Градуированное кольцо - Graded ring

В математике , в частности в абстрактной алгебре , градуированное кольцо - это кольцо такое, что основная аддитивная группа является прямой суммой таких абелевых групп , что . Набор индексов обычно представляет собой набор неотрицательных целых чисел или набор целых чисел, но может быть любым моноидом . Разложение на прямую сумму обычно называют градацией или градуировкой .

Градуированный модуль определяется аналогично (смотрите ниже для точного определения). Он обобщает градуированные векторные пространства . Градуированный модуль, который также является градуированным кольцом, называется градуированной алгеброй . Градуированное кольцо также можно рассматривать как градуированную -алгебру.

Ассоциативность не важна (фактически вообще не используется) в определении градуированного кольца; следовательно, это понятие применимо и к неассоциативным алгебрам ; например, можно рассматривать градуированную алгебру Ли .

Первые свойства

Обычно предполагается, что индексный набор градуированного кольца является набором неотрицательных целых чисел, если иное не указано явно. Так обстоит дело в этой статье.

Градуированное кольцо - это кольцо , которое раскладывается в прямую сумму

из аддитивных групп , таким образом, что

для всех неотрицательных целых чисел и .

Ненулевое элемент назовет однородными по степени . По определению прямой суммы, каждый ненулевой элемент из может быть однозначно записывается в виде суммы , где каждый является либо 0 , либо однородна степени . Ненулевой являются однородными компонентами из  .

Некоторые основные свойства:

  • является подкольцом из ; в частности, мультипликативное тождество является однородным элементом нулевой степени.
  • Для любого , является двусторонний - модуль , а разложение прямой суммы является прямой суммой модулей.
  • является ассоциативной -алгеброй .

Идеал является однородным , если для каждого , однородные компоненты также принадлежат (Эквивалентно, если она является градуированным подмодуль , см модуль § градуированных .) Пересечение однородного идеала с представляет собой подмодуль называется однородная часть из степень из . Однородный идеал - это прямая сумма его однородных частей.

Если - двусторонний однородный идеал в , то также является градуированным кольцом, разлагаемым как

где это однородная часть степени из .

Основные примеры

  • Любой (неградуированное) кольцо R может быть задана градацией, позволяя , и для я ≠ 0. Это называется тривиальная градация на  R .
  • Кольцо многочленов оценивается по степени : это прямая сумма , состоящие из однородных многочленов степени I .
  • Пусть S множество всех ненулевых однородных элементов в градуированной области целостности R . Затем локализации из R относительно S является -градуированным кольцом.
  • Если я являюсь идеалом в коммутативном кольце R , то есть градуированное кольцо называется ассоциированное градуированное кольцом из R вдоль I ; геометрический, это координата кольцо нормального конуса вдоль подмногообразия , определяемого I .
  • Пусть Х топологическое пространство, Н я (X, R) , я й группы когомологий с коэффициентами в кольце R . Тогда H * (X; R) , кольцо когомологий X с коэффициентами в R , является градуированным кольцом, основная группа которого имеет мультипликативную структуру, заданную чашечным произведением.

Градуированный модуль

Соответствующая идея в теории модулей - это идея градуированного модуля , а именно левого модуля M над градуированным кольцом R, такого что также

а также

Пример : градуированное векторное пространство - это пример градуированного модуля над полем (с полем, имеющим тривиальную градуировку).

Пример : градуированное кольцо - это градуированный модуль над самим собой. Идеал в градуированном кольце однороден тогда и только тогда, когда он является градуированным подмодулем. Аннуляторный градуированной модуля является однородным идеалом.

Пример : даны идеал I в коммутативном кольце R и R -модуль M , прямая сумма является градуированным модулем над ассоциированным градуированным кольцом .

Морфизм между градуированными модулями, называемый градуированным морфизмом , - это морфизм базовых модулей, учитывающий градуировку; то есть . Градуированный подмодуль подмодуль , который представляет собой градуированный модуль в собственном праве и такой , что теоретико-множественное включение морфизм градуированных модулей. Явно градуированный модуль N является градуированным подмодулем модуля M тогда и только тогда, когда он является подмодулем модуля M и удовлетворяет . Ядро и образ морфизма градуированных модулей являются градуированными подмодулями.

Замечание: Придать градуированный морфизм от градуированного кольца к другому градуированному кольцу с изображением, лежащим в центре, то же самое, что дать структуру градуированной алгебры последнему кольцу.

Учитывая дифференцированный модуль , то -twist из представляет собой градуированный модуль определяется . (ср . скручивающий пучок Серра в алгебраической геометрии.)

Пусть M и N - градуированные модули. Если - морфизм модулей, то говорят , что f имеет степень d, если . Внешняя производная дифференциальных форм в дифференциальной геометрии является примером такого морфизма , имеющим степень 1.

