Коммутативное кольцо - Commutative ring

В теории колец , ветви абстрактной алгебры , коммутативное кольцо - это кольцо, в котором операция умножения коммутативна . Изучение коммутативных колец называется коммутативной алгеброй . Кроме того, некоммутативная алгебра - это изучение некоммутативных колец, в которых умножение не обязательно должно быть коммутативным.

Определение и первые примеры

Определение

Кольцо представляет собой набор оснащен двумя бинарными операциями , то есть операции , сочетающие в себе любые два элемента кольца на треть. Они называются сложением и умножением и обычно обозначаются «и »; например, и . Чтобы сформировать кольцо, эти две операции должны удовлетворять ряду свойств: кольцо должно быть абелевой группой при сложении, а также моноидом при умножении, где умножение распределяется по сложению; то есть . Элементы идентичности для сложения и умножения обозначаются и соответственно. ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle +}$ ${\ displaystyle \ cdot}$ ${\ displaystyle a + b}$ ${\ displaystyle a \ cdot b}$ ${\ Displaystyle а \ CDOT \ влево (б + с \ вправо) = \ влево (а \ CDOT б \ вправо) + \ влево (а \ CDOT с \ вправо)}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 1}$

Если умножение коммутативное, т. Е.

{\ displaystyle a \ cdot b = b \ cdot a,}

тогда кольцо называется коммутативным . В оставшейся части этой статьи все кольца будут коммутативными, если явно не указано иное. ${\ displaystyle R}$

Первые примеры

Важным примером и в некотором смысле решающим является кольцо целых чисел с двумя операциями сложения и умножения. Поскольку умножение целых чисел - это коммутативная операция, это коммутативное кольцо. Обычно обозначается как аббревиатура от

немецкого слова Zahlen (числа).

{\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Поле является коммутативным кольцом , где и каждый

ненулевой элемент обратит; т.е. имеет мультипликативный обратный такой, что . Следовательно, по определению любое поле является коммутативным кольцом. В рациональных , вещественных и комплексных числах образуют поля.

{\ displaystyle 0 \ not = 1}

{\ displaystyle a}

{\ displaystyle b}

{\ Displaystyle а \ cdot b = 1}

Если - данное коммутативное кольцо, то множество всех

многочленов от переменной , коэффициенты которых находятся в, образует кольцо многочленов , обозначенное . То же самое верно для нескольких переменных. ${\ displaystyle R}$

{\ displaystyle X}

${\ displaystyle R}$

{\ Displaystyle R \ влево [X \ вправо]}

Если - некоторое

топологическое пространство , например подмножество некоторых вещественно- или комплекснозначных непрерывных функций на, образуют коммутативное кольцо. То же самое справедливо и для дифференцируемых или голоморфных функций , когда эти два понятия определены, например, для более сложного многообразия . ${\ displaystyle V}$

{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}

${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V}$

Делимость

В отличие от полей, где каждый ненулевой элемент мультипликативно обратим, понятие делимости для колец богаче. Элемент кольца называется

единицей, если он обладает мультипликативным обратным. Другим частным типом элементов являются делители нуля , то есть такой элемент , что существует ненулевой элемент кольца такой, что . Если не имеет ненулевых делителей нуля, она называется областью целостности (или областью). Элемент, удовлетворяющий некоторому положительному целому числу , называется нильпотентным .

{\ displaystyle a}

${\ displaystyle R}$

{\ displaystyle a}

{\ displaystyle b}

{\ displaystyle ab = 0}

${\ displaystyle R}$

{\ displaystyle a}

{\ displaystyle a ^ {n} = 0}

{\ displaystyle n}

Локализации

Локализации кольца представляет собой процесс , в котором некоторые элементы оказываются обратимы, т.е. мультипликативные обратные добавляются к кольцу. В частности, если это

мультипликативно замкнутое подмножество из (т.е. всякий раз , когда то и ) , то локализация по меньшей или кольцо фракций с знаменателями в , как правило , обозначаются состоит из символов ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle R}$

{\ displaystyle s, t \ in S}

{\ displaystyle st}

${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$

{\ displaystyle S ^ {- 1} R}

{\ displaystyle {\ frac {r} {s}}}

с участием

{\ displaystyle r \ in R, s \ in S}

при соблюдении определенных правил, имитирующих отмену, знакомую по рациональным числам. Действительно, на этом языке есть локализация вообще ненулевых целых чисел. Эта конструкция работает для любой целостной области вместо . Локализация представляет собой поле, называемое

полем частного из . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

{\ displaystyle \ left (R \ обратная косая черта \ left \ {0 \ right \} \ right) ^ {- 1} R}

${\ displaystyle R}$

Идеалы и модули

Многие из следующих понятий также существуют для необязательно коммутативных колец, но определения и свойства обычно более сложны. Например, все идеалы в коммутативном кольце автоматически двусторонние , что значительно упрощает ситуацию.

