Линейная алгебра - Linear algebra

Линейная алгебра - это раздел математики, касающийся линейных уравнений, таких как:

${\ displaystyle a_ {1} x_ {1} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} = b,}$

линейные карты, такие как:

${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ mapsto a_ {1} x_ {1} + \ cdots + a_ {n} x_ {n},}$

и их представления в векторных пространствах и через матрицы .

Линейная алгебра занимает центральное место почти во всех областях математики. Например, линейная алгебра является фундаментальной в современных представлениях о геометрии , в том числе для определения основных объектов, таких как линии , плоскости и вращения . Кроме того, функциональный анализ , раздел математического анализа, можно рассматривать как приложение линейной алгебры к пространствам функций .

Линейная алгебра также используется в большинстве наук и областей техники , поскольку она позволяет моделировать многие природные явления и эффективно проводить вычисления с такими моделями. Для нелинейных систем , которые не могут быть смоделированы с линейной алгеброй, он часто используются для борьбы с аппроксимациями первого порядка , используя тот факт , что дифференциал из многомерной функции в точке является линейным отображением , что лучше аппроксимирует функцию вблизи этой точки.

История

Порядок решения линейных уравнений теперь называются исключения Гаусса появляется в древней китайской математической текст восьмой главы: прямоугольные массивы из Математика в девяти книгах . Его использование проиллюстрировано в восемнадцати задачах с двумя-пятью уравнениями.

Системы линейных уравнений возникла в Европе с введением в 1637 году по Рене Декарта из координат в геометрии . Фактически, в этой новой геометрии, которая теперь называется декартовой геометрией , линии и плоскости представлены линейными уравнениями, и вычисление их пересечений сводится к решению системы линейных уравнений.

Первые систематические методы решения линейных систем использовали определители , впервые рассмотренные Лейбницем в 1693 году. В 1750 году Габриэль Крамер использовал их для получения явных решений линейных систем, которые теперь называются правилом Крамера . Позже Гаусс описал метод исключения, который изначально был отмечен как прогресс в геодезии .

В 1844 году Герман Грассман опубликовал свою «Теорию расширения», в которую вошли новые фундаментальные темы того, что сегодня называется линейной алгеброй. В 1848 году Джеймс Джозеф Сильвестр ввел термин « матрица» , который на латыни означает « матка» .

Линейная алгебра выросла с идеями, отмеченными в комплексной плоскости . Например, два числа w и z in имеют разность w - z , а отрезки и имеют одинаковую длину и направление. Сегменты равноудаленные . Четырехмерным система из кватернионов была начата в 1843 Термин вектор был введен как V = х I + у J + г K , представляющий точку в пространстве. Разность кватернионов p - q также дает сегмент, равный другим гиперкомплексным системам счисления, также использующим идею линейного пространства с базисом . ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ overline {wz}}}$${\ displaystyle {\ overline {0 (wz)}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle {\ overline {pq}}.}$

Артур Кэли ввел матричное умножение и обратную матрицу в 1856 году, что сделало возможной общую линейную группу . Для описания сложных и гиперкомплексных чисел стал доступен механизм группового представления . Важно отметить, что Кэли использовал одну букву для обозначения матрицы, таким образом рассматривая матрицу как совокупный объект. Он также осознал связь между матрицами и детерминантами и написал: «Можно было бы многое сказать об этой теории матриц, которая, как мне кажется, должна предшествовать теории детерминантов».

Бенджамин Пирс опубликовал свою линейную ассоциативную алгебру (1872 г.), а его сын Чарльз Сандерс Пирс позже расширил эту работу.

Телеграф требуется пояснительная система, а издание 1873 Трактата об электричестве и магнетизме ввело теорию поля сил и требует дифференциальной геометрии для экспрессии. Линейная алгебра - это плоская дифференциальная геометрия, служащая в касательных пространствах к многообразиям . Электромагнитные симметрии пространства-времени выражаются преобразованиями Лоренца , и большая часть истории линейной алгебры - это история преобразований Лоренца .

Первое современное и более точное определение векторного пространства было введено Пеано в 1888 году; к 1900 г. возникла теория линейных преобразований конечномерных векторных пространств. Линейная алгебра приобрела свою современную форму в первой половине двадцатого века, когда многие идеи и методы предыдущих веков были обобщены в виде абстрактной алгебры . Развитие компьютеров привело к расширению исследований эффективных алгоритмов исключения Гаусса и разложения матриц, а линейная алгебра стала важным инструментом моделирования и симуляций.

Векторные пространства

До 19 века линейная алгебра вводилась через системы линейных уравнений и матриц . В современной математике представление в векторных пространствах обычно предпочтительнее, поскольку оно более синтетическое , более общее (не ограничиваясь конечномерным случаем) и концептуально проще, хотя и более абстрактно.

