Основная идеальная область - Principal ideal domain

В математике , А главный идеал домен , или PID , является область целостности , в которой каждый идеал является основным , то есть, может быть получен с помощью одного элемента. В более общем смысле, кольцо главных идеалов - это ненулевое коммутативное кольцо, идеалы которого являются главными, хотя некоторые авторы (например, Бурбаки) называют PID главными кольцами. Различие в том, что кольцо главных идеалов может иметь делители нуля, тогда как область главных идеалов не может.

Таким образом, области главных идеалов являются математическими объектами, которые ведут себя как целые числа в отношении делимости : любой элемент PID имеет уникальное разложение на простые элементы (так что имеет место аналог основной теоремы арифметики ); любые два элемента PID имеют наибольший общий делитель (хотя его невозможно найти с помощью алгоритма Евклида ). Если $x$ и $y$ являются элементами PID без общих делителей, то каждый элемент PID можно записать в форме $ax + by$ .

Области главных идеалов нётеровы , они интегрально замкнуты , это уникальные области факторизации и дедекиндовы области . Все евклидовы области и все поля являются областями главных идеалов.

Области главных идеалов появляются в следующей цепочке классовых включений :

ГСЧ ⊃ кольца ⊃ коммутативных колец ⊃ интегральные домены ⊃ целозамкнутые домены ⊃ НОД домены ⊃ уникальные факторизационные домены ⊃ главных идеалов ⊃ евклидовых областей ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Примеры

Примеры включают:

${\ displaystyle K}$ : любое поле ,
${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ : Кольцо из целых чисел ,
${\ Displaystyle К [х]}$ : кольца многочленов от одной переменной с коэффициентами в поле. (Верно и обратное, т. Е. Если PID, то это поле.) Кроме того, кольцо формальных степенных рядов от одной переменной над полем является PID, поскольку каждый идеал имеет вид , ${\ Displaystyle А [х]}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle (х ^ {к})}$
${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [я]}$ : кольцо целых гауссовских чисел ,
${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ omega]}$ (где - примитивный кубический корень из 1): целые числа Эйзенштейна , ${\ displaystyle \ omega}$
Любое кольцо дискретной оценки , например кольцо целых $p$ -адических чисел . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$

Не примеры

Примеры интегральных доменов, не являющихся PID:

${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-3}}]}$ является примером кольца, которое не является уникальной областью факторизации , поскольку, следовательно, это не область главных идеалов, поскольку области главных идеалов являются областями уникальной факторизации. ${\ displaystyle 4 = 2 \ cdot 2 = (1 + {\ sqrt {-3}}) (1 - {\ sqrt {-3}}).}$

${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [х]}$ : кольцо всех многочленов с целыми коэффициентами. Это не принципиально, потому что это пример идеала, который не может быть порожден одним полиномом. ${\ Displaystyle \ langle 2, х \ rangle}$
${\ Displaystyle К [х, у]}$ : кольца многочленов от двух переменных . Идеал не принципиален. ${\ Displaystyle \ langle х, у \ rangle}$
Большинство колец алгебраических целых чисел не являются областями главных идеалов, потому что у них есть идеалы, которые не порождаются одним элементом. Это одна из основных мотиваций, лежащих в основе определения Дедекинда доменов Дедекинда, поскольку простое целое число больше не может быть разложено на элементы, вместо этого они являются первичными идеалами. Фактически, многие для корня p-й степени из единицы не являются основными идеальными областями. Фактически, число классов кольца алгебраических целых чисел дает представление о том, «насколько далеко» оно от того, чтобы быть областью главных идеалов. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ zeta _ {p}]}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {p}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$

Модули

Ключевым результатом является структурная теорема: если R - область главных идеалов, а M - конечно порожденный R -модуль, то является прямой суммой циклических модулей, т. Е. Модулей с одним образующим. Циклические модули изоморфны для некоторых (обратите внимание, что может быть равно , и в этом случае есть ). ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle R / xR}$ ${\ displaystyle x \ in R}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ Displaystyle R / xR}$ ${\ displaystyle R}$

Если M - свободный модуль над областью главных идеалов R , то каждый подмодуль M снова свободен. Это не выполняется для модулей над произвольными кольцами, как показывает пример модулей над . ${\ Displaystyle (2, Икс) \ substeq \ mathbb {Z} [X]}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [X]}$

Характеристики

В области главных идеалов любые два элемента $a, b$ имеют наибольший общий делитель , который может быть получен как образующий идеал $(a, b)$ .