Модули и идеалы

Для кольца , -

модуль подобно тому , что векторное пространство является полем. То есть в модуль можно добавлять элементы; они могут быть умножены на элементы с учетом тех же аксиом, что и для векторного пространства. Изучение модулей значительно сложнее, чем изучение векторных пространств в линейной алгебре , поскольку некоторые особенности векторных пространств не подходят для модулей в целом: модули не обязательно должны быть свободными , т. Е. Иметь вид ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle R}$

{\ Displaystyle M = \ bigoplus _ {я \ in I} R.}

Даже для свободных модулей ранг свободного модуля (т. Е. Аналог размерности векторных пространств) может быть некорректно определен. Наконец, подмодули конечно порожденных модулей не обязательно должны быть конечно порожденными (если они не нётеровы, см. Ниже ). ${\ displaystyle R}$

Идеалы

Идеалы кольца являются

подмодулями из , т.е. модулей , содержащиеся в . Более подробно, идеальным является непустое подмножество , что для всех ин , и в , так и в . Для различных приложений понимание идеалов кольца имеет особое значение, но часто можно продолжить изучение модулей в целом. ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle ri}$ ${\ displaystyle i + j}$ ${\ displaystyle I}$

Любое кольцо имеет два идеала, а именно нулевой идеал и все кольцо. Эти два идеала - единственные, если есть поле. Принимая во внимание любое подмножество из (где некоторое множество индексов), идеал ,

порожденный является наименьшим идеалом , который содержит . Эквивалентно, это дается конечными линейными комбинациями ${\ Displaystyle \ влево \ {0 \ вправо \}}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle F = \ left \ {f_ {j} \ right \} _ {j \ in J}}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle J}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle F}$

{\ displaystyle r_ {1} f_ {1} + r_ {2} f_ {2} + \ dots + r_ {n} f_ {n}.}

Главные идеальные области

Если состоит из одного элемента , идеал, созданный с помощью, состоит из кратных , т. Е. Элементов формы для произвольных элементов . Такой идеал называется главным идеалом . Если каждый идеал является главным идеалом, он называется кольцом главных идеалов ; двумя важными случаями являются и , кольцо многочленов над полем . Эти две области являются дополнительными, поэтому они называются областями главных идеалов . ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle rs}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle к \ влево [Х \ вправо]}$ ${\ displaystyle k}$

В отличие от обычных колец, для области главных идеалов свойства отдельных элементов сильно привязаны к свойствам кольца в целом. Например, любая область главных идеалов является уникальной областью факторизации (UFD), что означает, что любой элемент является продуктом неприводимых элементов уникальным (с точностью до переупорядочения факторов). Здесь элемент a в области называется неприводимым, если единственный способ выразить его как продукт ${\ displaystyle R}$

{\ displaystyle a = bc,}

это либо или быть единицей. Примером, важным в теории поля , являются неприводимые многочлены , т. Е. Неприводимые элементы поля . Тот факт, что это UFD, можно сформулировать более элементарно, сказав, что любое натуральное число может быть однозначно разложено как произведение степеней простых чисел. Она также известна как основная теорема арифметики . ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ Displaystyle к \ влево [Х \ вправо]}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Элемент является

первичным элементом, если всякий раз, когда делит продукт , делит или . В области простота означает неприводимость. Обратное верно в уникальной области факторизации, но неверно в целом. ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle bc}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle c}$

Факторное кольцо

Определение идеалов таково , что «деление» «из» дает еще одно кольцо,

фактор - кольцо / : это множество смежных классов из совместно с операциями ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle I}$

{\ displaystyle \ left (a + I \ right) + \ left (b + I \ right) = \ left (a + b \ right) + I}

и . Например, кольцо (также обозначаемое ), где - целое число, представляет собой кольцо целых чисел по модулю . Это основа модульной арифметики . ${\ displaystyle \ left (a + I \ right) \ left (b + I \ right) = ab + I}$

