Двоичная операция -Binary operation

Бинарная операция — это правило объединения аргументов x и y для получения

В математике бинарная операция или диадическая операция — это правило объединения двух элементов (называемых операндами ) для получения другого элемента. Более формально бинарная операция — это операция арности два .

В частности, бинарная операция над набором — это операция, два домена которой и кодовый домен являются одним и тем же набором. Примеры включают знакомые арифметические операции сложения , вычитания и умножения . Другие примеры легко найти в различных областях математики, таких как сложение векторов , умножение матриц и сопряжение в группах .

Операцию арности два, включающую несколько множеств, иногда также называют бинарной операцией . Например, скалярное умножение векторных пространств требует скаляра и вектора для получения вектора, а скалярное произведение требует двух векторов для получения скаляра. Такие бинарные операции можно назвать просто бинарными функциями .

Бинарные операции являются краеугольным камнем большинства алгебраических структур , изучаемых в алгебре , в частности, в полугруппах , моноидах , группах , кольцах , полях и векторных пространствах .

Терминология

Точнее, бинарная операция над множеством S — это отображение элементов декартова произведения S × S в S :

Поскольку результатом выполнения операции над парой элементов S снова является элемент S , операция называется закрытой (или внутренней ) бинарной операцией над S (или иногда выражается как обладающая свойством замыкания ).

Если f не функция , а частичная функция , то f называется частичной бинарной операцией . Например, деление действительных чисел является частичной двоичной операцией, потому что нельзя делить на ноль : a /0 не определено для каждого действительного числа a . И в универсальной алгебре , и в теории моделей требуется, чтобы бинарные операции были определены на всех элементах S × S.

Иногда, особенно в информатике , термин бинарная операция используется для обозначения любой бинарной функции .

Свойства и примеры

Типичными примерами двоичных операций являются сложение (+) и умножение (×) чисел и матриц , а также композиция функций на одном множестве. Например,

  • На множестве действительных чисел R f ( a , b ) = a + b является бинарной операцией, поскольку сумма двух действительных чисел является действительным числом .
  • На множестве натуральных чисел N f ( a , b ) = a + b — бинарная операция , поскольку сумма двух натуральных чисел — натуральное число. Это другая бинарная операция, чем предыдущая, поскольку наборы разные.
  • На множестве M(2, R ) матриц размера 2 × 2 с действительными элементами f ( A , B ) = A + B является бинарной операцией, поскольку сумма двух таких матриц представляет собой матрицу размера 2 × 2 .
  • На множестве M(2, R ) матриц размера 2 × 2 с действительными элементами f ( A , B ) = AB является бинарной операцией, поскольку произведение двух таких матриц представляет собой матрицу размера 2 × 2 .
  • Для данного набора C пусть S будет набором всех функций h  : CC . Определим f  : S × SS формулой f ( h 1 , h 2 )( c ) = ( h 1h 2 ) ( c ) = h 1 ( h 2 ( c )) для всех cC композиция две функции h 1 и h 2 в S . Тогда f — бинарная операция, так как композиция двух функций снова является функцией на множестве C (то есть членом S ).

Многие бинарные операции, представляющие интерес как в алгебре, так и в формальной логике, являются коммутативными , удовлетворяющими f ( a , b ) = f ( b , a ) для всех элементов a и b в S , или ассоциативными , удовлетворяющими f ( f ( a , b ), c ) знак равно ж ( а , ж ( б , c )) для всех a , b и c в S . Многие также имеют элементы идентичности и обратные элементы .

Первые три приведенных выше примера коммутативны, а все приведенные выше примеры ассоциативны.

На множестве действительных чисел R вычитание , то есть f ( a , b ) = ab , является бинарной операцией, которая не является коммутативной, поскольку, вообще говоря, abba . Это также не ассоциативно, так как, вообще говоря, a - ( b - c ) ≠ ( a - b ) - c ; например, 1 - (2 - 3) = 2 , но (1 - 2) - 3 = -4 .

