Антикоммутативное свойство - Anticommutative property

В математике , антикоммутативности является специфическим свойством некоторых не- коммутативных операций . В математической физике , где симметрия имеет центральное значение, эти операции в основном называются антисимметричными операциями и расширяются в ассоциативной среде, чтобы охватить более двух аргументов . Изменение местами двух аргументов антисимметричной операции дает результат, обратный результату с аргументами без замены. Понятие инверсия относится к групповой структуре в кодомене операции , возможно, с другой операцией, например сложением .

Вычитание - это антикоммутативная операция, потому что - ( a - b ) = b - a . Например, 2-10 = - (10-2) = −8.

Ярким примером антикоммутативной операции является скобка Ли .

Определение

Если два абелевых групп , билинейное отображение является антикоммутативным , если для всех у нас есть ${\ displaystyle A, B}$ ${\ displaystyle f: A ^ {2} \ to B}$${\ displaystyle x, y \ in A}$

${\ displaystyle f (x, y) = - f (y, x).}$

В более общем смысле, полилинейное отображение является антикоммутативным, если для всех мы имеем ${\ displaystyle g: A ^ {n} \ to B}$${\ displaystyle x_ {1}, \ dots x_ {n} \ in A}$

${\ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, \ dots x_ {n}) = {\ text {sgn}} (\ sigma) g (x _ {\ sigma (1)}, x _ {\ sigma ( 2)}, \ dots x _ {\ sigma (n)})}$

где есть знак о перестановке . ${\ displaystyle {\ text {sgn}} (\ sigma)}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

Характеристики

Если абелева группа не имеет 2- кручения , откуда следует, что если то , то любое антикоммутативное билинейное отображение удовлетворяет ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle x = -x}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle f: A ^ {2} \ to B}$

${\ displaystyle f (x, x) = 0.}$

В более общем смысле, переставляя два элемента, любое антикоммутативное полилинейное отображение удовлетворяет ${\ displaystyle g: A ^ {n} \ to B}$

${\ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, \ dots x_ {n}) = 0}$

если какие-либо из них равны; такое отображение называется альтернированным . И наоборот, при использовании мультилинейности любое альтернативное отображение антикоммутативно. В двоичном случае это работает следующим образом: если знакопеременный, то по билинейности имеем ${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle f: A ^ {2} \ to B}$

${\ Displaystyle е (х + у, х + у) = е (х, х) + е (х, у) + е (у, х) + е (у, у) = е (х, у) + е (y, x) = 0}$

и доказательство в полилинейном случае такое же, но только для двух входов.

Примеры

Примеры антикоммутативных бинарных операций включают:

• Перекрестное произведение
• Скобка Ли алгебры Ли
• Скобка Ли кольца Ли
• Вычитание

Смотрите также

• Коммутативность
• Коммутатор
• Внешняя алгебра
• Градуированно-коммутативное кольцо
• Операция (математика)
• Симметрия в математике
• Статистика частиц (для антикоммутативности в физике).

Рекомендации

• Бурбаки, Николас (1989), "Глава III. Тензорные алгебры , внешние алгебры , симметрические алгебры ", Алгебра. Главы 1-3 , Элементы математики (2-е изд.), Берлин - Гейдельберг - Нью-Йорк : Springer-Verlag , ISBN   3-540-64243-9 , Руководство по ремонту   0979982 , Zbl   0904.00001 .

внешняя ссылка

• Гайнов, А.Т. (2001) [1994], "Антикоммутативная алгебра" , Энциклопедия математики , EMS Press . Что отсылает к оригинальной русской работе
• Вайсштейн, Эрик В. «Антикоммутативный» . MathWorld .