Integer - Integer


Из Википедии, свободной энциклопедии

Целое число (от латинского целого числа означает «целое») представляет собой число , которое может быть записано без дробного компонента . Так , например, 21, 4, 0 и -2048 представляют собой целые числа, в то время как 9,75, 5 1 / 2  и  2 не являются.

Множество целых чисел состоит из нуля ( 0 ), положительные натуральные числа ( 1 , 2 , 3 , ...), которые также называются целых чисел или подсчет числа , и их аддитивных обратныхотрицательных целых числах , то есть, -1 , -2, -3, ...). Множество целых чисел часто обозначаются полужирным Z ( « Z ») или ажурным полужирным ( Unicode U + 2124) ℤ положения для немецкого слова ZAHLEN ([Tsaːlən] , "номера").

Z представляет собой подмножество множества всех рациональных чисел Q , в свою очередьподмножество реального чисел R . Как натуральных числа, Z является счетным .

Целые числа образуют самую маленькую группу и наименьшее кольцо , содержащее натуральные числа . В теории алгебраических чисел , целые числа иногда квалифицируются как рациональные числа , чтобы отличать их от более общих алгебраических чисел . В самом деле, (рациональные) числа являются целыми алгебраическими, которые также являются рациональными числами .

Условное обозначение

Символ Z может быть аннотированный для обозначения различных наборов, с различными использования среди разных авторов: Z + , Z + или Z > для положительных целых чисел, Z для неотрицательных целых чисел, Z для ненулевых целых чисел. Некоторые авторы используют Z * для ненулевых целых чисел, другие используют его для неотрицательных целых чисел, или {-1, 1} . Кроме того, Z р используется для обозначения либо множества целых чисел по модулю р , то есть набор классов конгруэнтных целых чисел, или множеству р -адических чисел .

Алгебраические свойства

Целые можно рассматривать как дискретные, равномерно распределенных точек на бесконечно длинной числовой прямой . В приведенном выше описании , не- отрицательные целые числа представлены в пурпурных и отрицательных чисел в красном цвете.

Подобно натуральных чисел , Z является закрытым под операции сложения и умножения , то есть, сумма и произведение любых двух целых чисел является целым числом. Тем не менее, с включением отрицательных натуральных чисел, и, главное,  0 , Z ( в отличие от натуральных чисел) также замкнуто относительно вычитания . Числа образуют унитальное кольцо , которое является самым базовым, в следующем смысле: для любого унитального кольца, существует единственный кольцевой гомоморфизм из целых чисел в это кольцо. Это универсальное свойство , а именно , чтобы быть исходный объект в категории колец , характеризует кольцо  Z .

Z не замкнуто относительно деления , такчастное от деления двух целых чисел (например, 1деленное на 2), не должно быть целым числом. Несмотрячто натуральные числа закрыты под экспоненциацией , целые числа не являются (так как результат может быть дробнымкогда показатель является отрицательным).

Ниже перечислены некоторые из основных свойств сложения и умножения для любого целого , б и гр .

Свойства сложения и умножения на целых
прибавление умножение
Закрытие : + Ь  является целым числом × Ь  является целым числом
Ассоциативность : + ( Ь + с ) = ( + б ) + с × ( б × C ) = ( × б ) × C
коммутативности : + Ь = Ь + × Ь = Ь ×
Существование элемента идентичности : + 0 = × 1 =
Существование обратных элементов : + (- ) = 0 Только обратимые целые рациональные ( так называемые единицы) являются -1 и  1 .
Дистрибутивность : × ( Ь + с ) = ( × б ) + ( × с )  и ( + б ) × C = ( × с ) + ( б × с ) 
Нет делители нуля : Если × Ь = 0 , то = 0 или Ь = 0 (или оба)

На языке абстрактной алгебры , первые пять свойств , перечисленных выше , для того сказать , что Z относительно сложения является абелевой группой . Это также является циклической группой , поскольку каждая ненулевая целое число может быть записано в виде конечной суммы 1 + 1 + ... + 1 или (-1) + (-1) + ... + (-1) . На самом деле, Z при добавлении является только бесконечной циклической группой, в том смысле , что любая бесконечная циклическая группа изоморфна к Z .