Векторное пространство над полем F (часто полем действительных чисел ) - это множество V, снабженное двумя бинарными операциями, удовлетворяющими следующим аксиомам . Элементы из V называются векторами , а элементы F называются скаляры . Первая операция, сложение векторов , берет любые два вектора v и w и выводит третий вектор v + w . Вторая операция, скалярное умножение , берет любой скаляр a и любой вектор v и выводит новый вектор a v . Аксиомы, которым должно удовлетворять сложение и скалярное умножение, следующие. (В приведенном ниже списке u , v и w - произвольные элементы V , а a и b - произвольные скаляры в поле F. )

Аксиома	Смысл
Ассоциативность сложения	и + ( v + w ) = ( u + v ) + w
Коммутативность сложения	и + v = v + u
Идентификационный элемент дополнения	Там существует элемент 0 в V , называется нулевым вектором (или просто равна нулю ), так что v + 0 = v для всех V в V .
Обратные элементы сложения	Для каждого v в V существует элемент - v в V , называемый аддитивным обратным к v , такой, что v + (- v ) = 0
Дистрибутивность скалярного умножения по сложению векторов	а ( и + v ) = а и + а v
Дистрибутивность скалярного умножения по сложению полей	( a + b ) v = a v + b v
Совместимость скалярного умножения с умножением полей	a ( b v ) = ( ab ) v
Элемент идентичности скалярного умножения	1 v = v , где 1 обозначает мультипликативный идентичность из F .

Первые четыре аксиомы означают , что V является абелевой группой относительно сложения.

Элемент определенного векторного пространства может иметь различную природу; например, это может быть последовательность , функция , многочлен или матрица . Линейная алгебра занимается теми свойствами таких объектов, которые являются общими для всех векторных пространств.

Линейные карты

Линейные отображения - это отображения между векторными пространствами, которые сохраняют структуру векторного пространства. Для двух векторных пространств V и W над полем F линейная карта (также называемая в некоторых контекстах линейным преобразованием или линейным отображением) является картой

${\ displaystyle T: V \ to W}$

который совместим со сложением и скалярным умножением, то есть

${\ displaystyle T (\ mathbf {u} + \ mathbf {v}) = T (\ mathbf {u}) + T (\ mathbf {v}), \ quad T (a \ mathbf {v}) = aT ( \ mathbf {v})}$

для любых векторов U , V в V и скаляра а в F .

Отсюда следует, что для любых векторов u , v в V и скаляров a , b в F выполняется

${\ Displaystyle T (a \ mathbf {u} + b \ mathbf {v}) = T (a \ mathbf {u}) + T (b \ mathbf {v}) = aT (\ mathbf {u}) + bT (\ mathbf {v})}$

При V = W является таким же , векторным пространством, линейное отображение также известно как линейный оператор на V . ${\ displaystyle T: V \ to V}$

Биективен линейное отображение между двумя векторными пространствами (то есть, каждый вектор из второго пространства связан с ровно один в первом) является изоморфизмом . Поскольку изоморфизм сохраняет линейную структуру, два изоморфных векторных пространства «по существу одинаковы» с точки зрения линейной алгебры в том смысле, что их нельзя различить с помощью свойств векторного пространства. Существенным вопросом в линейной алгебре является проверка того, является ли линейное отображение изоморфизмом или нет, и, если это не изоморфизм, нахождение его диапазона (или изображения) и набора элементов, которые отображаются в нулевой вектор, называемый ядром карты. Все эти вопросы можно решить, используя метод исключения Гаусса или какой-либо вариант этого алгоритма .

Подпространства, промежуток и базис

Изучение тех подмножеств векторных пространств, которые сами по себе являются векторными пространствами при индуцированных операциях, является фундаментальным, как и для многих математических структур. Эти подмножества называются линейными подпространствами . Точнее, линейное подпространство векторного пространства V над полем F является подмножеством W из V таким образом, что U + об и у в W , для каждого ¯u , V в W , и каждый а в F . (Этих условий достаточно для того, чтобы подразумевать, что W - векторное пространство.)

Например, если линейное отображение , то изображение T ( V ) из V , а прообраз T ^-1 ( 0 ) от 0 (называемое ядро или нулевое пространство ), являются линейные подпространства W и V , соответственно. ${\ displaystyle T: V \ to W}$

Другой важный способ формирования подпространства - рассмотрение линейных комбинаций множества векторов S : множества всех сумм

${\ displaystyle a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + a_ {2} \ mathbf {v} _ {2} + \ cdots + a_ {k} \ mathbf {v} _ {k},}$

где v ₁ , v ₂ , ..., v _K в S , а ₁ , ₂ , ..., _к в F образуют линейное подпространство называется оболочка из S . Оболочка S также является пересечение всех линейных подпространств , содержащих S . Другими словами, это наименьший (для отношения включения) линейного подпространства , содержащего S .

