Простое кольцо - Simple ring

В абстрактной алгебре , разделе математики , простое кольцо - это ненулевое кольцо , у которого нет двустороннего идеала, кроме нулевого идеала и самого себя. В частности, коммутативное кольцо является простым кольцом тогда и только тогда, когда оно является полем .

Центр простого кольца обязательно поле. Отсюда следует, что простое кольцо является ассоциативной алгеброй над этим полем. Итак, простая алгебра и простое кольцо - синонимы.

Некоторые ссылки (например, Lang (2002) или Bourbaki (2012)) требуют дополнительно, чтобы простое кольцо было левым или правым артиновым (или, что эквивалентно, полупростым ). В такой терминологии ненулевое кольцо без нетривиальных двусторонних идеалов называется квазипростым .

Кольца, которые просты, как кольца, но не являются простым модулем над собой, действительно существуют: полное матричное кольцо над полем не имеет никаких нетривиальных идеалов (поскольку любой идеал в M n ( R ) имеет вид M n ( I ) с I идеал R ), но имеет нетривиальные левые идеалы (например, наборы матриц, которые имеют некоторые фиксированные нулевые столбцы).

Согласно теореме Артина – Веддерберна каждое простое кольцо, которое является артиновым слева или справа, является матричным кольцом над телом . В частности, единственными простыми кольцами, которые являются конечномерным векторным пространством над действительными числами, являются кольца матриц над действительными числами, комплексными числами или кватернионами .

Примером простого кольца, не являющегося кольцом матриц над телом, является алгебра Вейля .

Характеристика

Кольцо является простой алгеброй , если она не содержит нетривиальные двусторонние идеалов .

Непосредственным примером простых алгебр являются алгебры с делением , где каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный, например, вещественную алгебру кватернионов . Кроме того, можно показать, что алгебра матриц размера n × n с элементами телесного кольца проста. Фактически, это характеризует все конечномерные простые алгебры с точностью до изоморфизма , т. Е. Любая простая алгебра, конечномерная над своим центром, изоморфна матричной алгебре над некоторым телом. Это было доказано в 1907 году Джозефом Веддерберном в его докторской диссертации « О гиперкомплексных числах» , опубликованной в Трудах Лондонского математического общества . В диссертации Веддерберна классифицируются простые и полупростые алгебры . Простые алгебры являются строительными блоками полупростых алгебр: любая конечномерная полупростая алгебра является декартовым произведением в смысле алгебр простых алгебр.

Позднее результат Веддерберна был обобщен на полупростые кольца в теореме Артина – Веддерберна .

Примеры

Пусть R - поле действительных чисел, C - поле комплексных чисел, а H - кватернионы .

Теорема Веддерберна

Теорема Веддерберна характеризует простые кольца с единицей и минимальным левым идеалом. (Левое артиново условие является обобщением второго предположения.) А именно, оно говорит, что каждое такое кольцо является с точностью до изоморфизма кольцом матриц размера n × n над телом.

Пусть D будет разделение кольца и М н ( Д ) кольцо матриц с элементами из D . Нетрудно показать, что каждый левый идеал в M n ( D ) принимает следующий вид:

{ M ∈ M n ( D ) | в п 1 , ..., п К -й столбцам М имеют нулевые записи},

для некоторого фиксированного { n 1 , ..., n k } ⊆ {1, ..., n }. Итак, минимальный идеал в M n ( D ) имеет вид

{ M ∈ M n ( D ) | все столбцы, кроме k -го, имеют нулевые записи},

для данного k . Другими словами, если I - минимальный левый идеал, то I = M n ( D ) e , где e - идемпотентная матрица с 1 в элементе ( k , k ) и нулем в другом месте. Кроме того, D изоморфен e M n ( D ) e . Левый идеал I можно рассматривать как правый модуль над e M n ( D ) e , и кольцо M n ( D ) , очевидно, изоморфно алгебре гомоморфизмов на этом модуле.

Приведенный выше пример подсказывает следующую лемму:

Лемма. Представляет собой кольцо с единицей 1 и идемпотент е , где AeA = . Пусть I - левый идеал Ae , рассматриваемый как правый модуль над eAe . Тогда A изоморфна алгебре гомоморфизмов на I , обозначаемой Hom ( I ).

Доказательство: Определим "левое регулярное представление" Φ: → Hom ( I ) Ф ( ) т = я для тI . Φ инъективен, потому что если aI = aAe = 0 , то aA = aAeA = 0 , откуда следует, что a = a ⋅ 1 = 0 .

Для сюръективности пусть THom ( I ) . Поскольку AeA = A , единицу 1 можно выразить как 1 = Σ a i eb i . Так

T ( m ) = T (1 ⋅ m ) = Ta i eb i m ) = Σ T ( a i eeb i m ) = Σ T ( a i e ) eb i m = [Σ T ( a i e ) eb i ] m .

Поскольку выражение [Σ T ( a i e ) eb i ] не зависит от m , Φ сюръективно. Это доказывает лемму.

Теорема Веддерберна легко следует из леммы.

Теорема ( Веддерберн ). Если A - простое кольцо с единицей 1 и минимальным левым идеалом I , то A изоморфно кольцу матриц размера n × n над телом.

Просто нужно проверить условия леммы, т.е. найти идемпотент e такой, что I = Ae , а затем показать, что eAe - тело . Предположение A = AeA следует из простоты A.

Смотрите также

использованная литература

  • А.А. Альберт , Структура алгебр , Коллоквиум, публикации 24 , Американское математическое общество , 2003, ISBN  0-8218-1024-3 . С.37.
  • Бурбаки, Николас (2012), Algèbre Ch. 8 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-35315-7
  • Хендерсон, DW (1965). «Краткое доказательство теоремы Веддерберна». Амер. Математика. Ежемесячно . 72 : 385–386. DOI : 10.2307 / 2313499 .
  • Лам, Цит-Юэн (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4419-8616-0 , ISBN 978-0-387-95325-0, MR  1838439
  • Ланг, Серж (2002), Алгебра (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0387953854
  • Джейкобсон, Натан (1989), Основная алгебра II (2-е изд.), WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5