Делитель нуля - Zero divisor

В абстрактной алгебре , элемент из кольца R называется влево делитель нуля , если существует ненулевой х в R такой , что ах = 0 , или , что эквивалентно , если отображение из R в R , который посылает х к ах не инъективно . Аналогично элемент a кольца называется правым делителем нуля, если существует ненулевое y в R такое, что ya = 0 . Это частный случай делимости на кольца. Элемент, который является левым или правым делителем нуля, просто называется делителем нуля . Элемент  a, который является как левым, так и правым делителем нуля, называется двусторонним делителем нуля (ненулевой x такой, что ax = 0, может отличаться от ненулевого y такого, что ya = 0 ). Если кольцо коммутативно , то левый и правый делители нуля совпадают.

Элемент кольца, не являющийся левым делителем нуля, называется регулярным слева или сокращаемым слева . Точно так же элемент кольца, который не является правым делителем нуля, называется правым регулярным или правым сокращаемым . Элемент кольца , который слева и справа досрочный, и является , следовательно , не является делителем нуля, называется регулярным или сократимым , или ненулевой делитель . Дивизор нуля, который не равен нулю, называется ненулевым делителем нуля или нетривиальным делителем нуля . Ненулевое кольцо без нетривиальных делителей нуля называется областью .

Примеры

• В кольце ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 4 \ mathbb {Z}}$ класс вычетов является делителем нуля, поскольку . ${\ displaystyle {\ overline {2}}}$${\ displaystyle {\ overline {2}} \ times {\ overline {2}} = {\ overline {4}} = {\ overline {0}}}$
• Только делитель нуля кольца из целых чисел является . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle 0}$
• Нильпотентное элемент ненулевого кольца всегда двусторонний делитель нуля.
• Идемпотент кольца всегда двусторонний делитель нуля, так как . ${\ displaystyle e \ neq 1}$${\ Displaystyle е (1-е) = 0 = (1-е) е}$
• Кольцо матриц ${\ Displaystyle п \ раз п}$ над полем имеет отличные от нуля делителей нуля если таковой . Примеры делителей нуля в кольце матриц (над любым ненулевым кольцом ) показаны здесь: ${\ Displaystyle п \ geq 2}$${\ displaystyle 2 \ times 2}$

  ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ - 1 & -1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -2 & 1 \\ - 2 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}},}$

  ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix }} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$ .

• Прямое произведение двух или более ненулевых колец всегда имеет ненулевое делителей нуля. Например, в с каждым ненулевым , так является делителем нуля. ${\ Displaystyle R_ {1} \ times R_ {2}}$${\ displaystyle R_ {i}}$${\ Displaystyle (1,0) (0,1) = (0,0)}$${\ displaystyle (1,0)}$
• Позвольте быть поле и быть группой . Предположим, что у него есть элемент конечного порядка . Тогда в групповом кольце один имеет , причем ни один из множителей не равен нулю, так же как и ненулевой делитель нуля в . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle n> 1}$ ${\ displaystyle K [G]}$${\ displaystyle (1-g) (1 + g + \ cdots + g ^ {n-1}) = 1-g ^ {n} = 0}$${\ displaystyle 1-g}$${\ displaystyle K [G]}$

Односторонний делитель нуля

• Рассмотрим кольцо (формальных) матриц с и . Потом и . Если , то является левым делителем нуля тогда и только тогда, когда оно четно, так как , и оно является правым делителем нуля тогда и только тогда, когда оно четное по аналогичным причинам. Если любой из них есть , то это двусторонний делитель нуля. ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x & y \\ 0 & z \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle x, z \ in \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle у \ в \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x & y \\ 0 & z \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & c \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} xa & xb + yc \\ 0 & zc \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & c \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x & y \\ 0 & z \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} xa & ya + zb \\ 0 & zc \ end {pmatrix}}}$${\ Displaystyle х \ neq 0 \ neq z}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x & y \\ 0 & z \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x & y \\ 0 & z \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & x \\ 0 & 0 \ end {pmatrix }}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x, z}$${\ displaystyle 0}$
• Вот еще один пример кольца с элементом, который является делителем нуля только с одной стороны. Позвольте быть набор всех последовательностей целых чисел . В качестве кольца возьмем все аддитивные отображения из в с поточечным сложением и композицией в качестве операций кольца. (То есть, наше кольцо , то кольцо эндоморфизмов аддитивной группы .) Три примера элементов этого кольца является сдвиг вправо , то сдвиг влево , а проекция на первый множитель . Все три из этих аддитивных отображений не равны нулю, и оба составных элемента и равны нулю, то есть левый делитель нуля и правый делитель нуля в кольце аддитивных отображений из в . Однако не является правым делителем нуля и не является левым делителем нуля: композиция является единицей. является двусторонним делителем нуля, поскольку , пока не находится ни в каком направлении. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ...)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle \ mathrm {Конец} (S)}$${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle R (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ...) = (0, a_ {1}, a_ {2}, ...)}$ ${\ displaystyle L (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ...) = (a_ {2}, a_ {3}, a_ {4}, ...)}$${\ Displaystyle P (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ...) = (a_ {1}, 0,0, ...)}$${\ displaystyle LP}$${\ displaystyle PR}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle LR}$${\ displaystyle RL}$${\ displaystyle RLP = 0 = PRL}$${\ displaystyle LR = 1}$

Не примеры

• Кольцо целых чисел по модулю простого числа , не имеет отличные от 0. делителей нуля Поскольку каждый ненулевой элемент представляет собой блок , это кольцо является конечным полем .
• В более общем смысле, у телесного кольца нет делителей нуля, кроме 0.
• Ненулевым коммутативное кольцо которого только нулевой делитель равен 0, называется областью целостности .

Характеристики

• В кольце п матрицу с размерностью п матриц над полем , левые и правые делители нуля совпадают; это в точности особые матрицы . В кольце п матрицы с размерностью п матриц над областью целостности , то делители нуля в точности матрица с определителем нулем .
• Левый или правый делители нуля никогда не могут быть единицами , потому что если a обратимо и ax = 0 для некоторого ненулевого x , то 0 = a ⁻¹ 0 = a ⁻¹ ax = x , противоречие.
• Элемент может быть отменен на той стороне, на которой он является обычным. То есть, если a - левое регулярное, из ax = ay следует, что x = y , и то же самое для правого регулярного.

Ноль как делитель нуля

Нет необходимости в отдельном соглашении для случая a = 0 , потому что определение применимо и в этом случае:

• Если R - кольцо, отличное от нулевого кольца , то 0 является (двусторонним) делителем нуля, потому что любой ненулевой элемент x удовлетворяет 0 x = 0 = x 0 .
• Если R - нулевое кольцо , в котором 0 = 1 , то 0 не является делителем нуля, потому что нет ненулевого элемента, который при умножении на 0 дает 0 .

Некоторые ссылки включают или исключают 0 в качестве делителя нуля во всех кольцах по соглашению, но тогда они страдают от необходимости вводить исключения в такие утверждения, как следующие:

• В коммутативном кольце R , множество ненулевых делителей является мультипликативным множеством в R . (Это, в свою очередь, важно для определения полного фактор-кольца .) То же самое верно для множества не делителей нуля слева и множества не делителей нуля вправо в произвольном кольце, коммутативном или нет.
• В коммутативном нётеровом кольце R , множество делителей нуля является объединением ассоциированных простых идеалов из R .

Делитель нуля на модуле

Пусть R коммутативное кольцо, пусть М быть R - модуль , и пусть быть элементом R . Один говорит , что является M -регулярна если «умножение на » карте инъективна, и что является делителем нуля на М иначе. Множество М -регулярных элементов является мультипликативным множеством в R . ${\ Displaystyle M \, {\ stackrel {a} {\ to}} \, M}$

Специализация определений « M -регулярного» и «делителя нуля на M » на случай M = R восстанавливает определения «регулярного» и «делителя нуля», данные ранее в этой статье.

Смотрите также

• Собственность нулевого продукта
• Глоссарий коммутативной алгебры (точный делитель нуля)
• График делителей нуля

Заметки

Рекомендации

дальнейшее чтение

• "Делитель нуля" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Мишель Хазевинкель ; Надежда Губарени; Надежда Михайловна Губарени; Владимир Васильевич Кириченко. (2004), Алгебры, кольца и модули , т. 1, Springer, ISBN   1-4020-2690-0 |volume= имеет дополнительный текст ( справка )
• Вайсштейн, Эрик В. «Делитель нуля» . MathWorld .