Целое число - Integer

Целое число (от латинского integer, означающего «целое») в разговорной речи определяется как число, которое может быть записано без дробной части . Например, 21, 4, 0 и -2048 - целые числа, а 9,75, 5.+1/2, а  2 - нет.

Множество целых чисел состоит из нуля ( 0 ), положительных натуральных чисел ( 1 , 2 , 3 , ...), которые также называются целыми числами или цифры подсчета , и их аддитивные обратными (то отрицательные целые числа , то есть, -1 , - 2, −3, ...). Набор целых чисел часто обозначается полужирным шрифтом ( Z ) или полужирной буквой «Z» на доске - первоначально обозначенной немецким словом Zahlen («числа»).

является подмножеством множества всех рациональных чисел , которое, в свою очередь, является подмножеством действительных чисел . Как и натуральных числа, является счетным .

Целые числа образуют наименьшую группу и наименьшее кольцо, содержащее натуральные числа . В алгебраической теории чисел целые числа иногда квалифицируются как рациональные целые числа, чтобы отличать их от более общих алгебраических целых чисел . Фактически, (рациональные) целые числа - это целые алгебраические числа, которые также являются рациональными числами .

Символ

Символ может быть аннотированным для обозначения различных наборов, с различными использования среди различных авторов: , или для положительных целых чисел, или для неотрицательных целых чисел, а для ненулевых целых чисел. Некоторые авторы используют его для ненулевых целых чисел, в то время как другие используют его для неотрицательных целых чисел или для {–1, 1} . Кроме того, используется для обозначения либо набора целых чисел по модулю p (т. Е. Набора классов сравнения целых чисел), либо набора p -адических целых чисел .

Алгебраические свойства

Целые числа можно рассматривать как дискретные, равноотстоящие точки на бесконечно длинной числовой прямой . В приведенном выше примере неотрицательные целые числа показаны синим, а отрицательные - красным.

Как и натуральные числа , он замкнут относительно операций сложения и умножения , то есть сумма и произведение любых двух целых чисел является целым числом. Однако с включением отрицательных натуральных чисел (и, что немаловажно,  0 ) , в отличие от натуральных чисел, также закрывается при вычитании .

Целые числа образуют кольцо с единицей, которое является самым основным в следующем смысле: для любого кольца с единицей существует единственный кольцевой гомоморфизм целых чисел в это кольцо. Это универсальное свойство - быть исходным объектом в категории колец - характеризует кольцо  .

не закрывается при делении , поскольку частное двух целых чисел (например, 1, деленное на 2) не обязательно должно быть целым числом. Хотя натуральные числа замкнуты при возведении в степень , целые - нет (поскольку результат может быть дробью при отрицательном показателе степени).

В следующей таблице перечислены некоторые из основных свойств сложения и умножения для любых целых чисел a , b и c :

Свойства сложения и умножения целых чисел
Добавление Умножение
Закрытие : a + b  - целое число a × b  - целое число
Ассоциативность : а + ( Ь + с ) = ( а + Ь ) + с а × ( б × в ) = ( а × б ) × в
Коммутативность : а + Ь = Ь + а а × Ь = Ь × а
Наличие элемента идентичности : а + 0 = а а × 1 = а
Наличие обратных элементов : а + (- а ) = 0 Единственные обратимые целые числа (называемые единицами ) - это -1 и  1 .
Распределительность : a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )  и ( a + b ) × c = ( a × c ) + ( b × c ) 
Без делителей нуля : Если a × b = 0 , то a = 0 или b = 0 (или оба)

Первые пять свойств, перечисленных выше для сложения, говорят о том , что при добавлении является абелевой группой . Это также циклическая группа , поскольку любое целое число, отличное от нуля, можно записать как конечную сумму 1 + 1 + ... + 1 или (−1) + (−1) + ... + (−1) . В самом деле, при добавлении является только бесконечная циклическая группа, в том смысле , что любая бесконечная циклическая группа изоморфна с .

Первые четыре свойства, перечисленные выше для умножения, говорят, что при умножении является коммутативным моноидом . Однако не каждое целое число имеет обратное умножение (как в случае числа 2), что означает, что умножение не является группой.

