Подкольцо - Subring

В математике , А Подкольцо из R представляет собой подмножество из кольца , что сам по себе кольцо , когда бинарные операции сложения и умножения на R ограничены подмножество, и которая разделяет ту же мультипликативная идентичность , как R . Для тех, кто определяет кольца, не требуя существования мультипликативной идентичности, подкольцо R - это просто подмножество R, которое является кольцом для операций R (это означает, что оно содержит аддитивную идентичность R ). Последнее дает строго более слабое условие, даже для колец, которые действительно имеют мультипликативную идентичность, так что, например, все идеалы становятся подкольцами (и они могут иметь мультипликативную идентичность, отличную от таковой в R ). С определением, требующим мультипликативного тождества (которое используется в этой статье), единственным идеалом кольца R, которое является подкольцом R, является само R.

Определение

Подкольцо кольца ( R , +, *, 0, 1) представляет собой подмножество S из R , который сохраняет структуру кольца, т.е. кольцо ( S +, *, 0, 1) с S R . Эквивалентно, это одновременно подгруппа в ( R , +, 0) и подмоноид в ( R , ∗, 1) .

Примеры

Кольцо и его частные не имеют подколец (с мультипликативной единицей), кроме полного кольца.

Каждое кольцо имеет единственное наименьшее подкольцо, изоморфное некоторому кольцу с неотрицательным целым числом n (см. Характеристику ). Целые числа соответствуют n = 0 в этом утверждении, поскольку изоморфно .

Подкольца тест

Тест Подкольца является теоремой , которая утверждает , что для любого кольца R , A подмножество S из R является подкольцом тогда и только тогда , когда она закрыта относительно умножения и вычитания, и содержит мультипликативную идентичность R .

В качестве примера, кольцо Z из целых чисел является подкольцом поля из действительных чисел , а также подкольцо кольца многочленов Z [ X ].

Расширения кольца

Если S является подкольцом кольца R , то же самым R называется быть кольцо продолжение из S , записывается в виде R / S в аналогичном обозначении, что и для расширений полей .

Подкольцо, созданное набором

Пусть R - кольцо. Любое пересечение подколец R снова подкольцо R . Поэтому, если Х является любое подмножество R , пересечение всех подкольцах R , содержащий X является подкольцом S из R . S является наименьшим подкольцом R , содержащим X . ( «Наименьший» означает , что если Т является любое другое подкольцо R , содержащий X , то S содержится в T .) S называется подкольцо R , генерируемого с помощью X . Если S = R, то можно сказать , что кольцо R будет генерироваться с помощью X .

Отношение к идеалам

Собственные идеалы являются подкольцами (без единицы), которые закрыты под левой и правой умножения на элементы из R .

Если опустить требование, чтобы кольца имели единичный элемент, тогда подкольца должны быть только непустыми и в противном случае соответствовать структуре кольца, а идеалы становятся подкольцами. Идеалы могут иметь или не иметь свою собственную мультипликативную идентичность (отличную от идентичности кольца):

  • Идеал I = {( z , 0) | z in Z } кольца Z × Z = {( x , y ) | x , y в Z } с покомпонентным сложением и умножением имеет тождество (1,0), которое отличается от тождества (1,1) кольца. Так я это кольцо с единицей, и «Подкольцо-без единства», но не «Подкольцо-с-единство» Z × Z .
  • Собственные идеалы Z не имеют мультипликативного тождества.

Если я это идеал коммутативной кольца R , то пересечение I с любым подкольцом S из R остается простым в S . В этом случае говорят , что я лежит над I  ∩  S . Ситуация более сложная, когда R не коммутативно.

Профиль по коммутативным подкольцам

Кольцо может быть профилировано множеством коммутативных подколец, которые оно содержит:

Смотрите также

Рекомендации

  • Иэн Т. Адамсон (1972). Элементарные кольца и модули . Университетские математические тексты. Оливер и Бойд. С. 14–16. ISBN   0-05-002192-3 .
  • Страница 84 из Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass: Addison-Wesley, ISBN   978-0-201-55540-0 , Zbl   0848,13001
  • Дэвид Шарп (1987). Кольца и факторизация . Издательство Кембриджского университета . С.  15–17 . ISBN   0-521-33718-6 .