Спектр кольца - Spectrum of a ring

В коммутативной алгебре , то простой спектр (или просто спектр ) из кольца R есть множество всех простых идеалов в R , и обычно обозначается ; в алгебраической геометрии это одновременно топологическое пространство, снабженное пучком колец . ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} {R}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$

Топология Зарисского

Для любого идеала I в R , определим как множество простых идеалов , содержащих I . Мы можем наложить топологию , определив набор замкнутых множеств как ${\ displaystyle V_ {I}}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$

${\ displaystyle \ {V_ {I} \ двоеточие I {\ text {является идеалом}} R \}.}$

Эта топология называется топологией Зарисского .

Основа для Зарисского может быть построена следующим образом . Для f ∈ R определим D _f как множество простых идеалов кольца R, не содержащих f . Тогда каждое D _f является открытым подмножеством и является основой топологии Зарисского. ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$${\ displaystyle \ {D_ {f}: f \ in R \}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$- компактное пространство , но почти никогда не хаусдорфово : на самом деле максимальные идеалы в R - это в точности замкнутые точки в этой топологии. По тем же соображениям, это, вообще говоря, не пространство T ₁ . Однако всегда является пространством Колмогорова (удовлетворяет аксиоме T ₀ ); это тоже спектральное пространство . ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$

Связки и схемы

Учитывая пространство с топологией Зарисской, в структурном пучке О _Й определяются на базовом уровне открытых подмножеств D _F , полагая Г ( D _п , О _Х ) = Р _е , к локализации в R по степеням е . Можно показать, что это определяет B-пучок и, следовательно, определяет пучок. Более подробно, выделенные открытые подмножества являются основой топологии Зарисского, поэтому для произвольного открытого множества U , записанного как объединение { D _fi } _{i ∈ I} , мы полагаем Γ ( U , O _X ) = lim _{i ∈ I} R _fi . Можно проверить, что этот предпучок является пучком, как и окольцованное пространство . Любое окольцованное пространство, изоморфное одной из этих форм, называется аффинной схемой . Общие схемы получаются склейкой аффинных схем. ${\ displaystyle X = \ operatorname {Spec} (R)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$

Аналогично для модуля M над кольцом R мы можем определить пучок на . На выделенных открытых подмножествах положим Γ ( D _f , _· ) = M _f , используя локализацию модуля . Как и выше, эта конструкция распространяется на предпучок на всех открытых подмножествах и удовлетворяет аксиомам склейки. Пучок такой формы называется квазикогерентным . ${\ displaystyle {\ tilde {M}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$${\ displaystyle {\ tilde {M}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$

Если Р есть точка , то есть, простой идеал, то стебель структурного пучка при Р равна локализация из R в идеальном Р , и это локальное кольцо . Следовательно, - локально окольцованное пространство . ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$

Если R - область целостности с полем частных K , то мы можем описать кольцо Γ ( U , O _X ) более конкретно следующим образом. Мы будем говорить , что элемент F в K является регулярным в точке Р в X , если оно может быть представлено в виде дроби F = / б с б не в Р . Обратите внимание, что это согласуется с понятием регулярной функции в алгебраической геометрии. Используя это определение, можно описать Г ( U , O _X ) , как в точности множество элементов K , регулярных в каждой точке Р в U .

Функциональная перспектива

Полезно использовать язык теории категорий и заметить, что это функтор . Каждый гомоморфизм колец индуцирует непрерывное отображение (так как прообраз любого первичного идеала в in является первичным идеалом в ). Таким образом, его можно рассматривать как контравариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию топологических пространств. Более того, для каждого простого числа гомоморфизм спускается до гомоморфизмов ${\ displaystyle \ operatorname {Spec}}$ ${\ displaystyle f: R \ to S}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (f): \ operatorname {Spec} (S) \ to \ operatorname {Spec} (R)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {f ^ {- 1} ({\ mathfrak {p}})} \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathfrak {p}}}$