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} / п \ mathbb {Z}}

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {п}}

${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$

Идеал считается правильным, если он строго меньше всего кольца. Идеал, который строго не содержится ни в одном собственном идеале, называется максимальным . Идеал максимален

тогда и только тогда, когда / - поле. За исключением нулевого кольца , любое кольцо (с единицей) обладает хотя бы одним максимальным идеалом; это следует из леммы Цорна . ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle m}$

Нётерские кольца

Кольцо называется нётерским (в честь Эмми Нётер , разработавшей эту концепцию), если каждая восходящая цепочка идеалов

{\ displaystyle 0 \ substeq I_ {0} \ substeq I_ {1} \ substeq \ dots \ substeq I_ {n} \ substeq I_ {n + 1} \ dots}

становится стационарным, т.е. становится постоянным за пределами некоторого индекса . Эквивалентно любой идеал порождается конечным числом элементов или, что эквивалентно, подмодули конечно порожденных модулей конечно порождены. ${\ displaystyle n}$

Нетеровость - очень важное условие конечности, и это условие сохраняется при многих операциях, которые часто встречаются в геометрии. Например, если нётерово, то также и кольцо многочленов (по

теореме о базисе Гильберта ), любая локализация , а также любое фактор-кольцо / . ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R \ left [X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n} \ right]}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle I}$

Любое нётерово кольцо является

объединением своих нётеровых подколец. Этот факт, известный как нётерово приближение , позволяет распространить некоторые теоремы на нётеровы кольца. ${\ displaystyle R}$

Артинианские кольца

Кольцо называется артиновым (в честь Эмиля Артина ), если каждая нисходящая цепочка идеалов

{\ Displaystyle R \ supseteq I_ {0} \ supseteq I_ {1} \ supseteq \ dots \ supseteq I_ {n} \ supseteq I_ {п + 1} \ точки}

со временем становится стационарным. Несмотря на то, что два условия кажутся симметричными, нётеровы кольца гораздо более общие, чем артиновы кольца. Например, является нётеровым, поскольку каждый идеал может быть порожден одним элементом, но не артиновым, поскольку цепочка ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ supsetneq 2 \ mathbb {Z} \ supsetneq 4 \ mathbb {Z} \ supsetneq 8 \ mathbb {Z} \ dots}$ показывает. Фактически, по теореме Хопкинса – Левицки каждое артиново кольцо нётерово. Точнее, артиновы кольца можно охарактеризовать как нётеровы кольца, размерность Крулля которых равна нулю.

Спектр коммутативного кольца

Основные идеалы

Как было сказано выше, это

уникальная область факторизации . Это неверно для более общих колец, как это поняли алгебраисты в 19 веке. Например, в ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ sqrt {-5}} \ right]}

Есть два действительно разных способа написать 6 как продукт:

{\ displaystyle 6 = 2 \ cdot 3 = \ left (1 + {\ sqrt {-5}} \ right) \ left (1 - {\ sqrt {-5}} \ right).}

Первичные идеалы, в отличие от первичных элементов, позволяют обойти эту проблему. Первичный идеал - это собственный (т. Е. Строго содержащийся в ) идеал, такой, что всякий раз, когда произведение любых двух элементов кольца и входит , по крайней мере, один из этих двух элементов уже входит . (Противоположный вывод верен для любого идеала по определению.) Таким образом, если простой идеал является главным, он эквивалентно порождается простым элементом. Однако в таких кольцах, как простые идеалы не обязательно должны быть главными. Это ограничивает использование простых элементов в теории колец. Однако краеугольным камнем теории алгебраических чисел является тот факт, что в любом дедекиндовом кольце (которое включает и в более общем плане кольцо целых чисел в числовом поле ) любой идеал (например, тот, который порождается числом 6) однозначно распадается как произведение простых чисел. идеалы. ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle ab}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$

{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ sqrt {-5}} \ right]}

{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ sqrt {-5}} \ right]}

Любой максимальный идеал является первичным идеалом или, короче, первичным. Более того, идеал прост тогда и только тогда, когда факторкольцо / является областью целостности. Доказать, что идеал является простым или, что то же самое, что кольцо не имеет делителей нуля, может быть очень сложно. Еще один способ выразить то же самое - сказать, что

дополнение мультипликативно замкнуто. Локализации ( R \ р ) ^-1R является достаточно важным , чтобы иметь свои собственные обозначения: . У этого кольца есть только один максимальный идеал, а именно . Такие кольца называются локальными . ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ Displaystyle R \ обратная косая черта p}$ ${\ displaystyle \ left (R \ обратная косая черта p \ right) ^ {- 1} R}$ ${\ displaystyle R_ {p}}$ ${\ displaystyle pR_ {p}}$

Спектр

Spec ( Z ) содержит точку нулевого идеала. Замыкание этой точки - все пространство. Остальные точки соответствуют идеалам ( p ), где p - простое число. Эти точки закрыты.