Первые четыре перечисленные выше свойства умножения говорят , что Z при умножении является коммутативной Моноид . Однако, не каждое целое число имеет мультипликативный обратный; например, не существует целое число х такое , что 2 х = 1, потому что левая сторона даже, в то время как правая сторона является нечетным. Это означает , что Z при умножении не является группой.

Все правила из приведенных выше таблиц свойств, за исключением последнего, вместе взятые говорят , что Z вместе с сложением и умножением является коммутативным кольцом с единицей . Это прототип всех объектов такой алгебраической структуры . Только эти равенства из выражения истинны в  Z для всех значений переменных, которые являются истинными в любом унитальном коммутативном кольце. Обратите внимание , что некоторые ненулевые целые числа на карте до нуля в некоторых кольцах.

Отсутствие делителей нуля в целых числах (последнее свойство в таблице) означает , что коммутативное кольцо  Z представляет собой область целостности .

Отсутствие мультипликативных инверсий, что эквивалентно тому , что Z не замкнуто относительно деления, означает , что Z является не полем . Наименьшее поле , содержащее целые числа как подкольцу является полем рациональных чисел . Процесс построения рациональных чисел из целых чисел можно имитировать , чтобы сформировать поле частных любой области целостности. И снова, начиная от поля алгебраических чисел (расширение рациональных чисел), то его кольцо целых чисел может быть извлечено, который включает в себя Z в качестве подкольца .

Хотя обычное разделение не определено на Z , деление «с остатком» определяется на них. Это называется евклидово деление и обладает следующим важным свойством: то есть, дано два целых числа и Ь с Ь ≠ 0 , то существуют целые числа уникальными д и т таким образом, что = д × б + г и 0 ≤ г <| б  | , Где | б  | обозначает абсолютное значение в б . Целое число д называется частным и г называется остатком от деления по б . Алгоритм Евклида для вычисления наибольшего общего делителя работает последовательностью евклидовых подразделений.

Опять же , на языке абстрактной алгебры, выше говорит , что Z является евклидовым домен . Это означает , что Z является областью главных идеалов и любое целое положительное число можно записать в виде произведения простых чисел , по существу , уникальным способом. Это основная теорема арифметики .

Заказать теоретико-свойства

Z представляет собой полностью упорядоченный набор без верхней или нижней границы. Упорядочение Z определяется по формуле: : ... -3 <-2 <-1 <0 <1 <2 <3 <... Целое число является положительным , если оно больше нуля и отрицательной , если она меньше нуля. Нулевой определяется как ни отрицательнымни положительным.

Упорядочение чисел совместим с алгебраическими операциями следующим образом:

  1. если < Ь и с < d , то + с < Ь + д
  2. если в < Ь и 0 < гр , то ас < до н .

Отсюда следует , что Z вместе с указанным выше упорядочением является упорядоченным кольцом .

Целые являются единственным нетривиальным вполне упорядоченная абелева группа, положительный элементы упорядоченная . Это эквивалентно утверждению , что любое нётерово кольцо нормирования является либо поле или кольцо дискретного нормирования .

строительство

Представление классов эквивалентности для чисел от -5 до 5
Красные точки представляют собой упорядоченные пары натуральных чисел . Linked красные точки эквивалентности классов , представляющих синие целые числа в конце строки.

В начальной школе преподавания, целые числа часто интуитивно определяется как (положительных) натуральных чисел, ноль и отрицаний натуральных чисел. Тем не менее, этот стиль определения приводит к различным делам (каждая арифметическая операция должна быть определена на каждой комбинации типов целого) и делает его утомительным , чтобы доказать , что эти операции подчиняются законам арифметики. Поэтому в современных теоретико-множественной математике более абстрактная конструкция, которая позволяет определить арифметические операции без каких - либо случае различий, часто используется вместо этого. Эти целые числа , таким образом , могут быть формально построены как классы эквивалентности из упорядоченных пар из натуральных чисел ( , б ) .

Интуиции в том , что ( , б ) означает результат вычитания Ь из . Для того, чтобы подтвердить наши ожидания , что 1 - 2 и 4 - 5 обозначают то же самое число, определит отношение эквивалентности ~ на эти пары со следующим правилом:

именно тогда, когда

Сложение и умножение целых чисел могут быть определены в терминах эквивалентных операций на множество натуральных чисел; обозначив через [( , б )] класс эквивалентности , имеющий ( , б ) в качестве члена, один имеет:

Отрицание (или обратная добавка) целое число получается путем изменения порядка пару:

Следовательно, вычитание может быть определена как добавление добавки обратного:

Стандартный порядок на целых определяется по формуле:

тогда и только тогда

Легко проверить, что эти определения не зависят от выбора представителей классов эквивалентности.