местных колец. Таким образом, даже определяется контравариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию локально окольцованных пространств . Фактически, это универсальный такой функтор, поэтому его можно использовать для определения функтора с точностью до естественного изоморфизма. ${\ displaystyle \ operatorname {Spec}}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec}}$

Функтор дает контравариантную эквивалентность категории коммутативных колец и категории аффинных схем ; каждая из этих категорий часто рассматривается как категория, противоположная другой. ${\ displaystyle \ operatorname {Spec}}$

Мотивация из алгебраической геометрии

Исходя из примера, в алгебраической геометрии изучается алгебраические множества , т.е. подмножество К ^п (где К является алгебраически замкнутым полем ), которые определены в качестве общих нулей совокупности многочленов в п переменных. Если такое алгебраическое множество, каждый рассматривает коммутативное кольцо R всех полиномиальных функций → K . В максимальные идеалы из R соответствуют точкам А (потому что K алгебраически замкнуто), и простые идеалы в R соответствуют подмногообразиям от А (алгебраическое множество называется неприводимым или многообразием , если оно не может быть записано в виде объединения два собственных алгебраических подмножества).

Спектр R , следовательно , состоит из точек А вместе с элементами для всех подмногообразий A . Точки A замкнуты в спектре, а элементы, соответствующие подмногообразиям, имеют замыкание, состоящее из всех их точек и подмногообразий. Если рассматривать только точки A , то есть максимальные идеалы в R , то топология Зарисского, определенная выше, совпадает с топологией Зарисского, определенной на алгебраических множествах (которая имеет в точности алгебраические подмножества как замкнутые множества). В частности, максимальные идеалы в R , т. Е. Вместе с топологией Зарисского, гомеоморфны A также с топологией Зарисского. ${\ displaystyle \ operatorname {MaxSpec} (R)}$

Таким образом, можно рассматривать топологическое пространство как «обогащение» топологического пространства A (с топологией Зарисского): для каждого подмногообразия A была введена одна дополнительная незамкнутая точка, и эта точка «отслеживает» соответствующее подмногообразие . Эту точку воспринимают как общую точку для подмногообразия. Кроме того, пучок на и пучок полиномиальных функций на A по существу идентичны. Изучая спектры колец полиномов вместо алгебраических множеств с топологией Зарисского, можно обобщить понятия алгебраической геометрии на неалгебраически замкнутые поля и не только, в конечном итоге придя к языку схем . ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$

Примеры

• Аффинная схема является конечным объектом в категории аффинных схем, поскольку является исходным объектом в категории коммутативных колец.${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
• Аффинная схема является теоретико-схемным аналогом . С точки зрения функтора точек точку можно отождествить с морфизмом оценки . Это фундаментальное наблюдение позволяет нам придать смысл другим аффинным схемам.${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}} ^ {n} = \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}])}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}) \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] {\ xrightarrow {ev _ {(\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})}}}} \ mathbb {C}}$
• ${\ Displaystyle \ OperatorName {Spec} (\ mathbb {C} [x, y] / (xy))}$топологически выглядит как поперечное пересечение двух комплексных плоскостей в точке, хотя обычно это изображается как a, поскольку единственные хорошо определенные морфизмы - это оценочные морфизмы, связанные с точками .${\ displaystyle +}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ {(\ alpha _ {1}, 0), (0, \ alpha _ {2}): \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2} \ in \ mathbb {C} \}}$
• Простой спектр булевого кольца (например, кольца степенных множеств ) представляет собой (хаусдорфово) компактное пространство .
• (М. Хохстер) Топологическое пространство гомеоморфно простому спектру коммутативного кольца (т. Е. Спектральному пространству ) тогда и только тогда, когда оно квазикомпактно, квазиотделено и трезво .

Неаффинные примеры

Вот несколько примеров схем, которые не являются аффинными схемами. Они построены из склеивания аффинных схем.

• Проективное пространство над полем . Это можно легко обобщить на любое базовое кольцо, см. Конструкцию Proj (фактически, мы можем определить проективное пространство для любой базовой схемы). Проективное -пространство для не аффинное как глобальное сечения является .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n} = \ operatorname {Proj} k [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle п \ geq 1}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$${\ displaystyle k}$
• Аффинная плоскость минус начало координат. Внутри выделяются открытые аффинные подсхемы . Их объединение - это аффинная плоскость с вынесенным началом. Глобальные секции представляют собой пары многочленов на, которые ограничиваются одним и тем же многочленом на , который, как можно показать , является глобальным сечением . не аффинно, как в .${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {2} = \ operatorname {Spec} \, k [x, y]}$${\ displaystyle D_ {x}, D_ {y}}$${\ Displaystyle D_ {x} \ чашка D_ {y} = U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle D_ {x}, D_ {y}}$${\ displaystyle D_ {xy}}$${\ Displaystyle к [х, у]}$${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {2}}$${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle V _ {(x)} \ cap V _ {(y)} = \ varnothing}$${\ displaystyle U}$

Топологии, отличные от Зарисского на простом спектре

Некоторые авторы (особенно М. Хохстер) рассматривают топологии на простых спектрах, отличные от топологии Зарисского.

Во-первых, есть понятие конструктивной топологии : для данного кольца A подмножества формы удовлетворяют аксиомам замкнутых множеств в топологическом пространстве. Эта топология называется конструктивной топологией. ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (A)}$${\ displaystyle \ varphi ^ {*} (\ operatorname {Spec} B), \ varphi: A \ to B}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (A)}$

В ( Hochster 1969 ) Хохстер рассматривает то, что он называет топологией участков на простом спектре. По определению, патч-топология - это наименьшая топология, в которой множества форм и замкнуты. ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFHochster1969 ( справка )${\ Displaystyle V (I)}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (A) -V (f)}$

Глобальная или относительная спецификация

Существует относительная версия функтора, называемая глобальным или относительным . Если - схема, то относительный обозначается символом или . Если это ясно из контекста, то относительный Spec может быть обозначен или . Для схемы и квазикогерентного пучка -алгебр существуют такая схема и морфизм , что для каждого открытого аффинного типа существует изоморфизм , а для открытых аффинных - включение индуцируется отображением ограничения . То есть, поскольку гомоморфизмы колец индуцируют противоположные отображения спектров, отображения ограничения пучка алгебр индуцируют отображения включения спектров, которые составляют Spec пучка. ${\ displaystyle \ operatorname {Spec}}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec}}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec}}$${\ displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {S}}$${\ displaystyle \ mathbf {Spec} _ {S}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec}}}}$${\ displaystyle \ mathbf {Spec}}$${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {S} ({\ mathcal {A}})}$${\ displaystyle f: {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {S} ({\ mathcal {A}}) \ to S}$${\ displaystyle U \ substeq S}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (U) \ cong \ operatorname {Spec} ({\ mathcal {A}} (U))}$${\ Displaystyle V \ substeq U}$${\ Displaystyle f ^ {- 1} (V) \ к f ^ {- 1} (U)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} (U) \ to {\ mathcal {A}} (V)}$

Global Spec обладает универсальным свойством, аналогичным универсальному свойству для обычного Spec. Точнее, точно так же, как Spec и глобальный функтор сечения являются контравариантными правыми сопряжениями между категорией коммутативных колец и схем, глобальный Spec и функтор прямого изображения для структурного отображения являются контравариантными правыми сопряжениями между категорией коммутативных -алгебр и схемами над . В формулах ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {S}}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {{\ mathcal {O}} _ {S} {\ text {-alg}}} ({\ mathcal {A}}, \ pi _ {*} {\ mathcal {O }} _ {X}) \ cong \ operatorname {Hom} _ {{\ text {Sch}} / S} (X, \ mathbf {Spec} ({\ mathcal {A}})),}$