Спектр кольца ${\ displaystyle R}$ , обозначаемое , есть множество всех простых идеалов . Он снабжен топологией, топологией

Зарисского , которая отражает алгебраические свойства : базис открытых подмножеств задается формулой ${\ displaystyle {\ text {Spec}} \ R}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R}$

{\ Displaystyle D \ влево (е \ вправо) = \ влево \ {p \ in {\ text {Spec}} \ R, f \ not \ in p \ right \}}

, где - любой элемент кольца. Если интерпретировать как функцию, которая принимает значение f mod p (т. Е. Изображение f в поле вычетов R / p ), это подмножество является локусом, в котором f не равно нулю. Спектр также уточняет интуицию о том, что локализация и фактор-кольца дополняют друг друга: естественные отображения R → R _f и R → R / fR соответствуют, после наделения спектров рассматриваемых колец их топологией Зарисского, дополнительным открытым и закрытым погружениям. соответственно. Даже для основных колец, таких как показано для R = Z справа, топология Зарисского сильно отличается от топологии на множестве действительных чисел. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$

Спектр содержит набор максимальных идеалов, который иногда обозначают mSpec ( R ). Для алгебраически замкнутого поля k mSpec (k [ T ₁ , ..., T _n ] / ( f ₁ , ..., f _m )) находится в биекции с множеством

{ x = ( x ₁ , ..., x _n ) ∊ k ⁿ

Таким образом, максимальные идеалы отражают геометрические свойства множеств решений многочленов, что является исходной мотивацией для изучения коммутативных колец. Однако рассмотрение немаксимальных идеалов как части геометрических свойств кольца полезно по нескольким причинам. Так , например, минимальные простые идеалы (т.е. те , которые не строго , содержащие более мелкие) соответствуют неприводимым компонентам в Spec R . Для нётерова кольца R Spec R имеет только конечное число неприводимых компонент. Это геометрическая формулировка первичной декомпозиции , согласно которой любой идеал может быть разложен как произведение конечного числа первичных идеалов . Этот факт является окончательным обобщением разложения дедекиндовских колец на простые идеалы.

Аффинные схемы

Понятие спектра является общей базой коммутативной алгебры и алгебраической геометрии . Алгебраическая геометрия протекает по наделению Spec R с пучком (объект , который собирает функцию , определенной локально, то есть при изменении открытых подмножеств). Датаум пространства и пучка называется

аффинной схемой . Учитывая аффинную схему, лежащий в основе кольца R может быть извлечен в качестве глобальных сечений в . Более того, это взаимно однозначное соответствие между кольцами и аффинными схемами также совместимо с гомоморфизмами колец: любое f : R → S порождает непрерывное отображение в противоположном направлении

{\ displaystyle {\ mathcal {O}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {O}}}

Spec S → Spec R , Q ↦ F ^-1 ( д ), то есть любой простой идеал S отображается на его прообраз под F , который является простым идеалом R .

Полученная эквивалентность двух упомянутых категорий точно отражает алгебраические свойства колец геометрическим образом.

Подобно тому, как многообразия локально задаются открытыми подмножествами R ⁿ , аффинные схемы являются локальными моделями схем , которые являются объектом изучения в алгебраической геометрии. Поэтому некоторые представления о коммутативных кольцах вытекают из геометрической интуиции.

Измерение

Размерность Крулля (или измерение) тусклым R кольца R измеряет «размера» кольца с помощью, грубо говоря, считая независимые элементы в R . Размерность алгебр над полем k аксиоматизируется четырьмя свойствами:

Размерность - это локальное свойство: dim R = sup _{p ∊ Spec R} dim R _p .
Измерение не зависит от нильпотентов: если я ⊆ R нильпотентна тогда тусклый R = тусклый R / I .
Измерение остается постоянным при конечном расширении: если S является R - алгеброй , которая имеет конечное число образующих как R - модуль, то тусклый S = тусклый R .
Размер калибруется dim k [ X ₁ , ..., X _n ] = n . Эта аксиома мотивирована тем, что кольцо многочленов от n переменных рассматривается как алгебраический аналог n -мерного пространства .

