Локализация (коммутативная алгебра) - Localization (commutative algebra)

В коммутативной алгебре и алгебраической геометрии , локализация является формальным способом ввести «знаменатели» для данного кольца или модуля . То есть, он вводит новое кольцо / модуль из существующего кольца / модуль R , так что она состоит из фракций , так что знаменатель ей принадлежит данное подмножеству S из R . Если S есть множество ненулевых элементов области целостности , то локализация является полем частных : этот случай обобщает конструкцию кольца из рациональных чисел от кольца из целых чисел . ${\ displaystyle {\ frac {m} {s}},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Этот метод стал фундаментальным, особенно в алгебраической геометрии , поскольку он обеспечивает естественную связь с теорией пучков . Фактически, термин локализация возник в алгебраической геометрии : если R - кольцо функций, определенных на некотором геометрическом объекте ( алгебраическом многообразии ) V , и кто-то хочет изучить это многообразие «локально» вблизи точки p , то он рассматривает множество S всех функций, которые не равны нулю на р и локализует R относительно S . Результирующее кольцо содержит информацию о поведении V рядом с p и исключает информацию, которая не является «локальной», например нули функций, которые находятся вне V (см. Пример, приведенный в локальном кольце ). ${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$

Локализация кольца

Локализация коммутативного кольца R по мультипликативному замкнутому множеству S представляет собой новое кольцо , элементы которого являются фракциями с числителями в R и знаменателями в S . ${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$

Если кольцо является областью целостности, конструкция обобщает и точно следует конструкции поля частных и, в частности, рациональных чисел как поля дробей целых чисел. Для колец с делителями нуля конструкция аналогична, но требует большей осторожности.

Мультипликативный набор

Локализация обычно выполняется по отношению к мультипликативному множеству S (также называемому мультипликативным множеством или мультипликативной системой ) элементов кольца R , которое является подмножеством R , которое замкнуто при умножении и содержит 1 .

Требование , что S должен быть мультипликативным множеством естественно, так как это означает , что все знаменатели введены локализации относятся к S . Локализацию с помощью множества U , не мультипликативной закрыта также можно определить, взяв в качестве возможных знаменателей всех произведений элементов из U . Однако та же локализация получается при помощи мультипликативна замкнутого множество S всех произведений элементов U . Поскольку это часто упрощает рассуждения и обозначения, стандартной практикой является рассмотрение только локализаций по мультипликативным множествам.

Например, локализация с помощью одного элемента s вводит дроби формы, но также и произведения таких дробей, как So, знаменатели будут принадлежать мультипликативному набору степеней s . Поэтому обычно говорят о «локализации с помощью элемента», а не о «локализации с помощью элемента». ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {s}},}$${\ displaystyle {\ tfrac {ab} {s ^ {2}}}.}$${\ Displaystyle \ {1, s, s ^ ​​{2}, s ^ ​​{3}, \ ldots \}}$

Локализация кольца R мультипликативным множеством S обычно обозначается, но в некоторых частных случаях обычно используются другие обозначения: если состоит из степеней одного элемента, часто обозначается, если является дополнением к простому идеалу , то обозначается${\ displaystyle S ^ {- 1} R,}$${\ Displaystyle S = \ {1, t, t ^ {2}, \ ldots \}}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle R_ {t};}$${\ Displaystyle S = R \ setminus {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}.}$

В оставшейся части статьи рассматриваются только локализации по мультипликативному множеству.

Интегральные домены

Когда кольцо R является областью целостности и S не содержит 0 , то кольцо является подкольцом поля частных от R . ${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$

Точнее, это подкольцо поля дробей R , которое состоит из таких дробей , что это подкольцо, поскольку сумма и произведение двух элементов находятся в. Это является результатом определяющего свойства мультипликативного множества, которое также подразумевает, что в этом случае R является подкольцом. Ниже показано, что это больше не так, как правило, когда S содержит делители нуля . ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {s}}}$${\ displaystyle s \ in S.}$${\ displaystyle {\ tfrac {a} {s}} + {\ tfrac {b} {t}} = {\ tfrac {at + bs} {st}},}$${\ displaystyle {\ tfrac {a} {s}} \, {\ tfrac {b} {t}} = {\ tfrac {ab} {st}}}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R.}$${\ displaystyle 1 = {\ tfrac {1} {1}} \ in S ^ {- 1} R.}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R.}$

Например, десятичные дроби - это локализация кольца целых чисел мультипликативным набором степеней десяти. В этом случае состоит из рациональных чисел, которые можно записать как где n - целое число, а k - неотрицательное целое число. ${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle {\ tfrac {n} {10 ^ {k}}},}$

Общая конструкция

В общем случае возникает проблема с делителями нуля . Пусть S мультипликативное множество в коммутативном кольце R . Если это изображение в из и , если в = 0 с , то один должен иметь и , таким образом , некоторые ненулевые элементы R должен быть равен нулю в конструкции, следующей предназначен для учета этого. ${\ Displaystyle {\ tfrac {а} {1}}}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle a \ in R,}$${\ displaystyle s \ in S,}$${\ displaystyle {\ tfrac {0} {s}} = {\ tfrac {as} {s}} = {\ tfrac {a} {1}},}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R.}$

Для R и S, как указано выше, можно рассматривать отношение эквивалентности на нем , определяемое, если существует такое, что${\ Displaystyle R \ раз S}$${\ displaystyle (r_ {1}, s_ {1}) \ sim (r_ {2}, s_ {2})}$${\ displaystyle t \ in S}$${\ displaystyle t (s_ {1} r_ {2} -s_ {2} r_ {1}) = 0.}$

Локализация определяется как набор классов эквивалентности для этого отношения. Класс ( r , s ) обозначается как или So, один имеет тогда и только тогда, когда существует такой, что${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle {\ frac {r} {s}},}$ ${\ displaystyle r / s,}$${\ displaystyle s ^ {- 1} r.}$${\ Displaystyle {\ tfrac {r_ {1}} {s_ {1}}} = {\ tfrac {r_ {2}} {s_ {2}}}}$${\ displaystyle t \ in S}$${\ displaystyle t (s_ {1} r_ {2} -s_ {2} r_ {1}) = 0.}$

Локализация - коммутативное кольцо с добавлением ${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$

${\ displaystyle {\ frac {r_ {1}} {s_ {1}}} + {\ frac {r_ {2}} {s_ {2}}} = {\ frac {r_ {1} s_ {2} + r_ {2} s_ {1}} {s_ {1} s_ {2}}},}$

умножение

${\ displaystyle {\ frac {r_ {1}} {s_ {1}}} \, {\ frac {r_ {2}} {s_ {2}}} = {\ frac {r_ {1} r_ {2}) } {s_ {1} s_ {2}}},}$

аддитивная идентичность и мультипликативная идентичность${\ displaystyle {\ tfrac {0} {1}},}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {1}}.}$

функция

${\ displaystyle r \ mapsto {\ frac {r} {1}}}$

определяет гомоморфизм колец из в который инъективен тогда и только тогда, когда S не содержит никаких делителей нуля. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R,}$

Если then - это нулевое кольцо , в котором 0 является уникальным элементом. ${\ displaystyle 0 \ in S,}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$

Если S есть множество всех регулярных элементов из R (то есть элементы, которые не являются делителями нуля), называются общим кольцом фракций из R . ${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$

Универсальная собственность

(Определенный выше) кольцевой гомоморфизм удовлетворяет универсальному свойству , описанному ниже. Это характеризует с точностью до изоморфизма. Таким образом, все свойства локализаций могут быть выведены из универсального свойства независимо от способа их построения. Более того, многие важные свойства локализации легко выводятся из общих свойств универсальных свойств, в то время как их прямое доказательство может быть вместе техническим, простым и скучным. ${\ Displaystyle j \ двоеточие R \ к S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$

Универсальное свойство, которому удовлетворяет следующее: если - гомоморфизм колец, который отображает каждый элемент S в единицу (обратимый элемент) в T , существует единственный гомоморфизм колец такой, что${\ Displaystyle j \ двоеточие R \ к S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle f \ двоеточие R \ to T}$${\ displaystyle g \ двоеточие S ^ {- 1} R \ to T}$${\ displaystyle f = g \ circ j.}$

Используя теорию категорий , это можно выразить, сказав, что локализация - это функтор , сопряженный слева к функтору забывания . Точнее, пусть и - категории, объектами которых являются пары коммутативного кольца и подмоноид мультипликативной полугруппы или группы единиц кольца соответственно. В морфизмах этих категорий являются кольцевыми гомоморфизмами, отображающего подмоноид первого объекта в подмоноид второй. Наконец, пусть будет функтор забывчивости, который забывает, что элементы второго элемента пары обратимы. ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ двоеточие {\ mathcal {D}} \ to {\ mathcal {C}}}$

Тогда факторизация универсального свойства определяет биекцию ${\ displaystyle f = g \ circ j}$

${\ displaystyle \ hom _ {\ mathcal {C}} ((R, S), {\ mathcal {F}} (T, U)) \ to \ hom _ {\ mathcal {D}} ((S ^ { -1} R, j (S)), (T, U)).}$

Это может показаться довольно хитрым способом выражения универсального свойства, но он полезен для легкого демонстрации многих свойств, используя тот факт, что композиция двух сопряженных слева функторов является сопряженным слева функтором.

Примеры

• Если это кольцо целых чисел , а затем это поле из рациональных чисел .${\ Displaystyle R = \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle S = \ mathbb {Z} \ setminus \ {0 \},}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
• Если R является областью целостности , а затем это поле фракций из R . Предыдущий пример является частным случаем этого.${\ Displaystyle S = R \ setminus \ {0 \},}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$
• Если R представляет собой коммутативное кольцо , и если S есть подмножество его элементов, которые не являются делителями нуля , то есть всего кольцо фракций из R . В этом случае S - наибольшее мультипликативное множество, такое что гомоморфизм инъективен. Предыдущий пример является частным случаем этого.${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ Displaystyle R \ к S ^ {- 1} R}$
• Если x является элементом коммутативного кольца R и затем может быть идентифицирован ( канонически изоморфен ) (Доказательство состоит в том, чтобы показать, что это кольцо удовлетворяет вышеуказанному универсальному свойству.) Этот вид локализации играет фундаментальную роль в определении кольца аффинная схема .${\ Displaystyle S = \ {1, х, х ^ {2}, \ ldots \},}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle R [x ^ {- 1}] = R [s] / (xs-1).}$
• Если - простой идеал коммутативного кольца R , то дополнение множества в R является мультипликативным множеством (по определению простого идеала). Кольцо - это локальное кольцо , которое обычно обозначают и называют локальным кольцом кольца R в точке. Этот вид локализации является фундаментальным в коммутативной алгебре , потому что многие свойства коммутативного кольца можно прочитать на его локальных кольцах. Такое свойство часто называют местной собственностью . Например, кольцо правильно тогда и только тогда, когда все его локальные кольца регулярны.${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ Displaystyle S = R \ setminus {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}},}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}.}$

Свойства кольца

Локализация - это богатая конструкция, обладающая множеством полезных свойств. В этом разделе рассматриваются только свойства, относящиеся к кольцам и одной локализации. Свойства, касающиеся идеалов , модулей или нескольких мультипликативных множеств, рассматриваются в других разделах.

• ${\ displaystyle S ^ {- 1} R = 0}$ тогда и только тогда, когда S содержит 0 .
• Кольцевой гомоморфизм инъективен тогда и только тогда , когда S не содержит каких - либо делители нуля .${\ Displaystyle R \ к S ^ {- 1} R}$
• Гомоморфизм колец - это эпиморфизм в категории колец , который, вообще говоря, не сюръективен .${\ Displaystyle R \ к S ^ {- 1} R}$
• Кольцо является плоским R -модулем (подробности см. В § Локализация модуля ).${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$
• Если это дополнение простого идеала , то обозначим это локальное кольцо ; то есть имеет только один максимальный идеал .${\ Displaystyle S = R \ setminus {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R,}$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}},}$

Недвижимость, которую нужно переместить в другой раздел

• Локализация коммутирует с формациями конечных сумм, произведений, пересечений и радикалов; например, если обозначить радикал идеала I в R , то${\ displaystyle {\ sqrt {I}}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {I}} \ cdot S ^ {- 1} R = {\ sqrt {I \ cdot S ^ {- 1} R}} \ ,.}$

В частности, R является уменьшена , если и только если его общее кольцо фракций уменьшается.

• Пусть R область целостности с полем дробей K . Тогда его локализации в простом идеале можно рассматривать как подкольцу K . Кроме того,${\ Displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

${\ Displaystyle R = \ bigcap _ {\ mathfrak {p}} R _ {\ mathfrak {p}} = \ bigcap _ {\ mathfrak {m}} R _ {\ mathfrak {m}}}$

где первое пересечение проходит по всем простым идеалам, а второе - по максимальным идеалам.

• Существует биекция между множеством простых идеалов S ^-1 R и множеством простых идеалов R , которые не пересекаются S . Это биекция индуцируется данного гомоморфизма R → S  ^-1 R .

Насыщенность мультипликативного множества

Позвольте быть мультипликативным набором. Насыщенность в этом множестве ${\ Displaystyle S \ substeq R}$ ${\ displaystyle {\ hat {S}}}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle {\ hat {S}} = \ {r \ in R \ двоеточие \ существует s \ in R, rs \ in S \}.}$

Мультипликативный множество S является насыщенной , если она равна его насыщения, то есть, если , или , что эквивалентно, если следует , что р и s в S . ${\ displaystyle {\ hat {S}} = S}$${\ displaystyle rs \ in S}$

Если S не является насыщенным и тогда является мультипликативным обратным образом r в So, все образы элементов являются обратимыми в, и универсальное свойство подразумевает, что и являются канонически изоморфными , то есть существует единственный изоморфизм между их , что фиксирует образы элементов R . ${\ displaystyle rs \ in S,}$${\ displaystyle {\ frac {s} {rs}}}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R.}$${\ displaystyle {\ hat {S}}}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R,}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle {\ hat {S}} {} ^ {- 1} R}$

Если S и T - два мультипликативных множества, тогда и изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую насыщенность, или, что то же самое, если s принадлежит одному из мультипликативных множеств, то существует такое, что st принадлежит другому. ${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle T ^ {- 1} R}$${\ displaystyle t \ in R}$

Насыщенные мультипликативные множества явно не используются, поскольку для проверки того, что набор насыщен, нужно знать все единицы кольца.

Терминология объясняется контекстом

Термин локализация происходит от общей тенденции современной математики изучать геометрические и топологические объекты локально , то есть с точки зрения их поведения вблизи каждой точки. Примерами этого направления являются фундаментальные концепции многообразий , ростков и пучков . В алгебраической геометрии , аффинное алгебраическое множество может быть идентифицировано с факторкольцом в виде кольца многочленов таким образом , что точки алгебраического множества соответствует максимальным идеалам кольца (это Гильберт о нулях ). Эта переписка была обобщена для создания набора из простых идеалов одного коммутативного кольца топологического пространства оборудованы с топологией Зарисской ; это топологическое пространство называется спектром кольца .

В этом контексте локализация мультипликативным множеством может рассматриваться как ограничение спектра кольца подпространством простых идеалов (рассматриваемых как точки ), которые не пересекаются с мультипликативным множеством.

Чаще всего рассматриваются два класса локализаций:

• Мультипликативный множество является дополнением из простого идеала кольцевого R . В этом случае говорят о «локализации в » или «локализации в точке». Полученное кольцо, обозначенное, является локальным кольцом и является алгебраическим аналогом кольца ростков .${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}}$
• Установлен мультипликативный набор состоит из всех степеней элемента т кольцевого R . Получившееся кольцо обычно обозначается, а его спектр представляет собой открытое по Зарисскому множество первичных идеалов, не содержащих t . Таким образом, локализация является аналогом ограничения топологического пространства на окрестность точки (каждый первичный идеал имеет базис окрестностей, состоящий из открытых множеств Зарисского этой формы).${\ displaystyle R_ {t},}$

В теории чисел и алгебраической топологии , при работе над кольцом из целых чисел , один относится к собственности по отношению к целому числу п как свойство верно при п или вдали от п , в зависимости от локализации , что считается. « Вдали от n » означает, что свойство рассматривается после локализации по степеням n , и, если p является простым числом , «в p » означает, что свойство рассматривается после локализации в простом идеале . Эта терминология может быть объяснена тем фактом, что, если p простое число, ненулевые простые идеалы локализации являются либо одноэлементным множеством {p}, либо его дополнением в множестве простых чисел. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle p \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Локализация и насыщение идеалов

Пусть S - мультипликативное множество в коммутативном кольце R , и - канонический кольцевой гомоморфизм. Учитывая идеал I в R , пусть множество фракций , в которых числитель в I . Это идеал , порожденный J ( I ) , и назвал локализацию в I по S . ${\ Displaystyle j \ двоеточие R \ к S ^ {- 1} R}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} I}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R,}$

Насыщения из I от S является это идеал R , который может также определяется как множество элементов таким образом, что существует с${\ displaystyle j ^ {- 1} (S ^ {- 1} I);}$${\ displaystyle r \ in R}$${\ displaystyle s \ in S}$${\ displaystyle sr \ in I.}$

Многие свойства идеалов либо сохраняются за счет насыщенности и локализации, либо могут характеризоваться более простыми свойствами локализации и насыщенности. В дальнейшем S - мультипликативное множество в кольце I , а I и J - идеалы кольца R ; обозначается насыщение идеала I мультипликативным множеством S или, когда мультипликативное множество S ясно из контекста,${\ displaystyle \ operatorname {sat} _ {S} (I),}$${\ displaystyle \ operatorname {sat} (I).}$

• ${\ displaystyle 1 \ in S ^ {- 1} I \ quad \ iff \ quad 1 \ in \ operatorname {sat} (I) \ quad \ iff \ quad S \ cap I \ neq \ emptyset}$
• ${\ Displaystyle I \ substeq J \ quad \ подразумевает \ quad S ^ {- 1} I \ substeq S ^ {- 1} J \ quad {\ text {and}} \ quad \ operatorname {sat} (I) \ substeq \ operatorname {sat} (J)}$
  (это не всегда верно для строгих включений )
• ${\ displaystyle S ^ {- 1} (I \ cap J) = S ^ {- 1} I \ cap S ^ {- 1} J, \ qquad \ operatorname {sat} (I \ cap J) = \ operatorname { sat} (I) \ cap \ operatorname {sat} (J)}$
• ${\ displaystyle S ^ {- 1} (I + J) = S ^ {- 1} I + S ^ {- 1} J, \ qquad \ operatorname {sat} (I + J) = \ operatorname {sat} ( I) + \ operatorname {sat} (J)}$
• ${\ Displaystyle S ^ {- 1} (I \ cdot J) = S ^ {- 1} I \ cdot S ^ {- 1} J, \ qquad \ operatorname {sat} (I \ cdot J) = \ operatorname { sat} (I) \ cdot \ operatorname {sat} (J)}$
• Если - такой простой идеал , что тогда - простой идеал и ; если пересечение непусто, то и${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ cap S = \ emptyset,}$${\ Displaystyle S ^ {- 1} {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = \ operatorname {sat} ({\ mathfrak {p}})}$${\ Displaystyle S ^ {- 1} {\ mathfrak {p}} = S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle \ operatorname {sat} ({\ mathfrak {p}}) = R.}$