где - морфизм схем. ${\ displaystyle \ pi \ двоеточие от X \ до S}$

Пример относительной спецификации

Относительная спецификация является правильным инструментом для параметрирования семейства линий через начало координат над Рассмотрят пучок алгебр и пусть будет пучком идеалов Тогда относительная спецификации параметризует искомое семейство. Фактически, волокно поверх - это линия, проходящая через начало координат, в которой находится точка. Предполагая, что волокно может быть вычислено, глядя на состав диаграмм обратного натяжения. ${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}} ^ {2}}$${\ displaystyle X = \ mathbb {P} _ {a, b} ^ {1}.}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {O}} _ {X} [x, y],}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} = (ay-bx)}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}.}$${\ displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {X} ({\ mathcal {A}} / {\ mathcal {I}}) \ to \ mathbb {P} _ {a, b} ^ { 1}}$${\ Displaystyle [\ альфа: \ бета]}$${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {2}}$${\ Displaystyle (\ альфа, \ бета).}$${\ displaystyle \ alpha \ neq 0,}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Spec} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} {\ left (y - {\ frac {\ beta} {\ alpha}}) x \ right)}} \ right) & \ to & \ operatorname {Spec} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} \ left [{\ frac {b} {a}} \ right] [x, y ]} {\ left (y - {\ frac {b} {a}} x \ right)}} \ right) & \ to & {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {X} \ left ({ \ frac {{\ mathcal {O}} _ {X} [x, y]} {\ left (ay-bx \ right)}} \ right) \\\ downarrow && \ downarrow && \ downarrow \\\ имя оператора { Spec} (\ mathbb {C}) & \ to & \ operatorname {Spec} \ left (\ mathbb {C} \ left [{\ frac {b} {a}} \ right] \ right) = U_ {a} & \ к & \ mathbb {P} _ {a, b} ^ {1} \ end {matrix}}}$

где композиция нижних стрелок

${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C}) {\ xrightarrow {[\ alpha: \ beta]}} \ mathbb {P} _ {a, b} ^ {1}}$

дает линию, содержащую точку и начало координат. Этот пример можно обобщить спараметрировать семейство прямых через начало координат за кадром , позволяя и${\ Displaystyle (\ альфа, \ бета)}$${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}} ^ {п + 1}}$${\ displaystyle X = \ mathbb {P} _ {a_ {0}, ..., a_ {n}} ^ {n}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {O}} _ {X} [x_ {0}, ..., x_ {n}]}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} = \ left (2 \ times 2 {\ text {minors of}} {\ begin {pmatrix} a_ {0} & \ cdots & a_ {n} \\ x_ {0} & \ cdots & x_ {n} \ end {pmatrix}} \ right).}$

Перспектива теории представлений

С точки зрения теории представлений , простой идеал I соответствует модулю R / I , а спектр кольца соответствует неприводимым циклическим представлениям R, тогда как более общие подмногообразия соответствуют возможно приводимым представлениям, которые не обязательно должны быть циклическими. Напомним, что абстрактно теория представлений группы - это изучение модулей над ее групповой алгеброй .

Связь с теорией представлений становится более ясной, если рассматривать кольцо многочленов или без базиса. Как ясно из последней формулировки, кольцо многочленов - это групповая алгебра над векторным пространством , а запись в терминах соответствует выбору базиса для векторное пространство. Тогда идеал I или, что эквивалентно, модуль является циклическим представлением R (циклический смысл, порожденный 1 элементом как R -модулем; это обобщает одномерные представления). ${\ Displaystyle R = К [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]}$${\ displaystyle R = K [V].}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle R / I,}$

В случае, когда поле алгебраически замкнуто (скажем, комплексные числа), каждый максимальный идеал соответствует точке в n -пространстве посредством nullstellensatz (максимальный идеал, порожденный посредством, соответствует точке ). Эти представления затем параметризуются дуальным пространством, ковектор задается путем отправки каждого в соответствующее . Таким образом, представление ( K -линейных отображений ) задается набором из n чисел или, что эквивалентно, ковектором${\ displaystyle (x_ {1} -a_ {1}), (x_ {2} -a_ {2}), \ ldots, (x_ {n} -a_ {n})}$${\ Displaystyle (а_ {1}, \ ldots, а_ {п})}$${\ displaystyle K [V]}$${\ displaystyle V ^ {*},}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle K ^ {n}}$${\ displaystyle K ^ {n} \ to K}$${\ displaystyle K ^ {n} \ to K.}$