Размерность определяется для любого кольца R как верхняя грань длин n цепочек простых идеалов

п ₀ ⊊ п ₁ ⊊ ... ⊊ п _п .

Например, поле нульмерно, поскольку единственный простой идеал - это нулевой идеал. Целые числа одномерны, так как цепи имеют вид (0) ⊊ ( p ), где p - простое число . Для нётеровых колец, а также нелокальных колец размерность может быть бесконечной, но нётеровы локальные кольца имеют конечную размерность. Из четырех аксиом выше, первые два являются элементарными из определения, в то время как оставшиеся два шарнира на важных фактах в коммутативной алгебре , то происходит вверх теорема и основная теорема идеального Крулля .

Гомоморфизмы колец

Гомоморфизм колец или, более просторечии, просто карта , это карта F : R → S таким образом, что

f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ), f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) и f (1) = 1.

Эти условия гарантируют, что f (0) = 0. Подобно другим алгебраическим структурам, гомоморфизм колец, таким образом, является отображением, совместимым со структурой рассматриваемых алгебраических объектов. В такой ситуации S также называется R -алгеброй, понимая, что s в S можно умножить на некоторое r из R , положив

r · s : = f ( r ) · s .

Ядро и образ из F определяются кег ( ф ) = { г ∈ R , ф ( г ) = 0} , и им ( ф ) = F ( R ) = { F ( г ), г ∈ R }. Ядро является идеальным из R , и изображение является Подкольцом из S .

Гомоморфизм колец называется изоморфизмом, если он биективен. Примером изоморфизма колец, известного как китайская теорема об остатках , является

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} / п = \ bigoplus _ {я = 0} ^ {k} \ mathbf {Z} / p_ {i}}

где n = p ₁ p ₂ ... p _k - произведение попарно различных простых чисел .

Коммутативные кольца вместе с гомоморфизмами колец образуют категорию . Кольцо Z представляет собой исходный объект в этой категории, что означает , что для любого коммутативного кольца R , существует единственный кольцевой гомоморфизм Z → R . С помощью этой карты, целое число п можно рассматривать как элемент R . Например, биномиальная формула

{\ displaystyle (a + b) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} a ^ {k} b ^ {nk}}

которое справедливо для любых двух элементов a и b в любом коммутативном кольце R , понимается в этом смысле, интерпретируя биномиальные коэффициенты как элементы R с использованием этого отображения.

Универсальное свойство из S ⊗ _R T утверждает , что для любых двух карт S → W и T → W , которые делают внешний четырехугольник коммутируют, существует единственное отображение S ⊗ _R T → W , которая делает всю диаграмму коммутативной.

Для двух R -алгебр S и T их тензорное произведение

S ⊗ _R T

снова является коммутативной R -алгеброй. В некоторых случаях тензор продукт может служить , чтобы найти Т - алгебру , которая относится к Z , как S относится к R . Например,

R [ X ] ⊗ _R T = T [ X ].

Конечное поколение

R - алгебра S называется конечно порожден (как алгебра) , если существует конечное число элементов с ₁ , ..., ев _п таким образом, что любой элемент х можно представить в виде полинома в ˙s _I . Эквивалентно S изоморфна

Р [ Т ₁ , ..., Т _п ] / Я .

Гораздо более сильное условием является то , что S имеет конечное число образующие как R - модуль , а это означает , что любая ей может быть выражена как R -линейной комбинация некоторых конечного множество s ₁ , ..., ев _н .

Местные кольца

Кольцо называется локальным, если у него есть только один максимальный идеал, обозначаемый m . Для любого (не обязательно локального) кольца R локализация

R _p

в простом идеале p локально. Эта локализация отражает геометрические свойства Spec R "около p ". Некоторые понятия и проблемы коммутативной алгебры можно свести к случаю, когда R локально, что делает локальные кольца особенно глубоко изученным классом колец. Поле вычетов из R определяется как

k = R / м .

Любой R -модуль M порождает k- векторное пространство, задаваемое M / mM . Лемма Накаямы показывает, что этот отрывок сохраняет важную информацию: конечно порожденный модуль M равен нулю тогда и только тогда, когда M / mM равно нулю.

Обычные местные кольца

Кубической плоской кривой (красный) определяется уравнением у ² = х ² ( х + 1 ) является сингулярным в нуле, то есть, кольцо к [ х , у ] / у ² - х ² ( х + 1 ), является не обычное кольцо. Касательный конус (синий) представляет собой объединение двух прямых, что также отражает особенность.