Все правила из приведенной выше таблицы свойств (кроме последнего), взятые вместе, говорят, что вместе со сложением и умножением образуется коммутативное кольцо с единицей . Это прототип всех объектов такой алгебраической структуры . Только эти равенства из выражения истинны в  для всех значений переменных, которые являются истинными в любом унитальном коммутативном кольце. Некоторые ненулевые целые числа отображаются в ноль в определенных кольцах.

Отсутствие делителей нуля в целых числах (последнее свойство в таблице) означает, что коммутативное кольцо  является областью целостности .

Отсутствие мультипликативных инверсий, что эквивалентно тому , что не закрыт при разделении, означает , что это не поле . Наименьшее поле, содержащее целые числа в качестве подкольца, - это поле рациональных чисел . Процесс построения рациональных чисел из целых чисел можно имитировать, чтобы сформировать поле дробей любой области целостности. И обратно, начиная с поля алгебраических чисел (расширение рациональных чисел), можно извлечь его кольцо целых чисел , которое включает в себя его подкольцо .

Хотя обычное деление на них не определено, на них определено деление «с остатком». Это называется евклидовым делением и обладает следующим важным свойством: для двух целых чисел a и b с b ≠ 0 существуют уникальные целые числа q и r такие, что a = q × b + r и 0 ≤ r <| б | , где | б | обозначает абсолютное значение в б . Целое число q называется частным, а r - остатком от деления a на b . Алгоритм Евклида для вычисления наибольших общих делителей работ последовательностью евклидовых делений.

Вышесказанное говорит, что это евклидова область . Это означает, что это область главных идеалов , и любое положительное целое число может быть записано как произведение простых чисел по существу уникальным способом. Это основная теорема арифметики .

Теоретико-порядковые свойства

является полностью упорядоченным множеством без верхней или нижней границы . Порядок определяется следующим образом: ... −3 <−2 <−1 <0 <1 <2 <3 <... Целое число является положительным, если оно больше нуля , и отрицательным, если оно меньше нуля. . Ноль не определяется ни отрицательным, ни положительным.

Порядок целых чисел совместим с алгебраическими операциями следующим образом:

  1. если a < b и c < d , то a + c < b + d
  2. если a < b и 0 < c , то ac < bc .

Отсюда следует, что вместе с указанным выше порядком это упорядоченное кольцо .

Целые числа - единственная нетривиальная вполне упорядоченная абелева группа , положительные элементы которой хорошо упорядочены . Это эквивалентно утверждению, что любое нётерово оценочное кольцо является либо полем, либо дискретным оценочным кольцом .

Строительство

Представление классов эквивалентности чисел от −5 до 5
Красные точки представляют собой упорядоченные пары натуральных чисел . Связанные красные точки - это классы эквивалентности, представляющие синие целые числа в конце строки.

В начальной школе целые числа часто интуитивно определяются как (положительные) натуральные числа, ноль и отрицания натуральных чисел. Однако такой стиль определения приводит к множеству различных случаев (каждая арифметическая операция должна быть определена для каждой комбинации типов целых чисел) и делает утомительным доказательство того, что целые числа подчиняются различным законам арифметики. Поэтому в современной теоретико-множественной математике вместо этого часто используется более абстрактная конструкция, позволяющая определять арифметические операции без различия регистра. Эти целые числа , таким образом , могут быть формально построены как классы эквивалентности из упорядоченных пар из натуральных чисел ( , б ) .

Интуиция подсказывает, что ( a , b ) обозначает результат вычитания b из a . Чтобы подтвердить наше ожидание, что 1-2 и 4-5 обозначают одно и то же число, мы определяем отношение эквивалентности ~ на этих парах со следующим правилом:

именно когда

Сложение и умножение целых чисел можно определить в терминах эквивалентных операций с натуральными числами; используя [( a , b )] для обозначения класса эквивалентности, имеющего ( a , b ) в качестве члена, мы получаем:

Отрицание (или аддитивное обратное) целого числа получается изменением порядка пары:

Следовательно, вычитание можно определить как добавление обратного аддитивного:

Стандартный порядок целых чисел определяется следующим образом:

если и только если

Легко проверить, что эти определения не зависят от выбора представителей классов эквивалентности.

