Дивизионное кольцо - Division ring

В алгебре , А деление кольца , также называемый перекос поле , является кольцо , в котором разделение возможно. В частности, это ненулевое кольцо, в котором каждый ненулевой элемент $a$ имеет мультипликативный обратный , то есть элемент, обычно обозначаемый $a -1$ , такой, что $a a -1 = a -1 a = 1$ . Таким образом, деление можно определить как $a / b = a b -1$ , но этого обозначения обычно избегают, так как можно иметь $a b -1 \neq b -1 a$ .

Дивизионное кольцо - это, как правило, некоммутативное кольцо . Оно коммутативно тогда и только тогда, когда это поле , и в этом случае термин «тело» используется редко, за исключением свойств телесных колец, которые верны, даже если они коммутативны, или в доказательстве того, что конкретное тело коммутативно. . Например, маленькая теорема Веддерберна утверждает, что все конечные тела являются коммутативными и, следовательно, конечными полями .

Исторически телесные кольца иногда назывались полями, а поля назывались «коммутативными полями». В некоторых языках, например во французском , слово, эквивалентное «field» («corps»), используется как для коммутативных, так и для некоммутативных случаев, а различие между этими двумя случаями проводится путем добавления квалификаторов, таких как «corps commutatif» (коммутативное поле ) или "corps gauche" (тело).

Все делительные кольца простые . То есть у них нет двустороннего идеала, кроме нулевого идеала и самого себя.

Связь с полями и линейной алгеброй

Все поля являются делительными кольцами; более интересными примерами являются некоммутативные тела. Наиболее известным примером является кольцом кватернионов H . Если мы допустим только рациональные коэффициенты вместо действительных в конструкциях кватернионов, мы получим другое тело. В общем, если R представляет собой кольцо , и S представляет собой простой модуль над R , то в силу леммы Шура , то кольцо эндоморфизмов из S является телом; каждое делительное кольцо возникает таким образом из некоторого простого модуля.

Большая часть линейной алгебры может быть сформулирована и остается правильной для модулей над телом D вместо векторных пространств над полем. При этом необходимо указать, рассматриваются ли правые или левые модули, и необходимо соблюдать осторожность при правильном различении левого и правого в формулах. Работая в координатах, элементы конечномерного правого модуля могут быть представлены векторами-столбцами, которые могут быть умножены справа на скаляры, а слева - на матрицы (представляющие линейные карты); для элементов конечномерного левого модуля должны использоваться векторы-строки, которые можно умножать слева на скаляры, а справа на матрицы. Двойник правого модуля - это левый модуль, и наоборот. Транспонирование матрицы должно рассматриваться как матрица по противоположному кольцу D ^op, чтобы правило $(AB) T = B T A T$ оставалось в силе.

Каждый модуль над телом свободен ; то есть он имеет основу, и все базы модуля имеют одинаковое количество элементов . Линейные отображения между конечномерными модулями над телом можно описать матрицами ; тот факт, что линейные отображения по определению коммутируют со скалярным умножением, наиболее удобно представить в обозначениях, написав их на противоположной стороне векторов, как скаляры. Гаусса алгоритм остается применимым. Ранг столбца матрицы - это размер правого модуля, сгенерированного столбцами, а ранг строки - это размер левого модуля, сгенерированного строками; то же доказательство, что и для случая векторного пространства, можно использовать, чтобы показать, что эти ранги одинаковы, и определить ранг матрицы.

На самом деле , обратное также верно и это дает характеристику разделения колец через их модуль категории: унитальной кольцо R является телом тогда и только тогда , когда каждый R- модуль является свободным .

Центр по телу коммутативности и поэтому поле. Следовательно, каждое тело является алгеброй с делением над своим центром. Делительные кольца можно грубо классифицировать в зависимости от того, являются ли они конечномерными или бесконечномерными над своими центрами. Первые называются центрально-конечными, а вторые - центрально-бесконечными . Конечно, каждое поле одномерно над своим центром. Кольцо гамильтоновых кватернионов образует 4-мерную алгебру над своим центром, которая изоморфна действительным числам.

Примеры

Как отмечалось выше, все поля являются делительными кольцами.
В кватернионах образуют кольцо некоммутативного деления.
Подмножество кватернионов $a + bi + cj + dk$ , таких что $a$ , $b$ , $c$ и $d$ принадлежат фиксированному подполю действительных чисел , является некоммутативным телом. Когда это подполе является полем рациональных чисел , это тело рациональных кватернионов .
Позвольте быть автоморфизм поля . Позвольте обозначить кольцо формальных рядов Лорана с комплексными коэффициентами, в котором умножение определяется следующим образом: вместо того, чтобы просто позволить коэффициентам коммутировать непосредственно с неопределенными , для , определить для каждого индекса . Если - нетривиальный автоморфизм комплексных чисел (например, сопряжение ), то результирующее кольцо рядов Лорана является строго некоммутативным телом, известным как кольцо косых рядов Лорана ; если $σ$ $=$ $id,$ то в нем предусмотрено стандартное умножение формальных рядов . Эта концепция может быть обобщена на кольцо рядов Лорана над любой фиксированной областью , учитывая нетривиальный -автоморфизм . ${\ Displaystyle \ sigma: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ((г, \ sigma))}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ Displaystyle \ альфа \ в \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle г ^ {я} \ альфа: = \ сигма ^ {я} (\ альфа) г ^ {я}}$ ${\ Displaystyle я \ в \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

Основные теоремы

Маленькая теорема Веддерберна : все конечные тела коммутативны и, следовательно, конечны . ( Эрнст Витт дал простое доказательство.)

Теорема Фробениуса : единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над действительными числами являются сами числа , комплексные числа и кватернионы .

Связанные понятия

Кольца деления раньше назывались «полями». Во многих языках слово, означающее «тело», используется для делительных колец, в некоторых языках обозначает коммутативные или некоммутативные делительные кольца, в то время как в других специально обозначает коммутативные делительные кольца (то, что мы теперь называем полями на английском языке). Более полное сравнение можно найти в статье о полях .

Имя "Skew field" имеет интересную семантическую особенность: модификатор (здесь "skew") расширяет область действия базового термина (здесь "field"). Таким образом, поле - это особый тип тела, и не все тела являются полями.

В то время как рассматриваемые здесь тела и алгебры предполагают ассоциативное умножение, неассоциативные алгебры с делением, такие как октонионы , также представляют интерес.

Ближнее поле - это алгебраическая структура, подобная телу, за исключением того, что она имеет только один из двух законов распределения .

Заметки

^ В этой статье кольца имеют цифру 1.
^ 1948, кольца и идеалы. Нортгемптон, Массачусетс, Математическая ассоциация Америки
↑ Артин, Эмиль, 1965: Сборник статей. Под редакцией Сержа Лэнга, Джона Т. Тейта. Нью-Йорк и др .: Springer
^ Брауэра, Ричард, 1932: Über умереть algebraische Struktur фон Schiefkörpern. Journal für die reine und angewandte Mathematik 166.4, 103–252
^ В пределах англоязычной области термины «тело» и «sfield» были упомянуты в 1948 году Нилом Маккой как «иногда используемые в литературе», а с 1965 года термин «skewfield» внесен в OED . Немецкий термин Schiefkörper задокументирован, по предложению vd Waerden , в тексте Э. Артина 1927 г. и использовался Э. Нётер в качестве названия лекции в 1928 г.
^ Лам (2001), Лемма Шура , стр. 33, в Google Книгах .
^ Grillet, Пьер Антуан. Абстрактная алгебра. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007; доказательство можно найти здесь
^ Простые коммутативные кольца - это поля. См. Лам (2001), простые коммутативные кольца , стр. 39, в Google Книги и упражнение 3.4 , стр. 45, в Google Книгах .
^ Лам (2001), стр. 10

Смотрите также

Личность Хуа

дальнейшее чтение

Кон, П.М. (1995). Искаженные поля. Теория общих делительных колец . Энциклопедия математики и ее приложений. 57 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-43217-0 . Zbl 0840.16001 .

Внешние ссылки

[1] В этой статье кольца имеют цифру 1.

[2] 1948, кольца и идеалы. Нортгемптон, Массачусетс, Математическая ассоциация Америки

[3] Артин, Эмиль, 1965: Сборник статей. Под редакцией Сержа Лэнга, Джона Т. Тейта. Нью-Йорк и др .: Springer

[4] Брауэра, Ричард, 1932: Über умереть algebraische Struktur фон Schiefkörpern. Journal für die reine und angewandte Mathematik 166.4, 103–252

[5] В пределах англоязычной области термины «тело» и «sfield» были упомянуты в 1948 году Нилом Маккой как «иногда используемые в литературе», а с 1965 года термин «skewfield» внесен в OED . Немецкий термин Schiefkörper задокументирован, по предложению vd Waerden , в тексте Э. Артина 1927 г. и использовался Э. Нётер в качестве названия лекции в 1928 г.

[6] Лам (2001), Лемма Шура , стр. 33, в Google Книгах .

[7] Grillet, Пьер Антуан. Абстрактная алгебра. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007; доказательство можно найти здесь

[8] Простые коммутативные кольца - это поля. См. Лам (2001), простые коммутативные кольца , стр. 39, в Google Книги и упражнение 3.4 , стр. 45, в Google Книгах .

[9] Лам (2001), стр. 10

Languages

In other projects