Пространство k- векторов m / m ² является алгебраическим воплощением кокасательного пространства . Неформально элементы m можно рассматривать как функции, которые обращаются в нуль в точке p , тогда как m ² содержит те, которые обращаются в нуль с порядком не ниже 2. Для любого нетерова локального кольца R выполняется неравенство

dim _k м / м ² ≥ dim R

справедливо, отражающие идею о том , что котангенс (или , что эквивалентно касательное) пространство имеет по крайней мере размерность пространства Spec R . Если в этой оценке выполняется равенство, R называется регулярным локальным кольцом . Нётерово локальное кольцо регулярно тогда и только тогда, когда кольцо (которое является кольцом функций на касательном конусе )

{\ Displaystyle \ bigoplus _ {п} м ^ {п} / м ^ {п + 1}}

изоморфно кольцу многочленов над k . Вообще говоря, регулярные локальные кольца чем-то похожи на кольца полиномов. Регулярные местные кольца - это УФО.

Кольца дискретной оценки снабжены функцией, которая присваивает целое число любому элементу r . Это число, называемое оценкой r, можно неформально рассматривать как нулевой или полюсный порядок r . Кольца дискретного нормирования - это в точности одномерные регулярные локальные кольца. Например, кольцо ростков голоморфных функций на римановой поверхности является кольцом дискретного нормирования.

Полные перекрестки

Скрученной кубики (зеленый) представляет собой теоретико-множественное полное пересечение, но не является полным пересечением.

Согласно теореме Крулля о главном идеале , основополагающем результате теории размерности колец , размерность

R = k [ T ₁ , ..., T _r ] / ( f ₁ , ..., f _n )

не меньше r - n . Кольцо R называется полным кольцом пересечений, если его можно представить таким образом, чтобы достичь этой минимальной границы. Это понятие также в основном изучается для локальных колец. Любое регулярное локальное кольцо является полным кольцом пересечений, но не наоборот.

Кольцо R является теоретико-множественным полным пересечением, если приведенное кольцо, ассоциированное с R , т. Е. Кольцо , полученное разделением всех нильпотентных элементов, является полным пересечением. По состоянию на 2017 год вообще неизвестно, являются ли кривые в трехмерном пространстве теоретико-множественными полными пересечениями.

Кольца Коэна – Маколея

Глубина локального кольца R является количеством элементов в некоторых (или, как можно показать, любую) максимальную регулярную последовательность, т.е. последовательность

₁ , ..., _п ∈ M таким , что все _я не являюсь -делители нуля в

R / ( a ₁ , ..., a _{i −1} ).

Для любого локального нётерова кольца выполняется неравенство

глубина ( R ) ≤ dim ( R )

держит. Локальное кольцо, в котором имеет место равенство, называется кольцом Коэна – Маколея . Локальные полные кольца пересечений и тем более регулярные локальные кольца - это Коэна – Маколея, но не наоборот. Коэн – Маколей сочетает в себе желаемые свойства регулярных колец (например, свойство быть универсальными цепными кольцами , что означает, что (ко) размерность простых чисел имеет хорошее поведение), но они также более устойчивы к факторизации, чем регулярные локальные кольца.

Построение коммутативных колец

Есть несколько способов построить новые кольца из уже имеющихся. Целью таких конструкций часто является улучшение определенных свойств кольца, чтобы сделать его более понятным. Например, область целостности, интегрально замкнутая в своем поле дробей , называется нормальной . Это желательное свойство, например, любое нормальное одномерное кольцо обязательно регулярно . Отображение нормального кольца называется нормализацией .

Завершено

Если я идеал в коммутативном кольце R , полномочия I образуют топологические окрестности из 0 , которые позволяют R следует рассматривать в качестве топологического кольца . Эта топология называется I -адической топологией . Тогда R можно дополнить по этой топологии. Формально I -адическое пополнение является обратным пределом колец R / I ⁿ . Например, если к является поле, к [[ Х ]], то формальное степенному ряду кольцо в одной переменных над к , это я -адическая завершение к [ X ] , где I является главным идеалом , порожденным X . Это кольцо служит алгебраическим аналогом диска. Аналогично кольцо

целых p -адических чисел является пополнением Z относительно главного идеала ( p ). Любое кольцо, изоморфное собственному пополнению, называется полным .

Полные локальные кольца удовлетворяют леммы Гензеля , что , грубо говоря , позволяет расширить решения (различных проблем) над полем вычетов к к R .