Таким образом, точки в n- пространстве, рассматриваемые как максимальная спецификация, соответствуют в точности одномерным представлениям R, в то время как конечные наборы точек соответствуют конечномерным представлениям (которые сводимы, геометрически соответствуют объединению, а алгебраически чтобы не быть главным идеалом). Тогда немаксимальные идеалы соответствуют бесконечномерным представлениям. ${\ Displaystyle R = К [x_ {1}, \ dots, x_ {n}],}$

Перспектива функционального анализа

Термин «спектр» происходит от использования в теории операторов . Для данного линейного оператора T в конечномерном векторном пространстве V можно рассматривать векторное пространство с оператором как модуль над кольцом многочленов от одной переменной R = K [ T ], как в структурной теореме для конечно порожденных модулей над главная идеальная область . Тогда спектр K [ T ] (как кольца) равен спектру T (как оператора).

Кроме того, геометрическая структура спектра кольца (эквивалентно алгебраическая структура модуля) отражает поведение спектра оператора, такое как алгебраическая кратность и геометрическая кратность. Например, для единичной матрицы 2 × 2 есть соответствующий модуль:

${\ Displaystyle К [Т] / (Т-1) \ oplus К [Т] / (Т-1)}$

нулевая матрица 2 × 2 имеет модуль

${\ Displaystyle К [Т] / (Т-0) \ oplus К [Т] / (Т-0),}$

показывающая геометрическую кратность 2 для нулевого собственного значения, в то время как нетривиальная нильпотентная матрица 2 × 2 имеет модуль

${\ Displaystyle К [Т] / Т ^ {2},}$

показывая алгебраическую кратность 2, но геометрическую кратность 1.

Более подробно:

• собственные значения (с геометрической кратностью) оператора соответствуют (приведенным) точкам многообразия с кратностью;
• первичная декомпозиция модуля соответствует нередуцированным точкам многообразия;
• диагонализуемый (полупростой) оператор соответствует редуцированному многообразию;
• циклический модуль (один генератор) соответствует оператору, имеющему циклический вектор (вектор, орбита которого под T охватывает пространство);
• последний инвариантный множитель модуля равен минимальному многочлену оператора, а произведение инвариантных множителей равно характеристическому многочлену .

Обобщения

Спектр может быть обобщен от колец к C * -алгебры в теории операторов , что дает представление о спектре С * -алгеброй . Следует отметить, что для хаусдорфова пространства , то алгебра скаляров (ограниченная непрерывные функции на пространстве, будучи аналогично регулярных функций) является коммутативной С * -алгебры с пространством, восстанавливающих как топологическое пространство из алгебры скаляров, действительно так функционально; это содержание теоремы Банаха – Стоуна . В самом деле, любая коммутативная C * -алгебра может быть реализована таким образом как алгебра скаляров хаусдорфова пространства, давая такое же соответствие, как между кольцом и его спектром. Обобщая , чтобы , не -commutative C * -алгебр Урожайность некоммутативную топологии . ${\ displaystyle \ operatorname {MaxSpec}}$

Смотрите также

• Схема (математика)
• Проективная схема
• Спектр матрицы
• Теорема Серра о сродстве
• Эталонный спектр
• Спектр Циглера
• Примитивный спектр

Цитаты

использованная литература

внешние ссылки

• Кевин Р. Кумбс: спектр кольца
• http://stacks.math.columbia.edu/tag/01LL , относительная спецификация
• Майлз Рид. "Коммутативная алгебра для студентов" (PDF) . п. 22. Архивировано из оригинального (PDF) 14 апреля 2016 года.