Инварианты градуированных модулей

Данному градуированному модулю M над коммутативным градуированным кольцом R можно сопоставить формальный степенной ряд :

(при условии , являются конечными.) Это называется ряд Гильберта-Пуанкаре о М .

Градуированный модуль называется конечно порожденным, если основной модуль конечно порожден. Генераторы можно считать однородными (заменяя генераторы их однородными частями).

Предположим, что R - кольцо многочленов , k - поле, а M - конечно порожденный градуированный модуль над ним. Тогда функция называется функцией Гильберта М . Функция совпадает с целочисленным многочленом для большого п называется с многочленом Гильберта из М .

Градуированная алгебра

Алгебра над кольцом R является градуированной алгеброй , если она оценивается как кольцо.

В обычном случае, когда кольцо R не градуировано (в частности, если R - поле), ему дается тривиальная градуировка (каждый элемент R имеет степень 0). Таким образом, и градуированные части являются R -модулями.

В случае, когда кольцо R также является градуированным кольцом, то требуется, чтобы

Другими словами, мы требуем А быть дифференцированный левый модуль над R .

Примеры градуированных алгебр распространены в математике:

Градуированные алгебры широко используются в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии , гомологической алгебре и алгебраической топологии . Одним из примеров является тесная связь между однородными многочленами и проективными многообразиями (см. Однородное координатное кольцо ).

G -градуированные кольца и алгебры

Приведенные выше определения были обобщены на кольца, градуированные с использованием любого моноида G в качестве набора индексов. A G -градуироваиное кольцо R является кольцом с прямым разложением суммы

такой, что

Элементы R , которые лежат внутри для некоторых называются однородными из класса я .

Определенное ранее понятие «градуированное кольцо» теперь становится тем же, что и -градуированное кольцо, где - моноид неотрицательных целых чисел при сложении. Определения для градуированных модулей и алгебр также могут быть расширены таким образом , заменив множество индексации с любым моноиде G .

Примечания:

Примеры:

Антикоммутативность

Некоторые градуированные кольца (или алгебры) наделены антикоммутативной структурой. Это понятие требует гомоморфизма моноида градации в аддитивный моноид поля с двумя элементами. В частности, моноид со знаком состоит из пары где - моноид и является гомоморфизмом аддитивных моноидов. Антикоммутативное -градуированное кольцо представляет собой кольцо , градуированный по отношению к Γ таким образом, что:

для всех однородных элементов x и y .

Примеры

  • Внешняя алгебра является примером антикоммутативной алгебры, градуированной по отношению к структуре , где есть фактор - отображение.
  • Суперкоммутативная алгебра (иногда называемая косокоммутативное ассоциативное кольцом ) то же самая , как антикоммутативная -градуированная алгебра, где тождественный эндоморфизм аддитивной структуры .

Градуированный моноид

Интуитивно понятно, что градуированный моноид - это подмножество градуированного кольца , генерируемого элементами без использования аддитивной части. То есть набор элементов градуированного моноида равен .

Формально градуированный моноид - это моноид с такой функцией градации , что . Обратите внимание, что градация обязательно равна 0. Некоторые авторы требуют, кроме того, что когда m не является тождеством.

Предполагая, что градации неединичных элементов не равны нулю, количество элементов градации n не больше, где g - мощность порождающего множества G моноида. Следовательно, количество элементов градации n или меньше не превышает (для ) или else. В самом деле, каждый такой элемент является продуктом не более чем n элементов группы G , и только такие продукты существуют. Точно так же элемент идентичности не может быть записан как продукт двух неидентификационных элементов. То есть в таком градуированном моноиде нет делителя единицы.

Степенный ряд, индексируемый градуированным моноидом

Это понятие позволяет расширить понятие кольца степенных рядов . Вместо того, чтобы иметь семейство индексирования, семейство индексирования могло бы быть любым градуированным моноидом, предполагая, что количество элементов степени n конечно для каждого целого числа n .

Более формально, пусть - произвольное полукольцо и градуированный моноид. Затем обозначает полукольцо степенных рядов с коэффициентами в К индексируется R . Ее элементы являются функциями от R до K . Сумма двух элементов определяется точка-накрест, это функция отправки в . А произведение - это функция, отправляющая в бесконечную сумму . Эта сумма правильно определена (т. Е. Конечна), потому что для каждого m существует только конечное число пар ( p , q ) таких, что pq = m .

Пример

В теории формальных языков , учитывая алфавит , то свободный моноид слов над А можно рассматривать как градуированный моноиде, где градация слова является его длиной.

Смотрите также

Рекомендации

Мацумура, Х. (1989). "5-мерная теория §S3 Градуированные кольца, функция Гильберта и функция Самуэля". Коммутативная теория колец . Кембриджские исследования в области высшей математики. 8 . Перевод Рида, М. (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-1-107-71712-1 .