Гомологические понятия

Некоторые более глубокие аспекты коммутативных колец были изучены методами гомологической алгебры . Hochster (2007) перечисляет некоторые открытые вопросы в этой области активных исследований.

Проективные модули и Ext-функторы

Проективные модули можно определить как прямые слагаемые свободных модулей. Если R является локальным, любой конечно порожденный проективный модуль фактически свободен, что дает содержание аналогии между проективными модулями и векторными расслоениями . Теорема Квиллена – Суслина утверждает, что любой конечно порожденный проективный модуль над k [ T ₁ , ..., T _n ] ( k a field) свободен, но в целом эти два понятия различаются. Локальное нётерово кольцо является регулярным тогда и только тогда, когда его глобальная размерность конечна, скажем n , что означает, что любой конечно порожденный R -модуль имеет разрешение проективными модулями длины не больше n .

Доказательство этого и других связанных утверждений опирается на использование гомологических методов, таких как функтор Ext . Этот функтор является производным от функтора

Hom _R ( M , -).

Последний функтор точен , если M является проективным, а не иначе: для сюръективного отображения E → F из R -модулей, карта M → F не должна распространяться на карту M → E . Высшие функторы Ext измеряют неточность Hom-функтора. Важность этой стандартной конструкции в основах гомологической алгебры видна из того факта, что локальное нётерово кольцо R с полем вычетов k регулярно тогда и только тогда, когда

Внешний ⁿ ( k , k )

пропадает для всех достаточно больших n . Более того, размерности этих Ext-групп, известных как числа Бетти , полиномиально растут по n тогда и только тогда, когда R - локальное полное кольцо пересечений . Ключевым аргументом в таких соображениях является комплекс Кошуля , который обеспечивает явное свободное разрешение поля вычетов k локального кольца R в терминах регулярной последовательности.

Плоскостность

Тензорное произведение является еще одним не-точным функтором значения в контексте коммутативных колец: для общего R - модуль M , функтор

M ⊗ _R -

только право точное. Если это точно, M называется плоским . Если R локально, любой конечно представленный плоский модуль не имеет конечного ранга, а значит, проективен. Несмотря на определение в терминах гомологической алгебры, плоскостность имеет глубокие геометрические последствия. Например, если R -алгебра S плоская, размеры слоев

S / pS = S ⊗ _R R / p

(для простых идеалов p в R ) имеют «ожидаемую» размерность, а именно dim S - dim R + dim ( R / p ).

Характеристики

По теореме Веддерберна каждое конечное тело коммутативно и, следовательно, является конечным полем . Другим условием обеспечения коммутативности кольца, из - за Jacobson , заключается в следующем: для каждого элемента г из R существует целое число п > 1 такое , что т ^п = г . Если r ² = r для любого r , кольцо называется булевым кольцом . Известны и более общие условия, гарантирующие коммутативность кольца.

Обобщения

Градуированно-коммутативные кольца

Пара штанов является кобордизмом между окружностью и два непересекающихся окружностями. Классы кобордизмов с декартовым произведением в качестве умножения и непересекающимся объединением в качестве суммы образуют кольцо кобордизмов .

Градуированное кольцо R = ⨁ _{я ε Z} R _я называется градуированным коммутативным , если

ab = (−1) ^{deg a ⋅ deg b .}

Если R _i соединены дифференциалами ∂ такими, что выполняется абстрактная форма правила произведения , т. Е.

∂ ( ab ) = ∂ ( a ) b + (−1) ^{deg a} ∂ ( b ),

R называется коммутативной дифференциальной градуированной алгеброй (CDGA). Примером может служить комплекс дифференциальных форм на многообразии с умножением, заданным внешним произведением , - это cdga. Когомологии cdga - это градуированно-коммутативное кольцо, иногда называемое кольцом когомологий . Таким образом, возникает широкий спектр примеров градуированных колец. Например, кольцо Лазара - это кольцо классов кобордизмов комплексных многообразий.

Градуированно-коммутативное кольцо относительно градуировки по Z / 2 (в отличие от Z ) называется супералгеброй .

Связанное с этим понятием является почти коммутативным кольцом , что означает , что R является фильтрует таким образом , что соответствующее градуированное кольцо

гр R : = ⨁ F _i R / ⨁ F _{i −1} R

коммутативен. Примером может служить алгебра Вейля и более общие кольца дифференциальных операторов .

