Дробный идеал - Fractional ideal

В математике , в частности в коммутативной алгебре , понятие дробного идеала вводится в контексте областей целостности и особенно плодотворно при изучении дедекиндовских областей . В некотором смысле дробные идеалы области целостности подобны идеалам, в которых разрешены знаменатели . В контекстах, где обсуждаются как дробные идеалы, так и обычные кольцевые идеалы , последние иногда для ясности называют интегральными идеалами .

Определение и основные результаты

Позвольте быть областью целостности , и пусть быть ее полем дробей . ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle K = {\ text {Quot}} (R)}$

Дробный идеал из это - подмодуль из таких , что существует ненулевая такое , что . Элемент можно рассматривать как очищающий знаменатели , отсюда и название дробный идеал. ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle r \ in R}$ ${\ displaystyle rI \ substeq R}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle I}$

В главные дробные идеалы являются те , - подмодули из порождается одним ненулевым элементом . Дробный идеал содержится в том и только в том случае, если он является («интегральным») идеалом в . ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R}$

Дробный идеал называется обратимым, если существует другой дробный идеал такой, что ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle J}$

${\ displaystyle IJ = R}$

где

${\ displaystyle IJ = \ {a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2} + \ cdots + a_ {n} b_ {n}: a_ {i} \ in I, b_ {j} \ в J, n \ in \ mathbb {Z} _ {n> 0} \}}$

называется произведением двух дробных идеалов).

В этом случае дробный идеал определяется однозначно и равен обобщенному идеальному частному ${\ displaystyle J}$

{\ Displaystyle (R: _ {K} I) = \ {x \ in K: xI \ substeq R \}.}

Множество обратимых дробных идеалов образуют абелеву группу по отношению к указанному выше произведению, где тождество является самим единичным идеалом . Эта группа называется группой дробных идеалов в . Главные дробные идеалы образуют подгруппу. (Ненулевой) дробный идеал обратим тогда и только тогда, когда он проективен как -модуль. Геометрически это означает, что обратимый дробный идеал можно интерпретировать как векторные расслоения ранга 1 над аффинной схемой . ${\ Displaystyle (1) = R}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle {\ text {Spec}} (R)}$

Каждый конечно порожденный R -подмодуль модуля K является дробным идеалом, и если он нётеров , то все это дробные идеалы модуля . ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R}$

Дедекиндовские домены

В дедекиндовских доменах ситуация намного проще. В частности, любой ненулевой дробный идеал обратим. Собственно, это свойство характеризует дедекиндовские домены :

Область целостности является дедекиндово доменом , если, и только если, каждый ненулевой дробный идеал обратим.

Множество дробных идеалов над дедекиндовым области обозначается . ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle {\ text {Div}} (R)}$

Его фактор-группа дробных идеалов по подгруппе главных дробных идеалов является важным инвариантом дедекиндовской области, называемой группой классов идеалов .

Числовые поля

Для специального случая числовых полей (например ) есть присоединенное кольцо , обозначаемые называется кольцом целых чисел от . Например, для квадратных и равных . Ключевым свойством этих колец является то, что они являются дедекиндовскими доменами . Следовательно, теория дробных идеалов может быть описана для колец целых чисел числовых полей. Фактически теория полей классов - это изучение таких групп колец классов. ${\ displaystyle K}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (\ zeta _ {п})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})} = \ mathbb {Z} [{\ sqrt {d}}]}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle 2,3 {\ text {}} ({\ text {mod}} 4)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$

Связанные структуры

Для кольца целых чисел ^{pg 2} числового поля группа дробных идеалов образует обозначенную группу и обозначенную подгруппу главных дробных идеалов . Группа классов идеалов - это группа дробных идеалов по модулю главных дробных идеалов, поэтому ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {K}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {K}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {K}: = {\ mathcal {I}} _ {K} / {\ mathcal {P}} _ {K}}$

а его номер класса - это порядок группы . В некотором смысле, номер класса является мерой того, насколько «далеко» кольцо целых чисел от того, чтобы быть уникальной областью факторизации . Это потому, что если и только если это UFD. ${\ displaystyle h_ {K}}$ ${\ displaystyle h_ {K} = | {\ mathcal {C}} _ {K} |}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ displaystyle h_ {K} = 1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$

Точная последовательность для идеальных групп классов

Есть точная последовательность

{\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {O}} _ {K} ^ {*} \ to K ^ {*} \ to {\ mathcal {I}} _ {K} \ to {\ mathcal {C}} _ {K} \ to 0}

связанный с каждым числовым полем .

Структурная теорема для дробных идеалов

Одна из важных структурных теорем для дробных идеалов числового поля утверждает, что каждый дробный идеал разлагается однозначно с точностью до порядка как ${\ displaystyle I}$

{\ displaystyle I = ({\ mathfrak {p}} _ {1} \ ldots {\ mathfrak {p}} _ {n}) ({\ mathfrak {q}} _ {1} \ ldots {\ mathfrak {q }} _ {м}) ^ {- 1}}

за главные идеалы

{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}, {\ mathfrak {q}} _ {j} \ in {\ text {Spec}} ({\ mathcal {O}} _ {K})}

.

в спектре от . Например, ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$

{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {2} {5}} {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {Q} (я)}}

факторы как

{\ Displaystyle (1 + я) (1-я) ((1 + 2i) (1-2i)) ^ {- 1}}

Кроме того, поскольку дробные идеалы над числовым полем конечно порождены, мы можем очистить знаменатели , умножив их на некоторые, чтобы получить идеал . Следовательно ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle J}$

${\ displaystyle I = {\ frac {1} {\ alpha}} J}$

Другая полезная структурная теорема состоит в том, что целые дробные идеалы порождаются максимум двумя элементами. Мы называем дробным идеалом подмножество интеграла. ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$

Примеры

${\ displaystyle {\ frac {5} {4}} \ mathbb {Z}}$ является дробным идеалом над ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
Для идеального разделения в виде ${\ Displaystyle К = \ mathbb {Q} (я)}$ ${\ displaystyle (5)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {Q} (я)} = \ mathbb {Z} [я]}$ ${\ Displaystyle (2-я) (2 + я)}$