Алгебраическая независимость - Algebraic independence

В абстрактной алгебре , подмножество из поля является алгебраически независимо над подполом , если элементы не удовлетворяют какое - либо не тривиальное полиномиальное уравнения с коэффициентами . ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle K}$

В частности, один набор элементов алгебраически независимы над тогда и только тогда , когда это трансцендентное над . В общем, все элементы алгебраически независимого множества над по необходимости трансцендентны над и над всеми расширениями поля над, порожденными оставшимися элементами . ${\ displaystyle \ {\ alpha \}}$${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle S}$

Пример

Два действительных числа и являются трансцендентными числами : они не являются корнями любого нетривиального многочлена, коэффициенты которого являются рациональными числами . Таким образом, каждое из двух одноэлементных множеств и алгебраически независимы над полем рациональных чисел. ${\ displaystyle {\ sqrt {\ pi}}}$${\ displaystyle 2 \ pi +1}$ ${\ displaystyle \ {{\ sqrt {\ pi}} \}}$${\ displaystyle \ {2 \ pi +1 \}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Однако набор не является алгебраически независимым над рациональными числами, поскольку нетривиальный многочлен ${\ displaystyle \ {{\ sqrt {\ pi}}, 2 \ pi +1 \}}$

${\ Displaystyle P (х, y) = 2x ^ {2} -y + 1}$

равен нулю, когда и . ${\ Displaystyle х = {\ sqrt {\ pi}}}$${\ Displaystyle у = 2 \ пи +1}$

Алгебраическая независимость известных констант

Хотя оба и e, как известно, трансцендентны, неизвестно, является ли их набор алгебраически независимым . На самом деле даже не известно, является ли это иррациональным. В 1996 году Нестеренко доказал, что: ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ pi + e}$

• числа , и Γ (1/4) алгебраически независимы над .${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle e ^ {\ pi}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
• числа , и Γ (1/3) алгебраически независимы над .${\ displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle е ^ {\ пи {\ sqrt {3}}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
• для всех натуральных чисел числа и алгебраически независимы над .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {n}}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Теорема Линдеманна – Вейерштрасса

Теорема Линдеманна – Вейерштрасса часто может использоваться для доказательства того, что некоторые множества алгебраически независимы над ними . Он утверждает , что всякий раз , когда это алгебраические числа , которые линейно независимы над , то также алгебраически независимы над . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle е ^ {\ альфа _ {1}}, \ ldots, е ^ {\ альфа _ {п}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Алгебраические матроиды

Учитывая расширение поля, которое не является алгебраическим, лемму Цорна можно использовать, чтобы показать, что всегда существует максимальное алгебраически независимое подмножество над . Кроме того, все максимальные алгебраически независимые подмножества имеют одинаковую мощность , известную как степень трансцендентности расширения. ${\ displaystyle L / K}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle K}$

Для каждого набора элементов алгебраически независимые подмножества удовлетворяют аксиомам, которые определяют независимые множества матроида . В этом матроиде ранг набора элементов является его степенью трансцендентности, а плоскость, порожденная набором элементов, является пересечением с полем . Матроид, который может быть создан таким образом, называется алгебраическим матроидом . Хорошая характеристика алгебраических матроидов не известна, но известно, что некоторые матроиды не являются алгебраическими; Самым маленьким из них является матроид Вамос . ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle K [T]}$

Многие конечные матроиды могут быть представлены с помощью матрицы над полем , в котором матроида элементы соответствуют столбцам матрицы, и набор элементов не зависит , если соответствующий набор столбцов линейно независим . Каждый матроид с линейным представлением этого типа также может быть представлен как алгебраический матроид, если выбрать неопределенное значение для каждой строки матрицы и использовать коэффициенты матрицы в каждом столбце, чтобы назначить каждому элементу матроида линейную комбинацию этих трансцендентальных чисел. Обратное неверно: не каждый алгебраический матроид имеет линейное представление. ${\ displaystyle K}$

использованная литература

внешние ссылки

• Чен, Джонни. «Алгебраически независимый» . MathWorld .