Нётерское кольцо - Noetherian ring

В математике , более конкретно в области абстрактной алгебры, известной как теория колец , нетерово кольцо - это кольцо, которое удовлетворяет условию возрастающей цепочки для левого и правого идеалов ; то есть для любой возрастающей последовательности левых (или правых) идеалов:

существует такое натуральное число n , что:

Кольца Нётер названы в честь Эмми Нётер .

Понятие нётерова кольца имеет фундаментальное значение как для коммутативной, так и для некоммутативной теории колец из-за той роли, которую оно играет в упрощении идеальной структуры кольца. Например, кольцо целых чисел и кольцо многочленов над полем являются Нетеровыми кольца, и , следовательно, такие теоремы , как теоремы Ласкера-Нётер , тем Krull пересечения теоремы и Гильберт основы теоремы удержание для них. Более того, если кольцо нётерово, то оно удовлетворяет условию убывающей цепи на простых идеалах . Это свойство предлагает глубокую теорию размерности нётеровых колец, начиная с понятия размерности Крулля .

Характеристики

Для некоммутативных колец необходимо различать три очень похожих понятия:

  • Кольцо называется нётеровым слева, если оно удовлетворяет условию возрастающей цепи на левых идеалах.
  • Кольцо нётерово справа, если оно удовлетворяет условию возрастающей цепи на правых идеалах.
  • Кольцо является нётеровым, если оно одновременно левого и правого нётерского.

Для коммутативных колец все три понятия совпадают, но в целом они разные. Есть кольца, которые нётеровы слева, а не справа, и наоборот.

Существуют и другие эквивалентные определения нётеровости слева кольца R :

  • Каждый левый идеал I в R является конечно порожденным , т.е. существуют элементы в I такой , что .
  • Каждый непустой набор левых идеалов R , частично упорядоченный по включению, имеет максимальный элемент .

Аналогичные результаты справедливы для нётеровых справа колец.

Следующее условие также является эквивалентным условием для нётеровости слева кольца R и является исходной формулировкой Гильберта:

  • Принимая во внимание последовательности элементов в R , существует целое число таких , что каждое является конечной линейной комбинацией с коэффициентами в R .

Для того чтобы коммутативное кольцо было нётеровым, достаточно, чтобы каждый первичный идеал кольца был конечно порождён.

Характеристики

  • Если R - нётерово кольцо, то кольцо многочленов нётерово по теореме Гильберта о базисе . По индукции - нетерово кольцо. Кроме того, R [[ X ]] , кольцо степенных рядов является нётеровым кольцом.
  • Если R - нётерово кольцо, а I - двусторонний идеал, то фактор-кольцо R / I также нётерово. Другими словами, образ любого сюръективного кольцевого гомоморфизма нётерова кольца является нётеровым.
  • Всякая конечно порожденная коммутативная алгебра над коммутативным нётеровым кольцом нётерова. (Это следует из двух предыдущих свойств.)
  • Кольцо R нётерово слева тогда и только тогда, когда каждый конечно порождённый левый R -модуль является нётеровым модулем .
  • Если коммутативное кольцо допускает точный нётеров модуль над ним, то кольцо является нётеровым кольцом.
  • ( Икин – Нагата ) Если кольцо A является подкольцом коммутативного нётерова кольца B такое, что B - конечно порождённый модуль над A , то A - нётерово кольцо.
  • Аналогичным образом , если кольцо является подкольцом коммутативного нётерова кольца B таким образом, что B является строго плоско над А (или в более общем случае имеет А в качестве чистого подкольцу ), то является нетерово кольцом (см «строго плоской» статья рассуждение).
  • Любая локализация коммутативного нётерова кольца нётерова.
  • Следствием теоремы Акизуки – Хопкинса – Левицки является то, что каждое левое артиново кольцо нётерово слева. Другое следствие состоит в том, что артиново слева кольцо нётерово справа тогда и только тогда, когда оно артиново справа. Аналогичные утверждения с заменой «правого» и «левого» также верны.
  • Левое нётерово кольцо когерентно слева, а нётерова слева область является левой областью Оре .
  • (Бас) Кольцо является (левым / правым) нётеровым тогда и только тогда, когда каждая прямая сумма инъективных (левых / правых) модулей инъективна. Каждый левый инъективный модуль над левым нетеровым модулем может быть разложен в прямую сумму неразложимых инъективных модулей.
  • В коммутативном нётеровом кольце существует лишь конечное число минимальных первичных идеалов . Также условие убывающей цепи выполняется для простых идеалов.
  • В коммутативной нётеровой области R каждый элемент может быть разложен на неприводимые элементы . Таким образом, если, кроме того, неприводимые элементы являются простыми элементами , то R - единственная область факторизации .