На множестве натуральных чисел N бинарная операция возведения в степень , f ( a , b ) = a b , не является коммутативной, поскольку a bb a (см . Уравнение x y = y x ), а также не является ассоциативной, поскольку ж ( ж ( а , б ), c ​​) ≠ ж ( а , ж ( б , c )) . Например, при a = 2 , b = 3 и c = 2 f (2 3 , 2) = f (8,2) = 8 2 = 64 , но f (2,3 2 ) = f (2, 9) = 2 9 = 512 . Заменив множество N на множество целых чисел Z , эта бинарная операция становится частичной бинарной операцией, поскольку теперь она не определена, когда a = 0 , а b — любое отрицательное целое число. Для любого набора эта операция имеет правильное тождество (которое равно 1), поскольку f ( a , 1) = a для всех a в наборе, что не является тождеством (двустороннее тождество), поскольку f (1, b ) ≠ b В основном.

Деление (/), частичная бинарная операция над множеством действительных или рациональных чисел, не является коммутативной или ассоциативной. Тетрация (↑↑) как бинарная операция над натуральными числами не является коммутативной или ассоциативной и не имеет элемента идентичности.

Обозначение

Двоичные операции часто записываются с использованием инфиксной записи , такой как a * b , a + b , a · b или (путем сопоставления без символа) ab , а не функциональной записи формы f ( a , b ) . Полномочия обычно также записываются без оператора, но со вторым аргументом в виде надстрочного индекса .

Двоичные операции иногда записываются с использованием префиксной или (чаще) постфиксной нотации, обе из которых обходятся без круглых скобок. Их также называют, соответственно, польской нотацией и обратной польской нотацией .

Пара и кортеж

Бинарная операция ab зависит от упорядоченной пары ( a, b ) и поэтому ( ab ) c (где круглые скобки здесь означают, что сначала работают с упорядоченной парой ( a , b ), а затем работают с результатом этого, используя упорядоченные пара (( ab ), c )) зависит, вообще говоря, от упорядоченной пары (( a , b ), c ). Таким образом, для общего неассоциативного случая бинарные операции могут быть представлены бинарными деревьями .

Однако:

  • Если операция ассоциативна, ( ab ) c = a ( bc ), то значение ( ab ) c зависит только от кортежа ( a , b , c ).
  • Если операция коммутативна, ab = ba , то значение ( ab ) c зависит только от {{ a , b }, c }, где фигурные скобки обозначают мультимножества .
  • Если операция является одновременно ассоциативной и коммутативной, то значение ( ab ) c зависит только от мультимножества { a , b , c }.
  • Если операция ассоциативна, коммутативна и идемпотентна , aa = a , то значение ( ab ) c зависит только от множества { a , b , c }.

Бинарные операции как тернарные отношения

Бинарную операцию f на множестве S можно рассматривать как тернарное отношение на S , то есть множество троек ( a , b , f ( a,b )) в S × S × S для всех a и b в S .

Внешние бинарные операции

Внешняя бинарная операция — это бинарная функция от K × S до S . Это отличается от бинарной операции над множеством в том смысле, что K не обязательно должно быть S ; его элементы приходят извне .

Примером внешней бинарной операции является скалярное умножение в линейной алгебре . Здесь Kполе , а Sвекторное пространство над этим полем.

Некоторые внешние бинарные операции можно также рассматривать как действие K на S . Это требует существования ассоциативного умножения в K и правила совместности вида где и (здесь и внешняя операция, и умножение в K обозначаются сопоставлением).

Скалярное произведение двух векторов отображает S × S в K , где K — поле, а S — векторное пространство над K . Это зависит от авторов, считается ли это бинарной операцией.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

  • Фрейли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли, ISBN 0-201-01984-1
  • Холл-младший, Маршалл (1959), Теория групп , Нью-Йорк: Macmillan
  • Харди, Дарел В.; Уокер, Кэрол Л. (2002), Прикладная алгебра: коды, шифры и дискретные алгоритмы , Аппер-Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Прентис-Холл, ISBN 0-13-067464-8
  • Ротман, Джозеф Дж. (1973), Теория групп: введение (2-е изд.), Бостон: Аллин и Бэкон

внешние ссылки