Каждый класс эквивалентности имеет уникальный член, имеющий форму ( n , 0) или (0, n ) (или оба сразу). Натуральное число n отождествляется с классом [( n , 0)] (т. Е. Натуральные числа вкладываются в целые числа путем сопоставления, отправляющего n в [( n , 0)] ), а класс [(0, n ) ] обозначается - n (это покрывает все оставшиеся классы и дает класс [(0,0)] во второй раз, так как −0 = 0.

Таким образом, [( a , b )] обозначается через

Если натуральные числа отождествляются с соответствующими целыми числами (с использованием упомянутого выше вложения), это соглашение не создает двусмысленности.

Эта запись восстанавливает знакомое представление целых чисел как {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} .

Вот несколько примеров:

В теоретической информатике другие подходы к построению целых чисел используются автоматическими средствами доказательства теорем и механизмами перезаписи терминов . Целые числа представлены в виде алгебраических терминов, построенных с использованием нескольких основных операций (например, ноль , succ , pred ) и, возможно, с использованием натуральных чисел , которые предполагается уже построенными (например, с использованием подхода Пеано ).

Таких конструкций целых чисел со знаком существует не менее десяти. Эти конструкции различаются несколькими способами: числом основных операций, используемых для построения, числом (обычно от 0 до 2) и типами аргументов, принимаемых этими операциями; наличие или отсутствие натуральных чисел в качестве аргументов некоторых из этих операций, а также тот факт, что эти операции являются свободными конструкторами или нет, т. е. одно и то же целое число может быть представлено с использованием только одного или нескольких алгебраических терминов.

Техника построения целых чисел, представленная выше в этом разделе, соответствует частному случаю, когда есть одна пара основных операций, которая принимает в качестве аргументов два натуральных числа и , и возвращает целое число (равное ). Эта операция не является бесплатной, поскольку целое число 0 может быть записано в виде пары (0,0), пары (1,1), пары (2,2) и т. Д. Эту технику построения использует помощник по доказательству Изабель ; однако многие другие инструменты используют альтернативные методы построения, в первую очередь те, которые основаны на бесплатных конструкторах, которые проще и могут быть более эффективно реализованы на компьютерах.

Информатика

Целое число часто является примитивным типом данных в компьютерных языках . Однако целочисленные типы данных могут представлять только подмножество всех целых чисел, поскольку практические компьютеры имеют конечную мощность. Кроме того, в дополнительном представлении общих двух , внутреннее определение знака различает «отрицательный» и «неотрицательный», а не «отрицательный, положительный и 0». (Однако компьютер, безусловно, может определить, является ли целочисленное значение действительно положительным.) Типы данных (или подмножества) целочисленного приближения фиксированной длины обозначаются как int или Integer в нескольких языках программирования (таких как Algol68 , C , Java , Delphi и др.).

Представления переменной длины целых чисел, такие как bignums , могут хранить любое целое число, которое умещается в памяти компьютера. Другие целочисленные типы данных реализуются с фиксированным размером, обычно количеством битов, равным степени 2 (4, 8, 16 и т. Д.) Или запоминающимся количеством десятичных цифр (например, 9 или 10).

Мощность

Мощность множества целых чисел равно 0 ( алеф-нуль ). Это легко демонстрируется построением биекции , то есть функции, которая инъективна и сюръективна от до Такая функция может быть определена как

с графиком (набор из пар является

{... (−4,8), (−3,6), (−2,4), (−1,2), (0,0), (1,1), (2,3), (3,5), ...} .

Его обратная функция определяется как

с графиком

{(0, 0), (1, 1), (2, −1), (3, 2), (4, −2), (5, −3), ...} .

Смотрите также

Системы счисления
Сложный
Настоящий
Рациональный
Целое число
Естественный
Ноль : 0
Один : 1
простые числа
Составные числа
Отрицательные целые числа
Дробная часть
Конечная десятичная дробь
Диадический (конечный двоичный)
Повторяющаяся десятичная дробь
Иррационально
Алгебраический
Трансцендентный
Мнимый

Сноски

использованная литература

Источники

внешняя ссылка

Эта статья включает материал из Integer на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .