Элемент идентификации -Identity element
В математике элемент идентичности или нейтральный элемент бинарной операции , работающей над набором , — это элемент набора, который оставляет неизменным каждый элемент набора при применении операции. Это понятие используется в алгебраических структурах , таких как группы и кольца . Термин элемент идентичности часто сокращается до идентичности (как в случае аддитивной идентичности и мультипликативной идентичности), когда нет возможности путаницы, но идентичность неявно зависит от бинарной операции, с которой она связана.
Определения
Пусть ( S , ∗) множество S с бинарной операцией ∗. Тогда элемент e из S называется левой единицей , если e ∗ a = a для всех a в S , и правой единицей , если a ∗ e = a для всех a в S. Если e является одновременно и левой, и правой идентичностью, то она называется двусторонней идентичностью или просто идентичностью .
Тождество в отношении сложения называется аддитивным тождеством (часто обозначается как 0), а тождество в отношении умножения называется мультипликативным тождеством (часто обозначается как 1). Это не обязательно должны быть обычные операции сложения и умножения, поскольку основная операция может быть довольно произвольной. Например, в случае группы элемент идентичности иногда просто обозначается символом . Различие между аддитивной и мультипликативной идентичностью чаще всего используется для множеств, которые поддерживают обе бинарные операции, такие как кольца , области целостности и поля . Мультипликативное тождество часто называют единицей в последнем контексте (кольцо с единицей). Это не следует путать с единицей в теории колец, которая представляет собой любой элемент, имеющий мультипликативную обратную . По своему собственному определению, само единство обязательно есть единство.
Примеры
Задавать | Операция | Личность |
---|---|---|
Действительные числа | + ( дополнение ) | 0 |
Действительные числа | · ( умножение ) | 1 |
Сложные числа | + (дополнение) | 0 |
Сложные числа | · (умножение) | 1 |
Положительные целые числа | Наименьший общий множитель | 1 |
Неотрицательные целые числа | Наибольший общий делитель | 0 (в большинстве определений GCD) |
m - n матрицы | Добавление матрицы | Нулевая матрица |
n - n квадратные матрицы | Умножение матриц | I n ( единичная матрица ) |
m - n матрицы | ○ ( продукт Адамара ) | J m , n ( матрица единиц ) |
Все функции из множества M в себя | ∘ ( композиция функций ) | Функция идентификации |
Все распределения на группе , G | * ( свертка ) | δ ( дельта Дирака ) |
Расширенные действительные числа | Минимум / инфимум | +∞ |
Расширенные действительные числа | Максимум /супремум | −∞ |
Подмножества множества M | ∩ ( пересечение ) | М |
Наборы | ∪ ( союз ) | ∅ ( пустой набор ) |
Строки , списки | Конкатенация | Пустая строка , пустой список |
Булева алгебра | ∧ ( логическое и ) | ⊤ (правда) |
Булева алгебра | ↔ ( логический биусловный ) | ⊤ (правда) |
Булева алгебра | ∨ ( логическое или ) | ⊥ (ложь) |
Булева алгебра | ⊕ ( исключающее или ) | ⊥ (ложь) |
Узлы | Сумма узла | развязать |
Компактные поверхности | # ( связанная сумма ) | С 2 |
Группы | Прямой продукт | Тривиальная группа |
Два элемента, { e , f } | ∗ определяется как e ∗ e = f ∗ e = e и f ∗ f = e ∗ f = f |
И e , и f являются левыми тождествами, но нет ни правого тождества , ни двустороннего тождества. |
Однородные отношения на множестве X | Относительный продукт | Отношение идентичности |
Характеристики
В примере S = { e,f } с заданными равенствами S является полугруппой . Это демонстрирует возможность для ( S , ∗) иметь несколько левых тождеств. На самом деле каждый элемент может быть левым тождеством. Точно так же может быть несколько правильных тождеств. Но если есть и правое тождество, и левое тождество, то они должны быть равны, что приводит к одному двустороннему тождеству.
Чтобы убедиться в этом, заметьте, что если l — левое тождество, а r — правое тождество, то l = l ∗ r = r . В частности, никогда не может быть более одного двустороннего тождества: если бы их было два, скажем, e и f , то e ∗ f должно было бы быть равно как e , так и f .
Также вполне возможно, что ( S , ∗) не имеет единичного элемента, например, в случае четных целых чисел при операции умножения. Другим распространенным примером является векторное произведение векторов , где отсутствие элемента идентичности связано с тем фактом, что направление любого ненулевого векторного произведения всегда ортогонально любому умноженному элементу. То есть невозможно получить ненулевой вектор в том же направлении, что и исходный. Еще один пример структуры без элемента идентичности включает аддитивную полугруппу положительных натуральных чисел .
Смотрите также
- Поглощающий элемент
- Противоположное число
- Обобщенный обратный
- Идентичность (уравнение)
- Функция идентификации
- Обратный элемент
- моноид
- Псевдокольцо
- Квазигруппа
- Унитал (значения)
Примечания и ссылки
Список используемой литературы
- Борегар, Раймонд А .; Фрейли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с необязательным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-Х
- Фрейли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
- Херштейн, IN (1964), Topics In Algebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
- Маккой, Нил Х. (1973), Введение в современную алгебру, исправленное издание , Бостон: Аллин и Бэкон , LCCN 68015225
дальнейшее чтение
- М. Килп, У. Кнауэр, А. В. Михалев, Моноиды, действия и категории с приложениями к сплетениям и графам , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Вальтер де Грюйтер, 2000, ISBN 3-11-015248-7 , с. 14–15