Примеры

Кольца, которые не являются нётерскими, обычно (в некотором смысле) очень большие. Вот несколько примеров нётеровых колец:

  • Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных, X 1 , X 2 , X 3 и т. Д. Последовательность идеалов ( X 1 ), ( X 1 , X 2 ), ( X 1 , X 2 , X 3 ) и т. Д. .. возрастает и не заканчивается.
  • Кольцо всех целых алгебраических чисел не нётерово. Например, он содержит бесконечную восходящую цепочку главных идеалов: (2), (2 1/2 ), (2 1/4 ), (2 1/8 ), ...
  • Кольцо непрерывных функций от действительных чисел к действительным числам не является нётеровым: пусть I n будет идеалом всех непрерывных функций f таких, что f ( x ) = 0 для всех xn . Последовательность идеалов I 0 , I 1 , I 2 и т. Д. Представляет собой непрерывную восходящую цепочку.
  • Кольцо стабильных гомотопических групп сфер не нётерово.

Однако нётерово кольцо может быть подкольцом нётерова кольца. Поскольку любая область целостности является подкольцом поля, любая область целостности, не являющаяся нётеровой, может служить примером. Чтобы привести менее тривиальный пример,

  • Кольцо рациональных функций, порожденных x и y / x n над полем k, является подкольцом поля k ( x , y ) только с двумя переменными.

В самом деле, есть кольца, которые являются правильными нётерскими, но не левыми нётерскими, так что нужно быть осторожным при измерении «размера» кольца таким образом. Например, если L является подгруппой Q 2 изоморфна Z , пусть R кольцо гомоморфизмов F из Q 2 к себе , удовлетворяющий п ( L ) ⊂ L . Выбирая базис, мы можем описать то же кольцо R как

Это кольцо нётерианское право, но не нётерское левое; подмножество IR, состоящее из элементов с a = 0 и γ = 0, является левым идеалом, не конечно порожденным как левый R -модуль.

Если R - коммутативное подкольцо нётерова слева кольца S и S конечно порождён как левый R -модуль, то R нётерово. (В частном случае, когда S коммутативно, это известно как теорема Икина .) Однако это неверно, если R не коммутативно: кольцо R из предыдущего абзаца является подкольцом левого нётерова кольца S = Hom ( Q 2 , Q 2 ), и S конечно порожден как левый R -модуль, но R не является нётеровым слева.

Однозначным разложением на множители не обязательно нётерово кольцо. Он удовлетворяет более слабому условию: условию возрастающей цепи для главных идеалов . Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных является примером нётеровой уникальной области факторизации.

Кольцо нормирования не нетерово , если оно не является областью главных идеалов. Он дает пример кольца, которое естественно возникает в алгебраической геометрии, но не является нётеровым.

Ключевые теоремы

Многие важные теоремы теории колец (особенно теория коммутативных колец ) основаны на предположении, что кольца нётеровы.

Коммутативный падеж

  • Над коммутативным нётеровым кольцом каждый идеал имеет примарное разложение , что означает, что он может быть записан как пересечение конечного числа первичных идеалов (все радикалы которых различны), где идеал Q называется примарным, если он собственный и если xyQ , либо xQ, либо y nQ для некоторого натурального числа n . Например, если элемент является произведением степеней различных простых элементов, то и, следовательно, первичное разложение является прямым обобщением факторизации простых чисел целых чисел и многочленов.
  • Нётерово кольцо определяется в терминах восходящих цепочек идеалов. С другой стороны, лемма Артина – Риса дает некоторую информацию о нисходящей цепочке идеалов, задаваемой степенями идеалов . Это технический инструмент, который используется для доказательства других ключевых теорем, таких как теорема Крулля о пересечении .
  • Теория размерности коммутативных колец плохо себя ведет над нётеровыми кольцами; самая фундаментальная теорема, основная теорема Крулля об идеале , уже опирается на «нётеровское» предположение. На самом деле здесь «нетерова» допущения часто бывает недостаточно, и вместо нее часто используются (нётеровы) универсальные цепные кольца , удовлетворяющие определенному предположению теории размерности. Кольца Нётерова, появляющиеся в приложениях, в основном являются универсальной цепочкой.

Некоммутативный случай

Влияние на инъективные модули

Для данного кольца существует тесная связь между поведением инъективных модулей над кольцом и тем, является ли кольцо нётеровым кольцом или нет. А именно, для кольца R следующие условия эквивалентны:

  • R - нётерово левое кольцо.
  • (Басс) Каждая прямая сумма инъективных левых R -модулей инъективна.
  • Каждый инъективный левый R -модуль представляет собой прямую сумму неразложимых инъективных модулей.
  • (Фейт – Уокер) Существует такое кардинальное число , что каждый инъективный левый модуль над R является прямой суммой -порожденных модулей (модуль является -порожденным, если он имеет порождающее множество мощности не более ).
  • Там существует левый R - модуль Н таким образом, что каждый левый R -модуль вкладывается в прямую сумму копий H .

Кольцо эндоморфизмов неразложимого инъективного модуля является локальным, и поэтому теорема Адзумая утверждает, что над нётеровым слева кольцом каждое неразложимое разложение инъективного модуля эквивалентно друг другу (вариант теоремы Крулля – Шмидта ).

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

Внешние ссылки