Каждый класс эквивалентности имеет уникальный элемент , который имеет вид ( п , 0) или (0, п ) (или оба сразу). Натуральное число п идентифицируются с классом [( п , 0)] (другими словами , натуральные числа встроенными в целые числа карты посылающего п к [( п , 0)] ), и класс [(0, п )] обозначается - п (это охватывает все остальные классы, и дает класс [(0,0)] во второй раз , так как -0 = 0.

Таким образом, [( , б )] обозначается

Если натуральные числа, обозначены соответствующими числа (с использованием упомянутым выше вложения), это соглашение не создает неоднозначности.

Это обозначение восстанавливает знакомое представление целых чисел , как {..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }.

Вот некоторые примеры:

В теоретической информатике, другие подходы к построению чисел используются автоматизированные доказательства теорем и срок перезаписи двигателей . Целые представлены как алгебраические термины построены с использованием нескольких базовых операций (такие как ноль , Succ , Pred и т.д.) и, возможно, с использованием натуральных чисел , которые предполагаются уже построено (например, с использованием подхода Пеана).

Там существует, по крайней мере десять таких конструкций целых чисел. Эти конструкции отличаются несколькими способами: число основных операций, используемых для строительства, число (обычно, от 0 до 2), а также типы аргументов, принимаемых этими операциями; наличие или отсутствие натуральных чисел в качестве аргументов некоторых из этих операций, а также тот факт, что эти операции являются свободными конструкторы или нет, то есть, что то же самое число может быть представлено с использованием только одного или многих алгебраических терминах.

Методика построения целых чисел , представленное выше в данном разделе , соответствует конкретному случаю , когда существует одна базовая операция пара , которая принимает в качестве аргументов два натуральных чисел и , и возвращает целое число (равное ). Эта операция не является свободной , так как целое число 0 , может быть записана парой (0,0), или пары (1,1), или пары (2,2) и т.д. Этот метод строительства используется доказательство помощника Isabelle ; Однако, многие другие инструменты используют альтернативные методы строительства, примечательно тем , основанное на свободные конструкторы, которые проще и может быть реализованы более эффективно в компьютерах.

Информатика

Целое часто примитивный тип данных в языках программирования . Однако, целые типы данных могут представлять только подмножество всех целых чисел, так как практические компьютеры конечной емкости. Кроме того , в совместном дополнительном двоичном представлении, присущее определение знака различает «негативный» и «неотрицательное» , а не «отрицательный, положительный, и 0». (Это, однако, конечно , возможно , для компьютера , чтобы определить , является ли целое значение действительно положительным.) Типы фиксированной длиной целого приближения данных (или подмножество) обозначает Int или Integer на несколько языках программирования (например, Algol68 , C , Java , Delphi и т.д.).

Переменная длина представление целых чисел, такие как bignums , может хранить любое целое число , которое помещается в памяти компьютера. Другие типы целочисленных данных реализованы с фиксированным размером, как правило, числом бит , которое является степенью 2 (4, 8, 16 и т.д.) или памятным числом десятичных цифр (например, 9 или 10).

мощность

Мощность множества целых чисел равно 0 ( алеф-нуль ). Это легко демонстрируется строительство биекции , то есть функции , которая является инъективным и сюръективным от Z до N . Если N = {0, 1, 2, ...} Затем рассмотрим функцию:

{... (-4,8) (-3,6) (-2,4) (-1,2) (0,0) (1,1) (2,3) (3,5) ...}

Если N = {1, 2, 3, ...} Затем рассмотрим функцию:

{... (-4,8) (-3,6) (-2,4) (-1,2) (0,1) (1,3) (2,5) (3,7) ...}

Если домен ограничен Z , то каждый член Z имеет один и только один соответствующий член N и по определению кардинального равенства два множества имеют одинаковую мощность.

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

источники

внешняя ссылка

Эта статья содержит материал из Integer на PlanetMath , который под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .