Эли Картан - Élie Cartan

Эли Картан
Эли Картан.jpg
Профессор Эли Джозеф Картан
Родился ( 1869-04-09 )9 апреля 1869 г.
Доломье, Изер , Франция
Умер 6 мая 1951 г. (1951-05-06)(82 года)
Париж, Франция
Национальность Франция
Альма-матер Парижский университет
Известен Группы Ли ( теорема Картана )
Векторные пространства и внешняя алгебра
Дифференциальная геометрия
Специальная и общая теория относительности
Дифференциальные формы
Квантовая механика ( спиноры , вращающиеся векторы )
Список вещей, названных в честь Эли Картана
Награды Премия Леконта (1930 г.)
Премия Лобачевского (1937 г.)
Президент Французской академии наук (1946 г.)
член Королевского общества (1947 г.)
Научная карьера
Поля Математика и физика
Учреждения École Normale Supérieure Парижского
университета
Тезис Sur la structure des groupes de transformations finis et continus  (1894).
Докторант Гастон Дарбу
Софус Ли
Докторанты Чарльз Эресманн
Мохсен Хаштрооди
Кентаро Яно
Другие известные студенты Шиинг-Шен Черн

Эли Джозеф Картан, ForMemRS ( французский:  [kaʁtɑ̃] ; 9 апреля 1869 - 6 мая 1951) был влиятельным французским математиком, который проделал фундаментальную работу в области теории групп Ли , дифференциальных систем (геометрическая формулировка уравнений в частных производных без координат ) и дифференциальных уравнений. геометрия . Он также внес значительный вклад в общую теорию относительности и, косвенно, в квантовую механику . Он широко известен как один из величайших математиков двадцатого века.

Его сын Анри Картан был влиятельным математиком, занимавшимся алгебраической топологией .

Жизнь

Эли Картан родился 9 апреля 1869 года в деревне Доломье, Изер, в семье Жозефа Картана (1837–1917) и Анны Коттаз (1841–1927). Джозеф Картан был деревенским кузнецом; Эли Картан вспоминал, что его детство прошло под «ударами наковальни, которые начинались каждое утро с рассвета», и что «его мать в те редкие минуты, когда она была свободна от заботы о детях и доме, работала с прялка ". У Эли была старшая сестра Жанна-Мари (1867–1931), которая стала портнихой; младший брат Леон (1872–1956), который стал кузнецом, работая в кузнице своего отца; и младшая сестра Анна Картан (1878–1923), которая, отчасти под влиянием Эли, поступила в École Normale Supérieure (как и Эли раньше) и выбрала карьеру учителя математики в лицее (средней школе).

Эли Картан поступил в начальную школу в Доломье и был лучшим учеником в школе. Один из его учителей, г-н Дюпюи, вспоминал, что «Эли Картан был застенчивым учеником, но в его глазах сиял необычный свет большого ума, и это сочеталось с прекрасной памятью». Антонин Дюбост , в то время представитель Isère , посетил школу и был впечатлен необычными способностями Картана. Он рекомендовал Картану принять участие в конкурсе на стипендию в лицее . Картан подготовился к конкурсу под руководством М. Дюпюи и прошел в возрасте десяти лет. Он провел пять лет (1880–1885) в Венском колледже, а затем два года (1885–1887) в лицее Гренобля. В 1887 году он перешел в лицей Янсон де Сэйли в Париже, чтобы изучать естественные науки в течение двух лет; там он познакомился и подружился со своим одноклассником Жаном-Батистом Перреном (1870–1942), который впоследствии стал известным физиком во Франции.

Картан поступил в Высшую нормальную школу в 1888 году. Он посещал там лекции Чарльза Эрмита (1822–1901), Жюля Таннери (1848–1910), Гастона Дарбу (1842–1917), Пола Аппеля (1855–1930), Эмиля Пикара ( 1856–1941), Эдуард Гурса (1858–1936) и Анри Пуанкаре (1854–1912), лекции которых Картан особенно ценил.

После окончания Высшей школы нормального образования в 1891 году Картан был призван во французскую армию, где прослужил один год и получил звание сержанта. В течение следующих двух лет (1892–1894) Картан вернулся в ENS и, следуя совету своего одноклассника Артура Тресса (1868–1958), который учился у Софуса Ли в 1888–1889 годах, работал над классификацией простых групп Ли. , который был начат Вильгельмом Киллингом . В 1892 году Ли приехал в Париж по приглашению Дарбу и Кожевника и впервые встретился с Картаном.

Картан защитил диссертацию «Строение конечных непрерывных групп преобразований» в 1894 году на факультете наук в Сорбонне. С 1894 по 1896 год Картан был лектором в Университете Монпелье ; с 1896 по 1903 год он был преподавателем факультета естественных наук Лионского университета .

В 1903 году, находясь в Лионе, Картан женился на Мари-Луизе Бьянкони (1880–1950); в том же году Картан стал профессором факультета естественных наук Университета Нанси . В 1904 году родился первый сын Картана , Анри Картан , который впоследствии стал влиятельным математиком; в 1906 году родился еще один сын, Жан Картан, ставший композитором. В 1909 году Картан переехал с семьей в Париж и работал преподавателем на факультете наук Сорбонны. В 1912 году Картан стал там профессором, основываясь на рекомендации Пуанкаре. Он оставался в Сорбонне до выхода на пенсию в 1940 году и последние годы жизни преподавал математику в Высшей школе для девочек.

Геометр Шиинг-Шен Черн, ученик Картана, писал:

Обычно на следующий день после [встречи с Картаном] я получал от него письмо. Он говорил: «После того, как ты ушел, я больше думал о твоих вопросах ...» - у него были некоторые результаты, еще несколько вопросов и так далее. Он знал , что все эти документы на простых групп Ли , алгебры Ли , все наизусть. Когда вы видели его на улице, когда возникал какой-то вопрос, он вытаскивал какой-то старый конверт, что-то писал и давал вам ответ. А иногда мне требовались часы или даже дни, чтобы получить тот же ответ ... Мне приходилось очень много работать.

В 1921 году он стал иностранным членом Польской академии образования, а в 1937 году - иностранным членом Королевской Нидерландской академии искусств и наук . В 1938 году он участвовал в Международном комитете по организации Международных конгрессов за единство науки.

Он умер в 1951 году в Париже после продолжительной болезни.

В 1976 году его именем был назван лунный кратер . Ранее он назывался Аполлоний Д.

Работа

В Travaux Картан разбивает свою работу на 15 областей. Используя современную терминологию, это:

  1. Теория лжи
  2. Представления групп Ли
  3. Гиперкомплексные числа , алгебры с делением
  4. Системы уравнений в частных производных, теорема Картана – Келлера.
  5. Теория эквивалентности
  6. Интегрируемые системы , теория продолжения и системы в инволюции
  7. Бесконечномерные группы и псевдогруппы
  8. Дифференциальная геометрия и подвижные рамки
  9. Обобщенные пространства со структурными группами и связностями , связность Картана , голономия , тензор Вейля
  10. Геометрия и топология групп Ли
  11. Риманова геометрия
  12. Симметричные пространства
  13. Топология компактных групп и их однородных пространств
  14. Интегральные инварианты и классическая механика
  15. Относительность , спиноры

Математическую работу Картана можно охарактеризовать как развитие анализа дифференцируемых многообразий, который многие теперь считают центральной и наиболее важной частью современной математики и который он в первую очередь сформировал и развил. Эта область сосредоточена на группах Ли, системах с частными производными и дифференциальной геометрии; они, в основном благодаря вкладам Картана, теперь тесно переплетены и составляют единый и мощный инструмент.

Группы Ли

Картан был практически единственным в области групп Ли в течение тридцати лет после своей диссертации. Ли рассматривал эти группы главным образом как системы аналитических преобразований аналитического многообразия, аналитически зависящих от конечного числа параметров. Очень плодотворный подход к изучению этих групп был открыт в 1888 году, когда Вильгельм Киллинг систематически начал изучать группу как таковую, независимо от ее возможных действий на других многообразиях. В то время (и до 1920 г.) рассматривались только локальные свойства, поэтому основным объектом изучения для Киллинга была алгебра Ли группы, которая точно отражала локальные свойства в чисто алгебраических терминах. Великим достижением Киллинга было определение всех простых сложных алгебр Ли; его доказательства, однако, часто были ошибочными, и диссертация Картана была посвящена в основном обеспечению строгого обоснования локальной теории и доказательству существования исключительных алгебр Ли, принадлежащих каждому из типов простых комплексных алгебр Ли, которые, как показал Киллинг, быть возможно. Позже Картан завершил локальную теорию явным решением двух фундаментальных проблем, для которых ему пришлось разработать совершенно новые методы: классификацию простых вещественных алгебр Ли и определение всех неприводимых линейных представлений простых алгебр Ли с помощью понятия веса. представительства, которое он ввел с этой целью. Именно в процессе определения линейных представлений ортогональных групп Картан в 1913 году открыл спиноры , которые впоследствии сыграли столь важную роль в квантовой механике.

После 1925 г. Картана все больше интересовали топологические вопросы. Вдохновленный блестящими результатами Вейля о компактных группах, он разработал новые методы исследования глобальных свойств групп Ли; в частности, он показал, что топологически связная группа Ли является произведением евклидова пространства и компактной группы, а для компактных групп Ли он обнаружил, что возможные фундаментальные группы лежащего в основе многообразия можно прочитать из структуры алгебры Ли группы Ли. группа. Наконец, он обрисовал в общих чертах метод определения чисел Бетти компактных групп Ли, снова сведя проблему к алгебраическому вопросу об их алгебрах Ли, который с тех пор полностью решен.

Псевдогруппы Ли

После решения проблемы структуры групп Ли, которые Картан (вслед за Ли) назвал «конечными непрерывными группами» (или «группами конечных преобразований»), Картан поставил аналогичную проблему для «бесконечных непрерывных групп», которые теперь называются псевдогруппами Ли), бесконечномерный аналог групп Ли (есть и другие бесконечные обобщения групп Ли). Псевдогруппа Ли, рассматриваемая Картаном, представляет собой набор преобразований между подмножествами пространства, которое содержит идентичное преобразование и обладает тем свойством, что результат композиции двух преобразований в этом наборе (когда это возможно) принадлежит одному и тому же набору. Поскольку композиция двух преобразований не всегда возможна, набор преобразований - это не группа (а группоид в современной терминологии), отсюда и название псевдогруппы. Картан рассматривал только те преобразования многообразий, для которых нет разделения многообразий на классы, транспонированные рассматриваемыми преобразованиями. Такие псевдогруппы преобразований называются примитивными. Картан показал, что каждая бесконечномерная примитивная псевдогруппа комплексных аналитических преобразований принадлежит одному из шести классов: 1) псевдогруппе всех аналитических преобразований n комплексных переменных; 2) псевдогруппа всех аналитических преобразований n комплексных переменных с постоянным якобианом (т. Е. Преобразований, которые умножают все объемы на одно и то же комплексное число); 3) псевдогруппа всех аналитических преобразований n комплексных переменных, якобиан которых равен единице (т. Е. Преобразований, сохраняющих объемы); 4) псевдогруппа всех аналитических преобразований 2n> 4 комплексных переменных, сохраняющих некоторый двойной интеграл (симплектическая псевдогруппа); 5) псевдогруппа всех аналитических преобразований 2n> 4 комплексных переменных, умножающих упомянутый двойной интеграл на комплексную функцию; 6) псевдогруппа всех аналитических преобразований 2n + 1 комплексных переменных, умножающих некоторую форму на комплексную функцию (контактная псевдогруппа). Существуют аналогичные классы псевдогрупп для примитивных псевдогрупп вещественных преобразований, определяемых аналитическими функциями вещественных переменных.

Дифференциальные системы

Методы Картана в теории дифференциальных систем, возможно, являются его самым глубоким достижением. Нарушая традицию, он с самого начала стремился формулировать и решать проблемы полностью инвариантным образом, независимо от какого-либо конкретного выбора переменных и неизвестных функций. Таким образом, он впервые смог дать точное определение того, что является «общим» решением произвольной дифференциальной системы. Следующим его шагом была попытка определить все «особые» решения с помощью метода «продолжения», заключающегося в присоединении новых неизвестных и новых уравнений к данной системе таким образом, чтобы любое сингулярное решение исходной системы стало общее решение новой системы. Хотя Картан показал, что в каждом примере, который он рассматривал, его метод приводил к полному определению всех сингулярных решений, ему не удалось в целом доказать, что это всегда будет иметь место для произвольной системы; такое доказательство было получено в 1955 году Масатаке Кураниши .

Основным инструментом Картана было исчисление внешних дифференциальных форм, которое он помог создать и развить в течение десяти лет после своей диссертации, а затем приступил к применению к множеству задач дифференциальной геометрии, групп Ли, аналитической динамики и общей теории относительности. Он обсуждал большое количество примеров, рассматривая их в чрезвычайно эллиптическом стиле, что стало возможным только благодаря его сверхъестественной алгебраической и геометрической проницательности.

Дифференциальная геометрия

Вклад Картана в дифференциальную геометрию не менее впечатляет, и можно сказать, что он оживил весь предмет, поскольку первоначальная работа Римана и Дарбу терялась в унылых вычислениях и второстепенных результатах, так же, как это произошло с элементарной геометрией и теорией инвариантов. поколением раньше. Его руководящим принципом было значительное расширение метода «движущихся систем отсчета» Дарбу и Рибокура, которому он придал огромную гибкость и мощь, намного превосходящую все, что было сделано в классической дифференциальной геометрии. Говоря современным языком, метод состоит в том, чтобы связать пучок волокон E с основным пучком волокон, имеющим ту же основу и имеющим в каждой точке базы слой, равный группе, которая действует на слой E в той же точке. Если E - касательное расслоение над базой (которое, поскольку Ли было по существу известно как многообразие «контактных элементов»), соответствующая группа является общей линейной группой (или ортогональной группой в классической евклидовой или римановой геометрии). Способность Картана обращаться со многими другими типами волокон и групп позволяет приписать ему первую общую идею пучка волокон, хотя он никогда не определял ее явно. Эта концепция стала одной из самых важных во всех областях современной математики, главным образом в глобальной дифференциальной геометрии, а также в алгебраической и дифференциальной топологии. Картан использовал его, чтобы сформулировать свое определение связи, которое теперь используется повсеместно и вытеснило предыдущие попытки нескольких геометров, предпринятые после 1917 года, найти тип «геометрии», более общий, чем риманова модель, и, возможно, лучше приспособленный к описанию. Вселенной в соответствии с общей теорией относительности.

Картан показал, как использовать свою концепцию связи, чтобы получить гораздо более элегантное и простое представление римановой геометрии. Однако его главным вкладом в последнее было открытие и исследование симметричных римановых пространств, один из немногих случаев, когда инициатор математической теории был также тем, кто довел ее до конца. Симметричные римановы пространства могут быть определены различными способами, простейший из которых постулирует существование вокруг каждой точки пространства «симметрии», которая является инволютивной, оставляет точку неподвижной и сохраняет расстояния. Неожиданный факт, обнаруженный Картаном, состоит в том, что можно дать полное описание этих пространств с помощью классификации простых групп Ли; Поэтому неудивительно, что в различных областях математики, таких как автоморфные функции и аналитическая теория чисел (очевидно, далеких от дифференциальной геометрии), эти пространства играют все более важную роль.

Альтернативная теория общей теории относительности

Картан создал конкурирующую теорию гравитации, также теорию Эйнштейна – Картана .

Публикации

Статьи Картана собраны в его 6 томах Oeuvrescompètes. (Париж, 1952–1955). Два замечательных некролога - это С. С. Черн и К. Шевалле в Бюллетене Американского математического общества, 58 (1952); и Дж. Х. К. Уайтхед, в Некрологе Королевского общества (1952).

  • Картан, Эли (1894), Sur la structure des groupes de transformations finis et continus , Thesis, Nony
  • Картан Эли (1899), "Sur specifices expressions différentielles et le problème de Pfaff", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 3 (на французском языке), Париж: Gauthier-Villars, 16 : 239–332, doi : 10.24033 /asens.467 , ISSN  0012-9593 , JFM  30.0313.04
  • Leçons sur les invariants intégraux , Герман, Париж, 1922 г.
  • La Géométrie des espaces de Riemann , 1925 год.
  • Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann , Готье-Виллар, 1928 г.
  • La Théorie des groupes finis et continus et l'analysis situs , Готье-Виллар, 1930 г.
  • Leçons sur la géométrie проективный комплекс , Готье-Виллар, 1931 г.
  • Абсолютный параллелизм и теория чемпионов , Герман, 1932 г.
  • Les Espaces Métriques Fondés sur la Notion d'Arie , Герман, 1933 г.
  • La méthode de repère mobile, la théorie des groupes continus, et les espaces généralisés , 1935 г.
  • Leçons sur la théorie des espaces à connected projective , Готье-Виллар, 1937 г.
  • Теория конечных групп и континентов и геометрических отличий по методу мобильного репертуара , Готье-Виллар, 1937 г.
  • Картан, Эли (1981) [1938], Теория спиноров , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-64070-9, MR  0631850
  • Les systèmes différentiels extérieurs et leurs application géométriques , Герман, 1945 г.
  • Oeuvres complete, 3 части в 6 томах, Париж с 1952 по 1955 год, перепечатано CNRS 1984:
    • Часть 1: Groupes de Lie (в 2-х томах), 1952 г.
    • Часть 2, т. 1: Algèbre, formes différentielles, systèmes différentiels, 1953 г.
    • Часть 2, т. 2: Groupes finis, Systèmes différentiels, теории эквивалентности, 1953 г.
    • Часть 3, т. 1. Дайверы, géométrie différentielle, 1955 год.
    • Часть 3, т. 2: Géométrie différentielle, 1955 г.
  • Эли Картан и Альберт Эйнштейн: Письма об абсолютном параллелизме, 1929–1932 / оригинальный текст на французском и немецком языках, пер. Жюль Лерой и Джим Риттер, изд. Роберт Дебевер, Princeton University Press, 1979 г.

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

Английские переводы некоторых его книг и статей: