Внешняя алгебра - Exterior algebra

Ориентация определяется упорядоченным набором векторов.

Перевернутая ориентация соответствует отрицанию внешнего вида продукта.

Геометрическая интерпретация элементов степени n в реальной внешней алгебре для n = 0 (точка со знаком), 1 (направленный отрезок или вектор), 2 (элемент ориентированной плоскости), 3 (ориентированный объем). Внешний продукт n векторов может быть визуализирован как любая n -мерная форма (например, n - параллелоэдр , n - эллипсоид ); с величиной ( гиперобъем ) и ориентацией, определяемой ориентацией его ( n - 1) -мерной границы и с какой стороны находится внутреннее пространство.

В математике , то внешний вид продукта или клин продукт векторов является алгебраической конструкцией , используемой в геометрии для изучения площади , объемов , и их многомерных аналогов. Внешний продукт двух векторов и  , обозначаемый , называется бивектором и живет в пространстве, называемом внешним квадратом , векторном пространстве , которое отличается от исходного пространства векторов. Величина из может быть интерпретирована как площадь параллелограмма со сторонами и  , что в трех измерениях также может быть вычислена с использованием векторного произведения двух векторов. В более общем смысле, все параллельные плоские поверхности с одинаковой ориентацией и площадью имеют один и тот же бивектор в качестве меры их ориентированной площади . Как и перекрестное произведение, внешний продукт является антикоммутативным , что означает, что для всех векторов и  , но, в отличие от перекрестного произведения, внешний продукт является ассоциативным . ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ Displaystyle и \ клин v}$${\ Displaystyle и \ клин v}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ Displaystyle и \ клин v = - (v \ клин и)}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$

При таком рассмотрении внешнее произведение двух векторов называется 2-лопастью . В более общем смысле, внешний продукт любого числа k векторов может быть определен и иногда называется k- лезвием. Он живет в пространстве, известном как k- я внешняя сила. Величина результирующего k- лезвия - это объем k -мерного параллелоэдра , ребра которого являются заданными векторами, точно так же, как величина скалярного тройного произведения векторов в трех измерениях дает объем параллелепипеда, порожденного этими векторами.

Внешняя алгебра , или алгебра Грассмана после Грассман , является алгебраической системой, продукт представляет собой внешний продукт. Внешняя алгебра обеспечивает алгебраическую среду, в которой можно ответить на геометрические вопросы. Например, лопасти имеют конкретную геометрическую интерпретацию, а объектами внешней алгебры можно управлять в соответствии с набором однозначных правил. Внешняя алгебра содержит объекты, которые являются не только k- лезвиями, но и суммами k- лезвий; такая сумма называется k -вектором . К -blades, потому что они представляют собой простые произведения векторов, называются простые элементы алгебры. Ранг любого K -вектором определяется как наименьшее число простых элементов , из которых она является суммой. Внешнее произведение распространяется на всю внешнюю алгебру, так что имеет смысл умножать любые два элемента алгебры. Оснащенная этим продуктом, внешняя алгебра является ассоциативной алгеброй , что означает, что для любых элементов . В K -векторах имеют степень K , что означает , что они представляют собой суммы произведений K векторов. Когда элементы разной степени умножаются, степени складываются, как при умножении многочленов . Это означает, что внешняя алгебра является градуированной алгеброй . ${\ Displaystyle \ альфа \ клин (\ бета \ клин \ гамма) = (\ альфа \ клин \ бета) \ клин \ гамма}$${\ Displaystyle \ альфа, \ бета, \ гамма}$

Определение внешней алгебры имеет смысл для пространств не только геометрических векторов, но и других векторных объектов, таких как векторные поля или функции . В полной общности внешняя алгебра может быть определена для модулей над коммутативным кольцом и для других структур, представляющих интерес в абстрактной алгебре . Это одна из этих более общих конструкций, в которых внешняя алгебра находит одно из своих наиболее важных приложений, где она выступает как алгебра дифференциальных форм, которая является фундаментальной в областях, использующих дифференциальную геометрию . Внешняя алгебра также обладает множеством алгебраических свойств, которые делают ее удобным инструментом в самой алгебре. Связь внешней алгебры с векторным пространством - это тип функтора на векторных пространствах, что означает, что он определенным образом совместим с линейными преобразованиями векторных пространств. Внешняя алгебра является одним из примеров биалгебры , что означает, что ее двойственное пространство также обладает продуктом, и это двойственное произведение совместимо с внешним продуктом. Эта двойственная алгебра - это в точности алгебра чередующихся полилинейных форм , а спаривание между внешней алгеброй и двойственной ей задается внутренним произведением .

Мотивирующие примеры

Области в самолете

Площадь параллелограмма через определитель матрицы координат двух его вершин.

Декартова плоскость R ² представляет собой реальные векторное пространство , снабженное основание , состоящие из пары единичных векторов

${\ displaystyle {\ mathbf {e}} _ {1} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}, \ quad {\ mathbf {e}} _ {2} = {\ begin { bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix}}.}$

Предположим, что

${\ displaystyle {\ mathbf {v}} = {\ begin {bmatrix} a \\ b \ end {bmatrix}} = a {\ mathbf {e}} _ {1} + b {\ mathbf {e}} _ {2}, \ quad {\ mathbf {w}} = {\ begin {bmatrix} c \\ d \ end {bmatrix}} = c {\ mathbf {e}} _ {1} + d {\ mathbf {e }} _ {2}}$

являются парой заданных векторов в R ² , написанные в компонентах. Есть уникальный параллелограмм, у которого две стороны - v и w . Площадь этого параллелограмма задаются стандартным определитель формулы:

${\ displaystyle {\ text {Area}} = {\ Bigl |} \ det {\ begin {bmatrix} {\ mathbf {v}} & {\ mathbf {w}} \ end {bmatrix}} {\ Bigr |} = {\ Biggl |} \ det {\ begin {bmatrix} a & c \\ b & d \ end {bmatrix}} {\ Biggr |} = \ left | ad-bc \ right |.}$

Рассмотрим теперь внешнее произведение v и w :

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathbf {v}} \ wedge {\ mathbf {w}} & = (a {\ mathbf {e}} _ {1} + b {\ mathbf {e}} _ {2}) \ wedge (c {\ mathbf {e}} _ {1} + d {\ mathbf {e}} _ {2}) \\ & = ac {\ mathbf {e}} _ {1} \ клин {\ mathbf {e}} _ {1} + ad {\ mathbf {e}} _ {1} \ wedge {\ mathbf {e}} _ {2} + bc {\ mathbf {e}} _ {2 } \ wedge {\ mathbf {e}} _ {1} + bd {\ mathbf {e}} _ {2} \ wedge {\ mathbf {e}} _ {2} \\ & = \ left (ad-bc \ right) {\ mathbf {e}} _ {1} \ wedge {\ mathbf {e}} _ {2} \ end {align}}}$

где первый шаг использует закон распределения для внешнего продукта , а последний использует тот факт, что внешний продукт является чередующимся, и в частности . (Тот факт, что внешний продукт чередуется, также является силами .) Обратите внимание, что коэффициент в этом последнем выражении является в точности определителем матрицы [ v w ] . Тот факт, что это может быть положительным или отрицательным, интуитивно означает, что v и w могут быть ориентированы против часовой стрелки или по часовой стрелке как вершины параллелограмма, которые они определяют. Такая область называется подписанной площадью параллелограмма: абсолютное значением подписанной области является обычной областью, а знак определяет его ориентацию. ${\ Displaystyle \ mathbf {е_ {2}} \ клин \ mathbf {е_ {1}} = - (\ mathbf {е_ {1}} \ клин \ mathbf {е_ {2}})}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {1} = \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} = 0}$

То, что этот коэффициент является подписанной областью, не случайно. Фактически, относительно легко увидеть, что внешний продукт должен быть связан с областью со знаком, если попытаться аксиоматизировать эту область как алгебраическую конструкцию. Более подробно, если A ( v , w ) обозначает знаковую область параллелограмма, пара векторов v и w которого образует две смежные стороны, то A должна удовлетворять следующим свойствам:

1. A ( r v , s w ) = rs A ( v , w ) для любых действительных чисел r и s , поскольку изменение масштаба любой из сторон изменяет масштаб области на ту же величину (а изменение направления одной из сторон меняет ориентацию параллелограмма).
2. A ( v , v ) = 0 , поскольку площадь вырожденного параллелограмма, определяемого v (т.е. отрезка прямой ), равна нулю.
3. A ( w , v ) = −A ( v , w ) , поскольку при смене ролей v и w ориентация параллелограмма меняется на противоположную.
4. A ( v + r w , w ) = A ( v , w ) для любого действительного числа r , поскольку добавление кратного w к v не влияет ни на основание, ни на высоту параллелограмма и, следовательно, сохраняет его площадь.
5. A ( e ₁ , e ₂ ) = 1 , так как площадь единичного квадрата равна единице.

Произведение ( синий вектор) по отношению к внешнему произведению ( голубой параллелограмм). Длина поперечного произведения равна длине параллельного единичного вектора ( красный ), а размер внешнего произведения соответствует размеру контрольного параллелограмма ( светло-красный ).

За исключением последнего свойства, внешнее произведение двух векторов удовлетворяет тем же свойствам, что и площадь. В определенном смысле внешний продукт обобщает окончательное свойство, позволяя сравнивать площадь параллелограмма с площадью любого выбранного параллелограмма в параллельной плоскости (здесь, со сторонами e ₁ и e ₂ ). Другими словами, внешний вид продукта обеспечивает независимую от основы формулировку площади.

Крестовые и тройные произведения

Для векторов в трехмерном ориентированном векторном пространстве с билинейным скалярным произведением внешняя алгебра тесно связана с перекрестным произведением и тройным произведением . Используя стандартный базис ( e ₁ , e ₂ , e ₃ ) , внешнее произведение пары векторов

${\ displaystyle \ mathbf {u} = u_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + u_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + u_ {3} \ mathbf {e} _ {3} }$

а также

${\ displaystyle \ mathbf {v} = v_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + v_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + v_ {3} \ mathbf {e} _ {3} }$

является

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v} = (u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1}) (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf { e} _ {2}) + (u_ {2} v_ {3} -u_ {3} v_ {2}) (\ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}) + (u_ {3} v_ {1} -u_ {1} v_ {3}) (\ mathbf {e} _ {3} \ wedge \ mathbf {e} _ {1}),}$

где ( e ₁ ∧ e ₂ , e ₂ ∧ e ₃ , e ₃ ∧ e ₁ ) - основа трехмерного пространства Λ ² ( R ³ ). Приведенные выше коэффициенты такие же, как и в обычном определении векторного произведения векторов в трех измерениях с заданной ориентацией, с той лишь разницей, что внешний продукт не является обычным вектором, а вместо этого является 2-вектором , и что Внешний вид изделия не зависит от выбора ориентации.

Внесение третьего вектора

${\ displaystyle \ mathbf {w} = w_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + w_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + w_ {3} \ mathbf {e} _ {3} ,}$

внешнее произведение трех векторов равно

${\ displaystyle \ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v} \ wedge \ mathbf {w} = (u_ {1} v_ {2} w_ {3} + u_ {2} v_ {3} w_ {1} + u_ {3} v_ {1} w_ {2} -u_ {1} v_ {3} w_ {2} -u_ {2} v_ {1} w_ {3} -u_ {3} v_ {2} w_ {1 }) (\ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3})}$

где e ₁ ∧ e ₂ ∧ e ₃ - базисный вектор для одномерного пространства Λ ³ ( R ³ ). Скалярный коэффициент - это тройное произведение трех векторов.

Перекрестное произведение и тройное произведение в трехмерном евклидовом векторном пространстве допускают как геометрическую, так и алгебраическую интерпретацию. Произведение u × v можно интерпретировать как вектор, перпендикулярный как u, так и v , величина которого равна площади параллелограмма, определяемой двумя векторами. Его также можно интерпретировать как вектор, состоящий из миноров матрицы со столбцами u и v . Тройное произведение u , v и  w - это скаляр со знаком, представляющий геометрически ориентированный объем. Алгебраически это определитель матрицы со столбцами u , v и  w . Внешний продукт в трех измерениях допускает аналогичные интерпретации: его также можно идентифицировать по ориентированным линиям, областям, объемам и т. Д., Которые охватываются одним, двумя или более векторами. Внешний продукт обобщает эти геометрические понятия на все векторные пространства и на любое количество измерений, даже в отсутствие скалярного произведения.

Формальные определения и алгебраические свойства

Внешняя алгебра Λ ( V ) векторного пространства V над полем К определяется как фактор - алгебры от тензора алгебры T ( V ) с помощью двустороннего идеала I , порожденный всеми элементами вида х ⊗ х для х ∈ V (т.е. все тензоры, которые могут быть выражены как тензорное произведение вектора в V самого по себе). Идеал I содержит идеал J, порожденный элементами формы, и эти идеалы совпадают, если (и только если) : ${\ displaystyle x \ otimes y + y \ otimes x = (x + y) \ otimes (x + y) -x \ otimes xy \ otimes y}$${\ displaystyle \ operatorname {char} (K) \ neq 2}$

${\ displaystyle I \ supseteq J {\ text {с равенством тогда и только тогда, когда}} \ operatorname {char} (K) \ neq 2}$.

Мы определяем

${\ Displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} (V) = T (V) / I}$

Внешнее произведение ∧ двух элементов из Λ ( V ) - это произведение, индуцированное тензорным произведением ⊗ группы T ( V ) . То есть, если

${\ Displaystyle \ pi: T (V) \ к {\ textstyle \ bigwedge} (V) = T (V) / I}$

- каноническая сюръекция , а a и b лежат в Λ ( V ) , то существуют и в T ( V ) такие, что и и ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle а = \ пи (\ альфа)}$${\ Displaystyle Ь = \ пи (\ бета),}$

${\ displaystyle a \ wedge b = \ pi (\ alpha \ otimes \ beta).}$

Это следует из определения фактор-алгебры, что значение не зависит от конкретного выбора и . ${\ Displaystyle а \ клин б}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$

Поскольку T ⁰ = K , T ¹ = V , и включения K и V в T ( V ) вызывают инъекции K и V в Λ ( V ) . Эти инъекции обычно рассматриваются как включения и называются естественными вкраплениями , естественными инъекциями или естественными включениями . Слово « канонический» также часто используется вместо слова « естественный» . ${\ Displaystyle \ влево (T ^ {0} (V) \ oplus T ^ {1} (V) \ right) \ cap I = \ {0 \}}$

Альтернативный продукт

Внешний продукт состоит из чередующихся элементов конструкции , что означает, что для всех , согласно приведенной выше конструкции. Отсюда следует , что продукт также антикоммутативный на элементах , для предположения , что , ${\ displaystyle V}$${\ textstyle x \ клин x = 0}$${\ displaystyle x \ in V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle x, y \ in V}$

${\ Displaystyle 0 = (x + y) \ клин (x + y) = x \ клин x + x \ клин y + y \ клин x + y \ клин y = x \ клин y + y \ клин x}$

следовательно

${\ Displaystyle х \ клин у = - (у \ клин х).}$

В более общем смысле, если σ - это перестановка целых чисел [1, ..., k ] , а x ₁ , x ₂ , ..., x _k - элементы V , то отсюда следует, что

${\ displaystyle x _ {\ sigma (1)} \ wedge x _ {\ sigma (2)} \ wedge \ cdots \ wedge x _ {\ sigma (k)} = \ operatorname {sgn} (\ sigma) x_ {1} \ клин x_ {2} \ wedge \ cdots \ wedge x_ {k},}$

где sgn ( σ ) - сигнатура перестановки σ .

В частности, если x _i = x _j для некоторого i ≠ j , то также имеет место следующее обобщение свойства альтернированности:

${\ displaystyle x_ {1} \ wedge x_ {2} \ wedge \ cdots \ wedge x_ {k} = 0.}$

Внешняя мощность

К - й внешней степени из V , обозначается Л ^K ( V ), является векторное подпространство Л ( V ) , натянутое на элементы вида

${\ displaystyle x_ {1} \ wedge x_ {2} \ wedge \ cdots \ wedge x_ {k}, \ quad x_ {i} \ in V, i = 1,2, \ ldots, k.}$

Если α ∈ Λ ^k ( V ) , то α называется k -вектором . Если, кроме того, α может быть выражено как внешнее произведение k элементов V , то α называется разложимым . Хотя разложимые k -векторы порождают Λ ^k ( V ), не каждый элемент Λ ^k ( V ) разложим. Например, в R ⁴ следующий 2-вектор не разложим:

${\ displaystyle \ alpha = e_ {1} \ wedge e_ {2} + e_ {3} \ wedge e_ {4}.}$

(Это симплектическая форма , поскольку α ∧ α ≠ 0. )

Основа и размер

Если размер из V является п и { е ₁ , ..., е _п } является основанием для V , то множество

${\ displaystyle \ {\, e_ {i_ {1}} \ wedge e_ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {i_ {k}} ~ {\ big |} ~~ k = 1,2, \ cdots n ~~ {\ text {и}} ~~ 1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {k} \ leq n \, \}}$

является базисом для Λ ^k ( V ) . Причина в следующем: учитывая любое внешнее изделие вида

${\ Displaystyle v_ {1} \ клин \ cdots \ клин v_ {к},}$

каждый вектор v _j может быть записан как линейная комбинация базисных векторов e _i ; используя билинейность внешнего произведения, это можно расширить до линейной комбинации внешних произведений этих базисных векторов. Любой внешний продукт, в котором один и тот же базисный вектор встречается более одного раза, равен нулю; любой внешний продукт, в котором базисные векторы не появляются в правильном порядке, можно переупорядочить, меняя знак всякий раз, когда два базисных вектора меняются местами. В целом, полученные в результате коэффициенты базисных K -векторов могут быть вычислены как миноры в матрице , которая описывает векторы v _J в терминах базиса х _I .

С учетом базисных элементов размерность Λ ^k ( V ) равна биномиальному коэффициенту :

${\ displaystyle \ dim {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (V) = {\ binom {n} {k}} \ ,.}$

где n - размерность векторов , а k - количество векторов в продукте. Биномиальный коэффициент дает правильный результат даже в исключительных случаях; в частности, Λ ^k ( V ) = {0} при k > n .

Любой элемент внешней алгебры можно записать в виде суммы k -векторов . Следовательно, как векторное пространство внешняя алгебра представляет собой прямую сумму

${\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} (V) = {\ textstyle \ bigwedge} ^ {0} (V) \ oplus {\ textstyle \ bigwedge} ^ {1} (V) \ oplus {\ textstyle \ bigwedge} ^ {2} (V) \ oplus \ cdots \ oplus {\ textstyle \ bigwedge} ^ {n} (V)}$

(где по соглашению Λ ⁰ ( V ) = K , поле, лежащее в основе V , и   Λ ¹ ( V ) = V ), и, следовательно, его размерность равна сумме биномиальных коэффициентов, которая равна 2 ⁿ .

Ранг k -вектора

Если α ∈ Λ ^k ( V ) , то можно выразить α как линейную комбинацию разложимых k -векторов :

${\ Displaystyle \ альфа = \ альфа ^ {(1)} + \ альфа ^ {(2)} + \ cdots + \ альфа ^ {(s)}}$

где каждое α ^{( i )} разложимо, скажем

${\ Displaystyle \ альфа ^ {(я)} = \ альфа _ {1} ^ {(я)} \ клин \ cdots \ клин \ альфа _ {к} ^ {(я)}, \ четырехъядерный я = 1,2 , \ ldots, s.}$

Оценка по к -векторному альфа представляет минимальное число разлагаемых K -векторов в таком расширении альфа . Это похоже на понятие тензорного ранга .

Ранг особенно важен при изучении 2-векторов ( Sternberg 1964 , §III.6) ( Bryant et al. 1991 ). Ранг 2-вектора α можно отождествить с половиной ранга матрицы коэффициентов α в базисе. Таким образом, если e _i является базисом для V , то α можно однозначно выразить как

${\ Displaystyle \ альфа = \ сумма _ {я, j} а_ {ij} е_ {я} \ клин е_ {j}}$

где a _ij = - a _ji (матрица коэффициентов кососимметрична ). Следовательно, ранг матрицы a _ij четный и вдвое больше ранга формы α .

В характеристике 0 2-вектор α имеет ранг p тогда и только тогда, когда

${\ displaystyle {\ underset {p} {\ underbrace {\ alpha \ wedge \ cdots \ wedge \ alpha}}} \ neq 0 \}$ а также ${\ displaystyle \ {\ underset {p + 1} {\ underbrace {\ alpha \ wedge \ cdots \ wedge \ alpha}}} = 0.}$

Градуированная структура

Внешнее произведение k -вектора на p -вектор является ( k + p ) -вектором, снова вызывая билинейность. Как следствие, разложение в прямую сумму предыдущего раздела

${\ Displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} (V) = {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! 0} (V) \ oplus {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! 1} (V) \ oplus {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! 2} (V) \ oplus \ cdots \ oplus {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! n} (V)}$

придает внешней алгебре дополнительную структуру градуированной алгебры , т. е.

${\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (V) \ wedge {\ textstyle \ bigwedge} ^ {p} (V) \ subset {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k + p} (V).}$

Более того, если K - базовое поле, мы имеем

${\ Displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! 0} (V) = K}$ а также ${\ Displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! 1} (V) = V.}$

Внешнее произведение является градуированным антикоммутативным, что означает, что если α ∈ Λ ^k ( V ) и β ∈ Λ ^p ( V ) , то

${\ Displaystyle \ альфа \ клин \ бета = (- 1) ^ {kp} \ бета \ клин \ альфа.}$

В дополнение к изучению градуированной структуры внешней алгебры Бурбаки (1989) изучает дополнительные градуированные структуры внешних алгебр, например, структуры внешней алгебры градуированного модуля (модуля, который уже имеет собственную градацию).

Универсальная собственность

Пусть V векторное пространство над полем K . Неформально, умножение в Л ( V ) выполняется путем манипулирования символов и навязывании дистрибутивного закона , в ассоциативный законе , и используя тождество для V ∈ V . Формально Λ ( V ) является «наиболее общей» алгеброй, в которой эти правила выполняются для умножения в том смысле, что любая унитальная ассоциативная K -алгебра, содержащая V с знакопеременным умножением на V, должна содержать гомоморфный образ Λ ( V ) . Другими словами, внешняя алгебра обладает следующим универсальным свойством : ${\ Displaystyle v \ клин v = 0}$

Чтобы построить наиболее общую алгебру, содержащую V и чье умножение альтернировано на V , естественно начать с наиболее общей ассоциативной алгебры, содержащей V , тензорную алгебру T ( V ) , а затем усилить свойство альтернированности, выбрав подходящий частное . Таким образом , мы взять двусторонний идеал I в T ( V ) , порожденную всеми элементами вида V ⊗ V для V в V , и определим Л ( V ) как частное

${\ Displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} (V) = T (V) / I \}$

(и используйте ∧ как символ умножения в Λ ( V )) . Тогда несложно показать, что Λ ( V ) содержит V и удовлетворяет указанному выше универсальному свойству.

Как следствие этой конструкции, операция сопоставления векторному пространству V его внешней алгебры Λ ( V ) является функтором из категории векторных пространств в категорию алгебр.

Вместо того, чтобы сначала определять Λ ( V ), а затем идентифицировать внешние степени Λ ^k ( V ) как определенные подпространства, можно альтернативно сначала определить пространства Λ ^k ( V ), а затем объединить их, чтобы сформировать алгебру Λ ( V ) . Этот подход часто используется в дифференциальной геометрии и описан в следующем разделе.

Обобщения

Учитывая коммутативное кольцо R и R - модуль M , мы можем определить внешнюю алгебру Л ( М ) так же , как выше, в качестве подходящего фактора тензора алгебры Т ( М ). Он будет удовлетворять аналогичному универсальному свойству. Многие свойства Λ ( M ) также требуют, чтобы M был проективным модулем . Если используется конечномерность, свойства дополнительно требуют, чтобы M было конечно порожденным и проективным. Обобщения наиболее распространенных ситуаций можно найти у Бурбаки (1989) .

Внешние алгебры векторных расслоений часто рассматриваются в геометрии и топологии. По теореме Серра – Свана нет существенных различий между алгебраическими свойствами внешней алгебры конечномерных векторных расслоений и внешней алгебры конечно порожденных проективных модулей . Для пучков модулей можно определить более общие внешние алгебры .

Альтернативная тензорная алгебра

Если K - поле характеристики 0, то внешнюю алгебру векторного пространства V над K можно канонически отождествить с векторным подпространством T ( V ), состоящим из антисимметричных тензоров . Напомним, что внешняя алгебра является фактором T ( V ) по идеалу I, порожденному элементами вида x ⊗ x .

Пусть T ^r ( V ) - пространство однородных тензоров степени r . Это натянуто на разложимые тензоры

${\ displaystyle v_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {r}, \ quad v_ {i} \ in V.}$

Антисимметризация (или иногда косая симметризация ) из нестойкого тензора определяются

${\ displaystyle \ operatorname {Alt} (v_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {r}) = {\ frac {1} {r!}} \ sum _ {\ sigma \ in {\ mathfrak {S} } _ {r}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) v _ {\ sigma (1)} \ otimes \ cdots \ otimes v _ {\ sigma (r)}}$

где сумма берется по симметрической группе перестановок символов {1, ..., r }. Благодаря линейности и однородности это продолжается до операции, также обозначаемой Alt, на полной тензорной алгебре T ( V ). Образ Alt (T ( V )) является альтернативной тензорной алгеброй , обозначаемой A ( V ). Это векторное подпространство в T ( V ), и оно наследует структуру градуированного векторного пространства от такового в T ( V ). Он несет ассоциативную градуированную продукцию, определяемую ${\ displaystyle {\ widehat {\ otimes}}}$

${\ displaystyle t ~ {\ widehat {\ otimes}} ~ s = \ operatorname {Alt} (t \ otimes s).}$

Хотя это произведение отличается от тензорного произведения, ядро Alt - это в точности идеал I (опять же, в предположении, что K имеет характеристику 0), и существует канонический изоморфизм

${\ Displaystyle A (V) \ cong {\ textstyle \ bigwedge} (V).}$

Обозначение индекса

Предположим, что V имеет конечную размерность n и что задан базис e ₁ , ..., e _n в V. то любой знакопеременный тензор t ∈ A ^r ( V ) ⊂ T ^r ( V ) можно записать в индексных обозначениях как

${\ displaystyle t = t ^ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {r}} \, {\ mathbf {e}} _ {i_ {1}} \ otimes {\ mathbf {e}} _ { i_ {2}} \ otimes \ cdots \ otimes {\ mathbf {e}} _ {i_ {r}},}$

где т ^{я ₁ ⋅⋅⋅ я _г} является полностью антисимметричной по своим индексам.

Внешнее произведение двух чередующихся тензоров t и s рангов r и p имеет вид

${\ displaystyle t ~ {\ widehat {\ otimes}} ~ s = {\ frac {1} {(r + p)!}} \ sum _ {\ sigma \ in {\ mathfrak {S}} _ {r + p}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) t ^ {i _ {\ sigma (1)} \ cdots i _ {\ sigma (r)}} s ^ {i _ {\ sigma (r + 1)} \ cdots i_ {\ sigma (r + p)}} {\ mathbf {e}} _ {i_ {1}} \ otimes {\ mathbf {e}} _ {i_ {2}} \ otimes \ cdots \ otimes {\ mathbf { e}} _ {i_ {r + p}}.}$

Компоненты этого тензора - это в точности скошенная часть компонент тензорного произведения s ⊗ t , обозначенная квадратными скобками на индексах:

${\ displaystyle (t ~ {\ widehat {\ otimes}} ~ s) ^ {i_ {1} \ cdots i_ {r + p}} = t ^ {[i_ {1} \ cdots i_ {r}} s ^ {i_ {r + 1} \ cdots i_ {r + p}]}.}$

Предмет интерьера также может быть описан в индексных обозначениях следующим образом. Пусть - антисимметричный тензор ранга r . Тогда для альфа ∈ V ^* , я _{& alpha} ; т представляет собой переменный тензор ранга г - 1 , задается ${\ Displaystyle т = т ^ {я_ {0} я_ {1} \ cdots я_ {г-1}}}$

${\ displaystyle (я _ {\ alpha} t) ^ {i_ {1} \ cdots i_ {r-1}} = r \ sum _ {j = 0} ^ {n} \ alpha _ {j} t ^ {ji_ {1} \ cdots i_ {r-1}}.}$

где п есть размерность V .

Двойственность

Альтернативные операторы

Учитывая два векторных пространств V и X и натурального число к , переменный оператор из V ^к к X является полилинейной картой

${\ displaystyle f \ двоеточие V ^ {k} \ to X}$

такая, что всякий раз, когда v ₁ , ..., v _k являются линейно зависимыми векторами в V , то

${\ displaystyle f (v_ {1}, \ ldots, v_ {k}) = 0.}$

Карта

${\ displaystyle w \ двоеточие V ^ {k} \ to {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! k} (V)}$

который ассоциируется с векторами из их внешнего продукта, то есть их соответствующего -вектора, также является чередующимся. Фактически, это отображение является «самым общим» оператором чередования, определенным на ; для любого другого альтернативного оператора существует единственное линейное отображение с . Это универсальное свойство характеризует пространство и может служить его определением. ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle V ^ {k}}$${\ displaystyle f: V ^ {k} \ rightarrow X}$ ${\ Displaystyle \ phi: \ клин ^ {k} (V) \ rightarrow X}$${\ displaystyle f = \ phi \ circ w}$${\ Displaystyle \ клин ^ {к} (V)}$

Чередующиеся полилинейные формы

Геометрическая интерпретация для внешнего произведения из п 1-форм ( е , п , & omega ) с получением п -форма ( «сетка» из координатных поверхностей , здесь плоскостей), для п = 1, 2, 3 . «Тиражи» показывают ориентированность .

Вышеупомянутое обсуждение специализируется на случае, когда X = K , базовое поле. В этом случае переменная полилинейная функция

${\ displaystyle f: V ^ {k} \ to K \}$

называется знакопеременной полилинейной формой . Множество всех чередующихся полилинейных форм является векторным пространством, поскольку сумма двух таких карт или произведение такой карты со скаляром снова чередуются. По универсальному свойству внешней силы, пространство чередующихся форм степени к на V является естественным изоморфно с двойным векторным пространством (Λ ^к V ) ^* . Если V конечномерно, то последнее естественно изоморфно Λ ^k ( V ^∗ ). В частности, если V является п - мерным, размерность пространства переменных карт от V ^к к К является биномиальным коэффициентом ${\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}.}$

Под этой идентификацией внешний продукт принимает конкретную форму: он производит новую антисимметричную карту из двух данных. Предположим, что ω  : V ^k → K и η  : V ^m → K - два антисимметричных отображения. Как и в случае тензорных произведений полилинейных отображений, количество переменных их внешнего произведения является суммой чисел их переменных. Это определяется следующим образом:

${\ displaystyle \ omega \ wedge \ eta = {\ frac {(k + m)!} {k! \, m!}} \ operatorname {Alt} (\ omega \ otimes \ eta),}$

где, если характеристика основного поля K равна 0, чередование Alt полилинейной карты определяется как среднее значение скорректированных по знаку значений по всем перестановкам его переменных:

${\ displaystyle \ operatorname {Alt} (\ omega) (x_ {1}, \ ldots, x_ {k}) = {\ frac {1} {k!}} \ sum _ {\ sigma \ in S_ {k} } \ operatorname {sgn} (\ sigma) \, \ omega (x _ {\ sigma (1)}, \ ldots, x _ {\ sigma (k)}).}$

Когда поле K имеет конечную характеристику , точно определена эквивалентная версия приведенного выше выражения без каких-либо факториалов или каких-либо констант:

${\ displaystyle {\ omega \ wedge \ eta (x_ {1}, \ ldots, x_ {k + m})} = \ sum _ {\ sigma \ in \ mathrm {Sh} _ {k, m}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \, \ omega (x _ {\ sigma (1)}, \ ldots, x _ {\ sigma (k)}) \ eta (x _ {\ sigma (k + 1)}, \ ldots, х _ {\ sigma (k + m)}),}$

где Sh _{k , m} ⊂ S _{k + m} - подмножество ( k , m ) перетасовок : перестановки σ множества {1, 2, ..., k + m } такие, что σ (1) < σ (2 ) <⋯ < σ ( k ) и σ ( k + 1) < σ ( k + 2) <⋯ < σ ( k + m ) .

Интерьерный продукт

Предположим, что V конечномерно. Если V ^∗ обозначает пространство, сопряженное с векторным пространством V , то для каждого α ∈ V ^∗ можно определить антидифференцирование на алгебре Λ ( V ),

${\ displaystyle i _ {\ alpha}: {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} V \ rightarrow {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k-1} V.}$

Этот вывод называется внутренним произведением на α , иногда оператором вставки или сжатием на α .

Предположим , что ш ∈ Л ^K V . Тогда w является полилинейным отображением V ^∗ в K , поэтому оно определяется своими значениями на k- кратном декартовом произведении V ^∗ × V ^∗ × ... × V ^∗ . Если u ₁ , u ₂ , ..., u _{k −1} являются k - 1 элементами V ^∗ , то определим

${\ displaystyle (я _ {\ alpha} {\ mathbf {w}}) (u_ {1}, u_ {2}, \ ldots, u_ {k-1}) = {\ mathbf {w}} (\ alpha, u_ {1}, u_ {2}, \ ldots, u_ {k-1}).}$

Кроме того, пусть i _α f = 0, если f является чистым скаляром (т. Е. Принадлежит Λ ⁰ V ).

Аксиоматическая характеристика и свойства

Изделие для интерьера обладает следующими свойствами:

1. Для каждого к и каждого & alpha ; ∈ V ^* ,
   $${\ displaystyle i _ {\ alpha}: {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} V \ rightarrow {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k-1} V.}$$

   
   (По соглашению Λ ⁻¹ V = {0}. )
2. Если v является элементом V (= Λ ¹ V ), то i _α v = α ( v ) является двойственным спариванием между элементами V и элементами V ^∗ .
3. Для каждого & alpha ; ∈ V ^* , я _альфа является градуированным вывод степени -1:
   $${\ displaystyle i _ {\ alpha} (a \ wedge b) = (i _ {\ alpha} a) \ wedge b + (- 1) ^ {\ deg a} a \ wedge (i _ {\ alpha} b).}$$

   

Этих трех свойств достаточно, чтобы охарактеризовать продукт интерьера, а также определить его в общем бесконечномерном случае.

К другим свойствам интерьерного продукта можно отнести:

• ${\ displaystyle i _ {\ alpha} \ circ i _ {\ alpha} = 0.}$
• ${\ displaystyle i _ {\ alpha} \ circ i _ {\ beta} = - i _ {\ beta} \ circ i _ {\ alpha}.}$

Двойственность Ходжа

Предположим, что V имеет конечную размерность n . Тогда внутреннее произведение индуцирует канонический изоморфизм векторных пространств

${\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (V ^ {*}) \ otimes {\ textstyle \ bigwedge} ^ {n} (V) \ to {\ textstyle \ bigwedge} ^ {nk} (V) }$

по рекурсивному определению

${\ displaystyle i _ {\ alpha \ wedge \ beta} = i _ {\ beta} \ circ i _ {\ alpha}.}$

В геометрической постановке ненулевой элемент верхней внешней степени Λ ⁿ ( V ) (который является одномерным векторным пространством) иногда называют формой объема (или формой ориентации , хотя этот термин может иногда приводить к двусмысленности) . Форма ориентации имени происходит из того факта, что выбор предпочтительного верхнего элемента определяет ориентацию всей внешней алгебры, поскольку это равносильно фиксации упорядоченного базиса векторного пространства. Относительно предпочтительной формы объема σ изоморфизм явно задается формулой

${\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (V ^ {*}) \ to {\ textstyle \ bigwedge} ^ {nk} (V): \ alpha \ mapsto i _ {\ alpha} \ sigma.}$

Если в дополнение к форме объема векторное пространство V оснащено внутренним произведением, отождествляющим V с V ^∗ , то полученный изоморфизм называется звездным оператором Ходжа , который отображает элемент в его двойственный по Ходжу :

${\ displaystyle \ star: {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (V) \ rightarrow {\ textstyle \ bigwedge} ^ {nk} (V).}$

Композиция с собой отображает Λ ^k ( V ) → Λ ^k ( V ) и всегда является скалярным кратным тождественного отображения. В большинстве случаев, форма объема является совместимой с внутренним произведением в том смысле , что она является внешним продуктом ортонормированного из V . В этом случае, ${\ displaystyle \ star}$

${\ displaystyle \ star \ circ \ star: {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (V) \ to {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (V) = (- 1) ^ {k (nk) + q} \ mathrm {id}}$

где id - отображение идентичности, а внутренний продукт имеет метрическую подпись ( p , q ) - p плюсов и q минусов.

Внутренний продукт

Для V конечномерного пространства скалярное произведение (или псевдоевклидово скалярное произведение) на V определяет изоморфизм V с V ^∗ , а значит, и изоморфизм Λ ^k V с (Λ ^k V ) ^∗ . Соединение этих двух пространств также принимает форму внутреннего продукта. На разложимых k -векторах

${\ displaystyle \ left \ langle v_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge v_ {k}, w_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge w_ {k} \ right \ rangle = \ det (\ langle v_ {i} , w_ {j} \ rangle),}$

определитель матрицы внутренних продуктов. В частном случае V _я = ш _I , скалярное произведение есть квадрат норма K -вектором, дается определитель Определитель Грама (⟨ об _I , v _J ⟩) . Это затем распространяется билинейно (или sesquilinearly в комплексном случае) к невырожденному скалярному произведению на Л ^K V . Если е _я , я = 1, 2, ..., п , образуют ортогональный базис в V , то векторы вида

${\ displaystyle e_ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {i_ {k}}, \ quad i_ {1} <\ cdots <i_ {k},}$

составляют ортонормированный базис для Λ ^k ( V ).

Что касается внутреннего произведения, внешнее умножение и внутреннее произведение взаимно сопряжены. В частности, для v ∈ Λ ^{k −1} ( V ) , w ∈ Λ ^k ( V ) и x ∈ V ,

${\ Displaystyle \ langle х \ клин \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ rangle = \ langle \ mathbf {v}, i_ {x ^ {\ flat}} \ mathbf {w} \ rangle}$

где x ^♭ ∈ V ^∗ - музыкальный изоморфизм , линейный функционал, определяемый формулой

${\ displaystyle x ^ {\ flat} (y) = \ langle x, y \ rangle}$

для всех у ∈ V . Это свойство полностью характеризует внутреннее произведение на внешней алгебре.

Действительно, в более общем случае для v ∈ Λ ^{k - l} ( V ) , w ∈ Λ ^k ( V ) и x ∈ Λ ^l ( V ) итерация указанных выше сопряженных свойств дает

${\ displaystyle \ langle \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ rangle = \ langle \ mathbf {v}, i _ {\ mathbf {x} ^ {\ flat}} \ mathbf { w} \ rangle}$

где теперь x ^♭ ∈ Λ ^l ( V ^∗ ) ≃ (Λ ^l ( V )) ^∗ - двойственный l -вектор, определяемый формулой

${\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ flat} (\ mathbf {y}) = \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle}$

для всех y ∈ Λ ^l ( V ) .

Структура биалгебры

Существует соответствие между двумя градуированными градуированной алгеброй Л ( V ) и переменной полилинейные формами на V . Внешняя алгебра (так же, как и симметрическая алгебра ) наследует структуру биалгебры и, действительно, структуру алгебры Хопфа от тензорной алгебры . См. Статью о тензорных алгебрах для подробного рассмотрения этой темы.

Внешнее произведение полилинейных форм, определенных выше, двойственно копроизведению, определенному на Λ ( V ), задающему структуру коалгебры . Копроизведение является линейной функцией Δ: Л ( V ) → A ( V ) ⊗ Л ( V ) , который задается

${\ Displaystyle \ Delta (v) = 1 \ otimes v + v \ otimes 1}$

на элементах v ∈ V . Символ 1 обозначает единичный элемент поля K . Напомним, что K ⊂ Λ ( V ), так что указанное выше действительно лежит в Λ ( V ) ⊗ Λ ( V ). Это определение копроизведения поднимается до полного пространства Λ ( V ) с помощью (линейного) гомоморфизма. Правильная форма этого гомоморфизма - это не то, что можно было бы наивно написать, но она должна быть тщательно определена в статье о коалгебре . В этом случае получаем

${\ displaystyle \ Delta (v \ wedge w) = 1 \ otimes (v \ wedge w) + v \ otimes ww \ otimes v + (v \ wedge w) \ otimes 1.}$

Подробно раскрывая это, мы получаем следующее выражение для разложимых элементов:

${\ displaystyle \ Delta (x_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge x_ {k}) = \ sum _ {p = 0} ^ {k} \; \ sum _ {\ sigma \ in Sh (p + 1, kp)} \; \ operatorname {sgn} (\ sigma) (x _ {\ sigma (0)} \ wedge \ cdots \ wedge x _ {\ sigma (p)}) \ otimes (x _ {\ sigma (p + 1) } \ wedge \ cdots \ wedge x _ {\ sigma (k)}).}$

где второе суммирование ведется по всем ( p +1, k - p ) -разбросам . Вышеупомянутое написано с помощью нотации, чтобы отслеживать элемент поля 1: уловка состоит в том, чтобы писать , и это перетасовывается в различные места во время расширения суммы путем перемешивания. Перетасовка непосредственно вытекает из первой аксиомы со-алгебры: относительный порядок элементов будет сохранен в Riffle перетасовки: с винтовками перетасовать просто делит упорядоченную последовательность на две упорядоченных последовательности, один слева и один справа . ${\ displaystyle x_ {0} = 1}$${\ displaystyle x_ {k}}$

Заметим, что копроизведение сохраняет градуировку алгебры. Продолжая до полного пространства Λ ( V ), имеем

${\ displaystyle \ Delta: {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (V) \ to \ bigoplus _ {p = 0} ^ {k} {\ textstyle \ bigwedge} ^ {p} (V) \ otimes {\ textstyle \ bigwedge} ^ {kp} (V)}$

Символ тензора ⊗, используемый в этом разделе, следует понимать с некоторой осторожностью: это не тот же символ тензора, который используется в определении чередующегося произведения. Интуитивно, пожалуй, проще всего представить это просто еще одним, но другим тензорным произведением: оно все еще (би-) линейно, каким должно быть тензорное произведение, но это произведение, подходящее для определения биалгебры, которое есть, для создания объекта Λ ( V ) ⊗ Λ ( V ). Любые сохраняющиеся сомнения можно развеять, если поразмыслить над равенствами (1 ⊗ v ) ∧ (1 ⊗ w ) = 1 ⊗ ( v ∧ w ) и ( v ⊗ 1) ∧ (1 ⊗ w ) = v ⊗ w , которые следуют из определение коалгебры, в отличие от наивных манипуляций с использованием символов тензора и клина. Более подробно это различие развито в статье о тензорных алгебрах . Здесь проблема гораздо меньше, поскольку знакопеременное произведение Λ явно соответствует умножению в биалгебре, оставляя символ ⊗ свободным для использования в определении биалгебры. На практике это не представляет особой проблемы, если избежать фатальной ловушки замены чередующихся сумм символом клина, за одним исключением. Из ⊗ можно построить чередующийся продукт, понимая, что он работает в другом пространстве. Непосредственно ниже приводится пример: альтернативное произведение для двойственного пространства может быть дано в терминах копроизведения. Конструкция биалгебры здесь почти полностью параллельна конструкции в статье о тензорной алгебре , за исключением необходимости правильно отслеживать знакопеременные знаки для внешней алгебры.

С точки зрения копродукта, внешний продукт в двойственном пространстве является просто градуированным двойственным продуктом:

${\ Displaystyle (\ альфа \ клин \ бета) (x_ {1} \ клин \ cdots \ клин x_ {k}) = (\ альфа \ otimes \ beta) \ left (\ Delta (x_ {1} \ клин \ cdots \ wedge x_ {k}) \ right)}$

где тензорное произведение в правой части является полилинейным линейным отображением (продолженным нулем на элементы несовместимой однородной степени: точнее, α ∧ β = ε ∘ ( α ⊗ β ) ∘ Δ , где ε - число, так как определено в настоящее время).

Коединица гомоморфизм ε  : Λ ( V ) → K , что возвращает 0-градуированный компонент своего аргумента. Копроизведение и счетчик вместе с внешним произведением определяют структуру биалгебры на внешней алгебре.

С антиподом, определенным на однородных элементах с помощью , внешняя алгебра, кроме того, является алгеброй Хопфа . ${\ Displaystyle S (х) = (- 1) ^ {\ binom {{\ text {deg}} \, x \, + 1} {2}} x}$

Функциональность

Предположим, что V и W - пара векторных пространств, а f  : V → W - линейное отображение . Тогда по универсальному свойству существует единственный гомоморфизм градуированных алгебр

${\ Displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} (е): {\ textstyle \ bigwedge} (V) \ rightarrow {\ textstyle \ bigwedge} (W)}$

такой, что

${\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} (f) \ left | _ {{\ textstyle \ bigwedge} ^ {1} (V)} \ right. = f: V = {\ textstyle \ bigwedge} ^ {1} ( V) \ rightarrow W = {\ textstyle \ bigwedge} ^ {1} (W).}$

В частности, Λ ( f ) сохраняет однородную степень. К -градуироваиным компонентам Л ( ф ) приведены на разлагаемых элементы по

${\ Displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} (е) (x_ {1} \ клин \ cdots \ клин x_ {k}) = f (x_ {1}) \ клин \ cdots \ клин f (x_ {k}). }$

Позволять

${\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (f) = {\ textstyle \ bigwedge} (f) \ left | _ {{\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (V)} \ right.: { \ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (V) \ rightarrow {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (W).}$

Компоненты преобразования Λ ^k ( f ) относительно базиса V и W - матрица k × k миноров f . В частности, если V = W и V имеет конечную размерность п , то Λ ^п ( е ) представляет собой отображение одного-мерного векторного пространства Л ^п V к самому себе, и, следовательно , задается скаляр: в определителе из F .

Точность

Если - короткая точная последовательность векторных пространств, то ${\ Displaystyle 0 \ к U \ к V \ к W \ к 0}$

${\ displaystyle 0 \ to {\ textstyle \ bigwedge} ^ {1} (U) \ wedge {\ textstyle \ bigwedge} (V) \ to {\ textstyle \ bigwedge} (V) \ to {\ textstyle \ bigwedge} ( W) \ до 0}$

является точной последовательностью градуированных векторных пространств, как и

${\ displaystyle 0 \ to {\ textstyle \ bigwedge} (U) \ to {\ textstyle \ bigwedge} (V).}$

Прямые суммы

В частности, внешняя алгебра прямой суммы изоморфна тензорному произведению внешних алгебр:

${\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} (V \ oplus W) \ cong {\ textstyle \ bigwedge} (V) \ otimes {\ textstyle \ bigwedge} (W).}$

Это градуированный изоморфизм; т.е.

${\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (V \ oplus W) \ cong \ bigoplus _ {p + q = k} {\ textstyle \ bigwedge} ^ {p} (V) \ otimes {\ textstyle \ bigwedge} ^ {q} (W).}$

Вообще говоря, для короткой точной последовательности векторных пространств существует естественная фильтрация${\ displaystyle 0 \ к U \ xrightarrow {f} V \ xrightarrow {g} W \ to 0}$

${\ displaystyle 0 = F ^ {0} \ substeq F ^ {1} \ substeq \ cdots \ substeq F ^ {k} \ substeq F ^ {k + 1} = {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (V )}$

где for охватывает элементы формы для и . Соответствующие факторы допускают естественный изоморфизм ${\ displaystyle F ^ {p}}$${\ displaystyle p \ geq 1}$${\ Displaystyle и_ {1} \ клин \ ldots \ клин и_ {к-1-р} \ клин v_ {1} \ клин \ ldots v_ {р-1}}$${\ displaystyle u_ {i} \ in U}$${\ displaystyle v_ {i} \ in V}$

${\ Displaystyle F ^ {p + 1} / F ^ {p} \ cong {\ textstyle \ bigwedge} ^ {kp} (U) \ otimes {\ textstyle \ bigwedge} ^ {p} (W)}$ дано ${\ displaystyle u_ {1} \ wedge \ ldots \ wedge u_ {k-1-p} \ wedge v_ {1} \ wedge \ ldots \ wedge v_ {p-1} \ mapsto u_ {1} \ wedge \ ldots \ клин u_ {k-1-p} \ otimes g (v_ {1}) \ wedge \ ldots \ wedge g (v_ {p-1}).}$

В частности, если U одномерно, то

${\ displaystyle 0 \ к U \ otimes {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k-1} (W) \ to {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (V) \ to {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k } (W) \ до 0}$

точно, а если W одномерно, то

${\ displaystyle 0 \ к {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (U) \ к {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (V) \ to {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k-1} (U ) \ время от W \ до 0}$

точно.

Приложения

Линейная алгебра

В приложениях к линейной алгебре , внешний виду продукт обеспечивает абстрактный алгебраический способ для описания определителя и несовершеннолетних из в матрице . Например, хорошо известно, что определитель квадратной матрицы равен объему параллелоэдра, стороны которого являются столбцами матрицы (со знаком для отслеживания ориентации). Это предполагает, что определитель может быть определен в терминах внешнего произведения векторов-столбцов. Точно так же миноры k × k матрицы можно определить, глядя на внешние произведения векторов-столбцов, выбранных k за раз. Эти идеи можно распространить не только на матрицы, но и на линейные преобразования : детерминант линейного преобразования - это коэффициент, с помощью которого он масштабирует ориентированный объем любого заданного эталонного параллелоэдра. Таким образом, детерминант линейного преобразования может быть определен в терминах того, что преобразование делает с высшей внешней мощностью. Действие трансформации на меньшие внешние силы дает независимый от основы способ говорить о младших трансформациях.