Локализация модуля

Пусть R быть коммутативным кольцом , S будет мультипликативное множество в R , а М быть R - модуль . Локализация модуля М с помощью S , обозначается S ^-1 М , является S ^-1 R - модуль , который строится точно так , как локализации R , за исключением того, что числители фракций принадлежат М . То есть, как набор, он состоит из классов эквивалентности , обозначаемых пар ( m , s ) , где и и две пары ( m , s ) и ( n , t ) эквивалентны, если в S существует элемент u такой что ${\ displaystyle {\ frac {m} {s}}}$${\ displaystyle m \ in M}$${\ displaystyle s \ in S,}$

${\ displaystyle u (sn-tm) = 0.}$

Сложение и скалярное умножение определяются как для обычных дробей (в следующей формуле, и ): ${\ displaystyle r \ in R,}$ ${\ displaystyle s, т \ in S,}$${\ displaystyle m, n \ in M}$

${\ displaystyle {\ frac {m} {s}} + {\ frac {n} {t}} = {\ frac {tm + sn} {st}},}$

${\ displaystyle {\ frac {r} {s}} {\ frac {m} {t}} = {\ frac {rm} {st}}.}$

Более того, S ⁻¹ M также является R -модулем со скалярным умножением

${\ displaystyle r \, {\ frac {m} {s}} = {\ frac {r} {1}} {\ frac {m} {s}} = {\ frac {rm} {s}}.}$

Несложно проверить, что эти операции корректно определены, то есть дают один и тот же результат для разных вариантов выбора представителей фракций.

Локализация модуля может быть эквивалентно определена с помощью тензорных произведений :

${\ displaystyle S ^ {- 1} M = S ^ {- 1} R \ otimes _ {R} M.}$

Доказательство эквивалентности (с точностью до канонического изоморфизма ) может быть выполнено, если показать, что два определения удовлетворяют одному и тому же универсальному свойству.

Свойства модуля

Если М является подмодулем из R - модуля N и S является мультипликативным множеством в R , один имеет Это означает , что, если это инъективен модульный гомоморфизм , то ${\ Displaystyle S ^ {- 1} M \ substeq S ^ {- 1} N.}$${\ displaystyle f \ двоеточие от M \ до N}$

${\ displaystyle S ^ {- 1} R \ otimes _ {R} f: \ quad S ^ {- 1} R \ otimes _ {R} M \ to S ^ {- 1} R \ otimes _ {R} N }$

также является инъективным гомоморфизмом.

Так как тензорное произведение является точным справа функтор , то это означает , что локализация на S сопоставляет точные последовательности из R -модулями в точные последовательности модулей. Другими словами, локализация представляет собой точный функтор , и является плоским R - модуль . ${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$

Эта плоскостность и тот факт, что локализация решает универсальное свойство, делают эту локализацию сохраняет многие свойства модулей и колец и совместимы с решениями других универсальных свойств. Например, естественная карта

${\ displaystyle S ^ {- 1} (M \ otimes _ {R} N) \ to S ^ {- 1} M \ otimes _ {S ^ {- 1} R} S ^ {- 1} N}$

является изоморфизмом. Если - конечно представленный модуль , естественное отображение ${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle S ^ {- 1} \ operatorname {Hom} _ {R} (M, N) \ to \ operatorname {Hom} _ {S ^ {- 1} R} (S ^ {- 1} M, S ^ {- 1} N)}$

также является изоморфизмом.

