утверждает, что каждое регулярное локальное кольцо является UFD.
${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [е ^ {\ гидроразрыва {2 \ pi i} {п}}]}$ является UFD для всех целых чисел 1 ≤ n ≤ 22, но не для n = 23.
Мори показал, что если пополнение кольца Зарисского , такого как нётерово локальное кольцо , является UFD, то кольцо является UFD. Обратное неверно: существуют нётеровы локальные кольца, которые являются UFD, но чьи пополнения - нет. Вопрос о том, когда это происходит довольно тонкий, например, для локализации из к [ х , у , г ] / ( х ² + у ³ + г ⁵ ) в простом идеале ( х , у , г ), как локальное кольцо и его пополнение являются UFD, но в явно похожем примере локализации k [ x , y , z ] / ( x ² + y ³ + z ⁷ ) на первичном идеале ( x , y , z ) локальный кольцо является УФД, а его завершение - нет.
Пусть - поле любой характеристики, отличной от 2. Клейн и Нагата показали, что кольцо R [ X ₁ , ..., X _n ] / Q является UFD всякий раз, когда Q является невырожденной квадратичной формой в X, а n есть не менее 5. При n = 4 кольцо не обязательно должно быть UFD. Например, это не UFD, потому что элемент равен элементу, так что и являются двумя разными факторизациями одного и того же элемента в неприводимые. ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle R [X, Y, Z, W] / (XY-ZW)}$ ${\ displaystyle XY}$ ${\ displaystyle ZW}$ ${\ displaystyle XY}$ ${\ displaystyle ZW}$
Кольцо Q [ x , y ] / ( x ² + 2 y ² + 1) является UFD, а кольцо Q ( i ) [ x , y ] / ( x ² + 2 y ² + 1) - нет. С другой стороны, кольцо Q [ x , y ] / ( x ² + y ² - 1) не является UFD, а кольцо Q ( i ) [ x , y ] / ( x ² + y ² - 1) есть ( Самуэль 1964 , стр.35). Точно так же координатное кольцо R [ X , Y , Z ] / ( X ² + Y ² + Z ² - 1) 2-мерной вещественной сферы является UFD, но координатное кольцо C [ X , Y , Z ] / ( X ² + Y ² + Z ² - 1) комплексной сферы не является.
Предположим, что переменным X _i заданы веса w _i , а F ( X ₁ , ..., X _n ) - однородный многочлен веса w . Тогда, если c взаимно прост с w и R является UFD и либо любой конечно порожденный проективный модуль над R свободен, либо c является 1 mod w , кольцо R [ X ₁ , ..., X _n , Z ] / ( Z ^c - F ( X ₁ , ..., X _n )) является UFD ( Самуэль 1964 , стр.31).

Не примеры

Квадратичное целое кольцо всех комплексных чисел вида , где и Ь целые числа, не потому , что УФО 6 факторов и как 2 × 3 и , как . Это действительно разные факторизации, потому что единственные единицы в этом кольце - 1 и -1; таким образом, ни одно из 2, 3 , и не является ассоциированным . Нетрудно показать, что все четыре фактора также несводимы, хотя это может быть неочевидным. См. Также алгебраическое целое число . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-5}}]}$ ${\ displaystyle a + b {\ sqrt {-5}}}$ ${\ displaystyle \ left (1 + {\ sqrt {-5}} \ right) \ left (1 - {\ sqrt {-5}} \ right)}$ ${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {-5}}}$ ${\ displaystyle 1 - {\ sqrt {-5}}}$
Для бесквадратного положительного целого числа г, то кольцо целых чисел из не сможет быть УФО , если d не является числом Хегнера . ${\ displaystyle \ mathbb {Q} [{\ sqrt {-d}}]}$
Кольцо формальных степенных рядов над комплексными числами является UFD, но подкольцо тех, которые сходятся всюду, другими словами, кольцо целых функций от одной комплексной переменной, не является UFD, поскольку существуют целые функции с бесконечностью нулей и, следовательно, бесконечность неприводимых множителей, в то время как факторизация UFD должна быть конечной, например:

{\ displaystyle \ sin \ pi z = \ pi z \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {{z ^ {2}} \ over {n ^ {2}}} \ right ).}

Характеристики

Некоторые концепции, определенные для целых чисел, можно обобщить на UFD:

В UFD каждый неприводимый элемент является простым . (В любой области целостности каждый простой элемент неприводим, но обратное не всегда верно. Например, элемент является неприводимым, но не простым.) Обратите внимание, что это имеет частичное обратное: область, удовлетворяющая ACCP, является UFD, если и только если каждый неприводимый элемент прост. ${\ Displaystyle Z \ в К [х, y, z] / (z ^ {2} -xy)}$
Любые два элемента UFD имеют наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное . Здесь наибольший общий делитель a и b - это элемент d, который делит как a, так и b , и такой, что любой другой общий делитель a и b делит d . Все наибольшие общие делители и Ь будут связаны .
Любой УФО является интегрально замкнутым . Другими словами, если R является УФО с полем частных K, и если элемент к в K является корнем из унитарный многочлен с коэффициентами в R, то к является элементом R.
Пусть S будет мультипликативно замкнутое подмножество из УФО А . Тогда локализация - УФО. Также имеет место частичное обратное этому; Смотри ниже. ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$

Эквивалентные условия для того, чтобы кольцо было УФО

Нетеровы целостный является УФО тогда и только тогда , когда каждый высота 1 идеал является главным (доказательство приведено в конце). Кроме того, область Дедекинда является UFD тогда и только тогда, когда ее идеальная группа классов тривиальна. В данном случае это фактически главная идеальная область .

В общем случае следующие условия области целостности A эквивалентны:

А - УФД.
Каждый ненулевой идеал из А содержит простой элемент . ( Капланский )
А удовлетворяет восходящие условию цепи на главных идеалов (ОКАЗАНИЕ), а также локализация S ^-1 является УФО, где S является мультипликативно замкнутое подмножество из А , порожденный простых элементов. (Критерий Нагаты)
А удовлетворяет ОКАЗАНИЕ и все неприводимые является премьер .
Является атомным и всеми неприводимым является премьером .
A является областью НОД (т. Е. Любые два элемента имеют наибольший общий делитель), удовлетворяющей (ACCP).
A - это область Шрайера и атомарная .
A - это домен до Шрайера и атомарен .
A имеет теорию дивизоров, в которой каждый дивизор является главным.
A - это область Крулля, в которой каждый дивизориальный идеал является главным (фактически, это определение UFD у Бурбаки).
A - область Крулля, и каждый простой идеал высоты 1 является главным.

На практике наиболее полезными условиями для проверки являются (2) и (3). Например, из (2) сразу следует, что PID является UFD, поскольку каждый простой идеал порождается простым элементом в PID.

В качестве другого примера рассмотрим нетерову область целостности, в которой на каждой высоте один простой идеал является главным. Поскольку каждый первичный идеал имеет конечную высоту, он содержит один первичный идеал высоты (индукция по высоте), который является главным. По (2) кольцо является УФД.

Смотрите также

Парафакторное локальное кольцо

Languages

In other projects