Симплициальные коммутативные кольца

Симплициальное коммутативное кольцо является симплициальным объектом в категории коммутативных колец. Они являются строительными блоками для (соединительной) производной алгебраической геометрии . Близко родственное, но более общее понятие - понятие E _∞ -кольца .

Смотрите также

Почти кольцо , некоторое обобщение коммутативного кольца.
Делимость (теория колец) : нильпотентный элемент , пример: двойственные числа
Идеалы и модули: радикал идеала , эквивалентность Морита
Кольцевые гомоморфизмы: интегральный элемент : теорема Кэли-Гамильтона , целозамкнутая область , Крулл кольцо , теорема Крулля-Акизуки
Простые числа: лемма об избежании простых чисел , радикал Джекобсона , нильрадикал кольца , спектр: компактное пространство , связное кольцо , дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами , теорема Банаха – Стоуна
Локальные кольца: кольцо Горенштейна : двойственность (математика) , Эбен Матлис ; Дуализирующий модуль , теорема Попеску , аппроксимационная теорема Артина .
«Приложения» (коммутативные кольца, возникающие в математике): голоморфные функции , алгебраическая K-теория , топологическая K-теория , структуры с разделенными степенями , векторы Витта , алгебра Гекке , кольца периодов Фонтейна , кластерная алгебра , алгебра сверток (коммутативной группы), см. также алгебру Фреше

Заметки

^ Это понятие может быть связано со спектром линейного оператора, см. Спектр C * -алгебры и представление Гельфанда .

Цитаты

↑ Мацумура (1989 , с. 143, §7, Примечания)
↑ Мацумура (1989 , §19, теорема 48)
^ Lyubeznik (1989)
^ Эйзенбуд (1995 , следствие 18.10, предложение 18.13)
^ См. Также теорему Серра – Свона .
^ Кристенсен, Стриули и Величе (2010)
^ Якобсон 1945
↑ Пинтер-Лак, 2007.

дальнейшее чтение

Атья, Майкл ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley Publishing Co.
Бальцержик, Станислав; Józefiak, Tadeusz (1989), Коммутативные кольца Нётера и Крулля , Серия Эллиса Хорвуда: Математика и ее приложения, Чичестер: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155615-7
Бальцержик, Станислав; Józefiak, Tadeusz (1989), Размерность, множественность и гомологические методы , Серия Эллиса Хорвуда: Математика и ее приложения., Чичестер: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155623-2
Каплански, Ирвинг (1974), Коммутативные кольца (пересмотренное издание), University of Chicago Press , MR 0345945
Нагата, Масаёши (1975) [1962], Местные кольца , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13 , Interscience Publishers, стр. Xiii + 234, ISBN 978-0-88275-228-0 , Руководство по ремонту 0155856
Зариски, Оскар ; Самуэль, Пьер (1958–60), Коммутативная алгебра I, II , Университетская серия по высшей математике, Принстон, Нью-Джерси: D. van Nostrand, Inc. (Перепечатано Спрингером в 1975-76 гг. Как выпуски 28-29 томов по математике.)

[1] Это понятие может быть связано со спектром линейного оператора, см. Спектр C * -алгебры и представление Гельфанда .

[2] Мацумура (1989 , с. 143, §7, Примечания)

[3] Мацумура (1989 , §19, теорема 48)

[4] Lyubeznik (1989)

[5] Эйзенбуд (1995 , следствие 18.10, предложение 18.13)

[6] См. Также теорему Серра – Свона .

[7] Кристенсен, Стриули и Величе (2010)

[8] Якобсон 1945

[9] Пинтер-Лак, 2007.

Languages

In other projects

Коммутативное кольцо - Commutative ring

Определение и первые примеры

Определение

Первые примеры

Делимость

Локализации

Идеалы и модули

Модули и идеалы

Идеалы

Главные идеальные области

Факторное кольцо

Нётерские кольца

Артинианские кольца

Спектр коммутативного кольца

Основные идеалы

Спектр

Аффинные схемы

Измерение

Гомоморфизмы колец

Конечное поколение

Местные кольца

Обычные местные кольца

Полные перекрестки

Кольца Коэна – Маколея

Построение коммутативных колец

Завершено

Гомологические понятия

Проективные модули и Ext-функторы

Плоскостность

Характеристики

Обобщения

Градуированно-коммутативные кольца

Симплициальные коммутативные кольца

Смотрите также

Заметки

Цитаты

Рекомендации

дальнейшее чтение