Если модуль М является конечно порожденным над R , имеет один

${\ displaystyle S ^ {- 1} (\ operatorname {Ann} _ {R} (M)) = \ operatorname {Ann} _ {S ^ {- 1} R} (S ^ {- 1} M),}$

где обозначает аннигилятор , то есть идеал элементов кольца, который переводит в нуль все элементы модуля. Особенно, ${\ displaystyle \ operatorname {Ann}}$

${\ displaystyle S ^ {- 1} M = 0 \ quad \ iff \ quad S \ cap \ operatorname {Ann} _ {R} (M) \ neq \ emptyset,}$

то есть, если для некоторых${\ displaystyle tM = 0}$${\ displaystyle t \ in S.}$

Локализация на простые числа

Из определения первичного идеала сразу следует, что дополнение к первичному идеалу в коммутативном кольце R является мультипликативным множеством. В этом случае локализация обычно обозначается . Кольцо - это локальное кольцо , которое называется локальным кольцом R в точке. Это означает, что это единственный максимальный идеал кольца.${\ Displaystyle S = R \ setminus {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}.}$${\ Displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}.}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \, R _ {\ mathfrak {p}} = {\ mathfrak {p}} \ otimes _ {R} R _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}.}$

Такие локализации являются фундаментальными для коммутативной алгебры и алгебраической геометрии по нескольким причинам. Во-первых, локальные кольца часто легче изучать, чем общие коммутативные кольца, в частности, из-за леммы Накаямы . Однако основная причина в том, что многие свойства верны для кольца тогда и только тогда, когда они верны для всех его локальных колец. Например, кольцо является правильным тогда и только тогда, когда все его локальные кольца являются правильными локальными кольцами .

Свойства кольца , которое может быть охарактеризовано на своих локальных кольцах называется локальными свойства , и часто являются алгебраическим аналогом геометрических локальных свойств от алгебраических сортов , которые являются свойствами , которые могут быть изучены путем ограничения на малые окрестности каждой точки многообразия . (Существует еще одно понятие локального свойства, которое относится к локализации на открытые множества Зарисского; см. § Локализация на открытые множества Зарисского ниже.)

Многие локальные свойства являются следствием того, что модуль

${\ displaystyle \ bigoplus _ {\ mathfrak {p}} R _ {\ mathfrak {p}}}$

является строго плоским модулем, если прямая сумма берется по всем простым идеалам (или по всем максимальным идеалам в R ). См. Также Верно ровный спуск .

Примеры местной недвижимости

Свойство Р из R - модуля M является локальным свойством , если выполняются следующие условия эквивалентны:

• Р имеет место для М .
• P имеет место для всех , где есть простой идеал R .${\ displaystyle M _ {\ mathfrak {p}},}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$
• P имеет место для всех , где есть максимальный идеал R .${\ displaystyle M _ {\ mathfrak {m}},}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$

Ниже перечислены местные свойства:

• M равно нулю.
• M не имеет кручения (в случае, когда R - коммутативная область ).
• М - плоский модуль .
• М является обратимым модулем (в случае , когда R является коммутативным доменом, а М представляет собой подмодуль области фракции из R ).
• ${\ displaystyle f \ двоеточие от M \ до N}$инъективен (соответственно сюръективен), где N - другой R -модуль.

С другой стороны, некоторые свойства не являются локальными. Например, бесконечное прямое произведение из полей не является область целостности , ни нётерово кольцо , в то время как все ее локальные кольца являются полями, и поэтому Нетеровыми интегральных доменов.

Локализация на открытые наборы Зарисского

Некоммутативный случай

Локализация некоммутативных колец сложнее. Хотя локализация существует для каждого набора S предполагаемых единиц, она может принимать форму, отличную от описанной выше. Одним из условий, обеспечивающих хорошее поведение при локализации, является состояние Оре .

Один случай для некоммутативных колец, где локализация представляет явный интерес, - это кольца дифференциальных операторов. Он имеет интерпретацию, например, прилегающей формальный обратный D ^-1 для оператора дифференцирования D . Это делается во многих контекстах в методах дифференциальных уравнений . В настоящее время существует большая математическая теория, называемая микролокализацией , которая связана с множеством других разделов. Микро- тег делать со связями с теорией Фурье , в частности.

Смотрите также

• Локальный анализ
• Локализация категории
• Локализация топологического пространства

использованная литература

внешние ссылки

• Локализация от MathWorld .