Технические детали: Определения

Пусть - n -мерное векторное пространство над полем с базисом . ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle \ {е_ {1}, \ ldots, е_ {п} \}}$

• В случае определим на простых тензорах формулой${\ displaystyle A \ in \ operatorname {End} (V)}$${\ textstyle \ bigwedge ^ {k} A \ in \ operatorname {End} (\ bigwedge ^ {k} V)}$
  $${\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} A (v_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge v_ {k}) = Av_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge Av_ {k}}$$

  
  и расширим определение линейно на все тензоры. В более общем смысле, мы можем определить простые тензоры как${\ textstyle \ bigwedge ^ {p} A ^ {k} \ in \ operatorname {End} (\ bigwedge ^ {p} V), (p \ geq k)}$
  $${\ displaystyle \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {p} A ^ {k} \ right) (v_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge v_ {p}) = \ sum _ {0 \ leq i_ { 1} <\ cdots <i_ {k} \ leq p} v_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge Av_ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge Av_ {i_ {k}} \ wedge \ cdots \ wedge v_ {p}}$$

  
  т.е. выберите k компонентов, на которые будет действовать A , затем просуммируйте все результаты, полученные в результате различных выборов. Если , определите . Поскольку он одномерный с базисом , мы можем отождествить его с уникальным числом, удовлетворяющим${\ displaystyle p <k}$${\ textstyle \ bigwedge ^ {p} A ^ {k} = 0}$${\ textstyle \ bigwedge ^ {n} V}$${\ Displaystyle е_ {1} \ клин \ cdots \ клин е_ {п}}$${\ textstyle \ bigwedge ^ {n} A ^ {k}}$${\ displaystyle \ kappa \ in K}$
  $${\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {n} A ^ {k} (e_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {n}) = \ kappa (e_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge e_ { n}).}$$

  
• Для определите внешний транспонирование как единственный оператор, удовлетворяющий${\ displaystyle \ varphi \ in \ operatorname {End} ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {p} V)}$ ${\ textstyle \ varphi ^ {\ mathrm {T}} \ in \ operatorname {End} (\ bigwedge ^ {np} V)}$
  $${\ displaystyle \ forall \ omega _ {p} \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {p} V, \ omega _ {np} \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {np} V, (\ varphi ^ { \ mathrm {T}} \ omega _ {np}) \ wedge \ omega _ {p} = \ omega _ {np} \ wedge (\ varphi \ omega _ {p})}$$

  
• Для определения . Эти определения эквивалентны другим версиям.${\ displaystyle A \ in \ operatorname {End} (V)}$${\ textstyle \ det A = \ bigwedge ^ {n} A ^ {n}, \ operatorname {Tr} (A) = \ bigwedge ^ {n} A ^ {1}, \ operatorname {adj} A = (\ bigwedge ^ {n-1} A ^ {n-1}) ^ {\ mathrm {T}}}$

Основные свойства

Все результаты, полученные из других определений определителя, следа и сопряженного, могут быть получены из этого определения (поскольку эти определения эквивалентны). Вот некоторые основные свойства, связанные с этими новыми определениями:

• ${\ Displaystyle (\ cdot) ^ {\ mathrm {T}}}$является -линейным.${\ displaystyle K}$
• ${\ displaystyle (AB) ^ {\ mathrm {T}} = B ^ {\ mathrm {T}} A ^ {\ mathrm {T}}.}$
• У нас есть канонический изоморфизм
  $${\ displaystyle {\ begin {case} \ psi: \ operatorname {End} ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} V) \ cong \ operatorname {End} ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {nk} V) \\ A \ mapsto A ^ {\ mathrm {T}} \ end {case}}}$$

  
  Однако канонического изоморфизма между и${\ textstyle \ bigwedge ^ {k} V}$${\ textstyle \ bigwedge ^ {nk} V.}$
• ${\ textstyle \ OperatorName {Tr} \ left (\ bigwedge ^ {k} A \ right) = \ bigwedge ^ {n} A ^ {k}.}$Элементы транспонированной матрицы являются минорами .${\ textstyle \ bigwedge ^ {k} A}$${\ Displaystyle к \ раз к}$${\ displaystyle A}$
• ${\ displaystyle \ forall k \ leq n-1, p \ leq k, A \ in \ operatorname {End} (V),}$
  $${\ displaystyle \ sum _ {q = 0} ^ {p} \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {nk} A ^ {pq} \ right) ^ {\ mathrm {T}} \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} A ^ {q} \ right) = \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {n} A ^ {p} \ right) \ operatorname {Id} \ in \ operatorname {End} ( V).}$$

  
  Особенно,
  $${\ displaystyle \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {n-1} A ^ {p-1} \ right) ^ {\ mathrm {T}} A + \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {n- 1} A ^ {p} \ right) ^ {\ mathrm {T}} = \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {n} A ^ {p} \ right) \ operatorname {Id}}$$

  
  и, следовательно
  $${\ Displaystyle (\ OperatorName {прил.} A) A = \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {n-1} A ^ {n-1} \ right) ^ {\ mathrm {T}} A = \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {n} A ^ {n} \ right) \ operatorname {Id} = (\ det A) \ operatorname {Id}.}$$

  
• ${\ displaystyle \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {n-1} A ^ {p} \ right) ^ {\ mathrm {T}} = \ sum _ {q = 0} ^ {p} \ left ( {\ textstyle \ bigwedge} ^ {n} A ^ {pq} \ right) (- A) ^ {q} = \ sum _ {q = 0} ^ {p} \ operatorname {Tr} \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {pq} A \ right) (- A) ^ {q}.}$
  Особенно,
  $${\ displaystyle \ operatorname {прил.} A = \ sum _ {q = 0} ^ {n-1} \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {n} A ^ {nq-1} \ right) (- A ) ^ {q}.}$$

  
• ${\ Displaystyle \ OperatorName {Tr} \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} \ operatorname {adj} A \ right) = {\ textstyle \ bigwedge} ^ {n} (\ operatorname {adj} A) ^ {к} = (\ det A) ^ {k-1} \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {n} A ^ {nk} \ right) = (\ det A) ^ {k-1} \ operatorname {Tr} \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {nk} A \ right).}$
• ${\ Displaystyle \ OperatorName {Tr} \ left (\ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {n-1} A ^ {k} \ right) ^ {\ mathrm {T}} \ right) = (nk) { \ textstyle \ bigwedge} ^ {n} A ^ {p} = (nk) \ operatorname {Tr} \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {p} A \ right).}$
• Характеристический полином из может быть задана${\ displaystyle \ operatorname {ch} _ {A} (t)}$${\ displaystyle A \ in \ operatorname {End} (V)}$
  $${\ displaystyle \ operatorname {ch} _ {A} (t) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ operatorname {Tr} \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} A \ right) (-t) ^ {nk} = \ сумма _ {k = 0} ^ {n} \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {n} A ^ {k} \ right) (- t) ^ {nk} .}$$

  
  Сходным образом,
  $${\ displaystyle \ operatorname {ch} _ {\ operatorname {adj} A} (t) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {n} (\ operatorname { adj} A) ^ {k} \ right) (- t) ^ {nk} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (\ det A) ^ {k-1} \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {n} A ^ {nk} \ right) (- t) ^ {nk}}$$