Все евклидовы области являются областями главных идеалов, но обратное неверно. Примером области главных идеалов, не являющейся евклидовой областью, является кольцо. В этой области нет $q$ и $r$ , причем $0 \leq |$ $г$ $|$ $<4$ , так что , несмотря на и имеющий наибольший общий делитель $2$ . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ frac {1 + {\ sqrt {-19}}} {2}} \ right].}$ ${\ displaystyle (1 + {\ sqrt {-19}}) = (4) q + r}$ ${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {-19}}}$ ${\ displaystyle 4}$

Каждая основная идеальная область является уникальной областью факторизации (UFD). Обратное неверно, поскольку для любого UFD $K$ кольцо $K [X, Y]$ многочленов от 2 переменных является UFD, но не PID. (Чтобы доказать это, взгляните на идеал, порожденный Это не все кольцо, поскольку он не содержит многочленов степени 0, но он не может быть порожден каким-либо одним элементом.) ${\ displaystyle \ left \ langle X, Y \ right \ rangle.}$

Каждая область главных идеалов нётерова .
Во всех унитарных кольцах, максимальные идеалы являются премьером . В областях главных идеалов имеет место почти обратное: каждый ненулевой простой идеал максимален.
Все области главных идеалов интегрально замкнуты .

Предыдущие три утверждения дают определение дедекиндовской области , и, следовательно, каждая основная идеальная область является дедекиндовской областью.

Пусть A - область целостности. Тогда следующие эквивалентны.

A - PID.
Каждый простой идеал A является главным.
A - это дедекиндовский домен, который является UFD.
Каждый конечно порожденный идеал A является главным (т . Е. A является областью Безу ) и A удовлетворяет условию возрастающей цепи на главных идеалах .
A допускает норму Дедекинда – Хассе .

Любая евклидова норма является нормой Дедекинда-Хассе; таким образом, (5) показывает, что евклидова область является PID. (4) сравнивается с:

Область целостности является UFD тогда и только тогда, когда она является областью GCD (т. Е. Областью , где каждые два элемента имеют наибольший общий делитель), удовлетворяющей условию возрастающей цепочки для главных идеалов.

Область целостности является областью Безу тогда и только тогда, когда любые два элемента в ней имеют НОД, который является линейной комбинацией этих двух. Таким образом, домен Безу является доменом GCD, и (4) дает еще одно доказательство того, что PID является UFD.

Смотрите также

Личность Безу

Заметки

^ См. Fraleigh & Katz (1967), стр. 73, следствие теоремы 1.7 и примечания на стр. 369, после следствия теоремы 7.2
^ См. Fraleigh & Katz (1967), стр. 385, теорема 7.8 и с. 377, теорема 7.4.
^ Милн. "Алгебраическая теория чисел" (PDF) . п. 5.
↑ См. Также Рибенбойм (2001), стр. 113 , доказательство леммы 2.
^ Уилсон, Джек С. «Главное кольцо, не являющееся евклидовым кольцом». Математика. Mag 46 (январь 1973) 34-38 [1]
^ Джордж Бергман, Основная идеальная область, которая не является евклидовой - разработана как серия упражнений PostScript-файл
^ Доказательство: каждый простой идеал порождается одним элементом, который обязательно является простым. Теперь обратимся к тому факту, что область целостности является UFD тогда и только тогда, когда ее простые идеалы содержат простые элементы.
^ Якобсон (2009), стр. 148, теорема 2.23.
^ Fraleigh & Katz (1967), стр. 368, теорема 7.2
^ Хазевинкель, Губарени & Кириченко (2004), с.166 , теорема 7.2.1.
^ TY Lam и Мануэль Л. Рейес, штрих Ideal принцип в коммутативной алгебре Архивированных 2010-07-26 в Wayback Machine
^ Хазевинкель, Губарени и Кириченко (2004), с.170 , предложение 7.3.3.

Внешние ссылки

Главное кольцо на MathWorld

[1] См. Fraleigh & Katz (1967), стр. 73, следствие теоремы 1.7 и примечания на стр. 369, после следствия теоремы 7.2

[2] См. Fraleigh & Katz (1967), стр. 385, теорема 7.8 и с. 377, теорема 7.4.

[3] Милн. "Алгебраическая теория чисел" (PDF) . п. 5.

[4] См. Также Рибенбойм (2001), стр. 113 , доказательство леммы 2.

[5] Уилсон, Джек С. «Главное кольцо, не являющееся евклидовым кольцом». Математика. Mag 46 (январь 1973) 34-38 [1]

[6] Джордж Бергман, Основная идеальная область, которая не является евклидовой - разработана как серия упражнений PostScript-файл

[7] Доказательство: каждый простой идеал порождается одним элементом, который обязательно является простым. Теперь обратимся к тому факту, что область целостности является UFD тогда и только тогда, когда ее простые идеалы содержат простые элементы.

[8] Якобсон (2009), стр. 148, теорема 2.23.

[9] Fraleigh & Katz (1967), стр. 368, теорема 7.2

[10] Хазевинкель, Губарени & Кириченко (2004), с.166 , теорема 7.2.1.

[11] TY Lam и Мануэль Л. Рейес, штрих Ideal принцип в коммутативной алгебре Архивированных 2010-07-26 в Wayback Machine

[12] Хазевинкель, Губарени и Кириченко (2004), с.170 , предложение 7.3.3.

Languages

In other projects