Набор векторов линейно независим, если ни один из них не находится в промежутке между другими. Эквивалентно, набор векторов S является линейно независимым, если единственный способ выразить нулевой вектор как линейную комбинацию элементов S - взять ноль для каждого коэффициента${\ displaystyle a_ {i}.}$

Набор векторов, охватывающий векторное пространство, называется охватывающим набором или генерирующим набором . Если охватывающее множество S является линейно зависимым (т.е. не линейно независим), то некоторый элемент ш из S находится в промежутке других элементов S , а пролет останется тем же , если удалить ш из S . Можно продолжать удалять элементы S до получения линейно независимого остовного множества . Такое линейно независимое множество , что пролеты векторного пространства V называется базисом из V . Важность базисов заключается в том, что они одновременно являются минимальными порождающими множествами и максимальными независимыми множествами. Точнее, если S - линейно независимое множество, а T - такое остовное множество, что существует такой базис B , что${\ Displaystyle S \ substeq T,}$${\ Displaystyle S \ substeq B \ substeq T.}$

Любые два базиса векторного пространства V имеет одинаковую мощность , которая называется размерностью из V ; это теорема размерности для векторных пространств . Кроме того, два векторных пространства над тем же полем F являются изоморфными тогда и только тогда , когда они имеют одинаковую размерность.

Если любой базис V (и, следовательно, каждый базис) имеет конечное число элементов, V - конечномерное векторное пространство . Если U является подпространством V , то тусклым U ≤ тусклым V . В случае , когда V конечномерно, равенство размеров влечет U = V .

Если U ₁ и U ₂ подпространства в V , то

${\ displaystyle \ dim (U_ {1} + U_ {2}) = \ dim U_ {1} + \ dim U_ {2} - \ dim (U_ {1} \ cap U_ {2}),}$

где обозначает промежуток${\ displaystyle U_ {1} + U_ {2}}$${\ displaystyle U_ {1} \ cup U_ {2}.}$

Матрицы

Матрицы позволяют явно манипулировать конечномерными векторными пространствами и линейными отображениями . Таким образом, их теория является важной частью линейной алгебры.

Пусть V - конечномерное векторное пространство над полем F , и ( v ₁ , v ₂ , ..., v _m ) - базис V (таким образом, m - размерность V ). По определению основы карта

${\ displaystyle {\ begin {align} (a_ {1}, \ ldots, a_ {m}) & \ mapsto a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + \ cdots a_ {m} \ mathbf {v } _ {m} \\ F ^ {m} & \ to V \ end {align}}}$

является биекцией из множества тех последовательностей из т элементов F , на V . Это изоморфизм векторных пространств, если он снабжен его стандартной структурой векторного пространства, где векторное сложение и скалярное умножение выполняются покомпонентно. ${\ displaystyle F ^ {m},}$${\ displaystyle F ^ {m}}$

Этот изоморфизм позволяет представить вектор его прообразом при этом изоморфизме, то есть вектором координат или матрицей столбца${\ Displaystyle (а_ {1}, \ ldots, а_ {м})}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\\ vdots \\ a_ {m} \ end {bmatrix}}.}$

Если W - другое конечномерное векторное пространство (возможно, то же самое), с базисом линейное отображение f из W в V хорошо определяется своими значениями на базисных элементах, то есть Таким образом, f хорошо представляется списком соответствующих матрицы столбцов. То есть, если ${\ displaystyle (\ mathbf {w} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {w} _ {n}),}$${\ displaystyle (е (\ mathbf {w} _ {1}), \ ldots, f (\ mathbf {w} _ {n})).}$

${\ displaystyle f (w_ {j}) = a_ {1, j} v_ {1} + \ cdots + a_ {m, j} v_ {m},}$

для j = 1, ..., n , то f представляется матрицей

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {1,1} & \ cdots & a_ {1, n} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m, 1} & \ cdots & a_ {m, n } \ end {bmatrix}},}$

с m строками и n столбцами.

Умножение матриц определяется таким образом, что произведение двух матриц является матрицей композиции соответствующих линейных карт, а произведение матрицы и матрицы столбца представляет собой матрицу столбца, представляющую результат применения представленной линейной карты к представленный вектор. Отсюда следует, что теория конечномерных векторных пространств и теория матриц - это два разных языка для выражения одних и тех же понятий.

Две матрицы, кодирующие одно и то же линейное преобразование в разных базисах, называются похожими . Можно доказать, что две матрицы подобны тогда и только тогда, когда одну можно преобразовать в другую с помощью элементарных операций со строками и столбцами . Для матрицы , представляющей собой линейное отображение из W в V , операции строк соответствуют изменению баз в V и операция столбцов соответствует изменению оснований в Вт . Каждая матрица похожа на единичную матрицу, возможно, ограниченную нулевыми строками и нулевыми столбцами. В терминах векторных пространств это означает, что для любого линейного отображения из W в V существуют такие базы, что часть базиса W отображается биективно на часть базиса V , а остальные базисные элементы W , если таковые имеются, отображаются в ноль. Исключение Гаусса является основным алгоритмом поиска этих элементарных операций и доказательства этих результатов.

Линейные системы

Конечный набор линейных уравнений с конечным набором переменных, например, или называется системой линейных уравнений или линейной системой . ${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}$${\ Displaystyle х, у, \ ldots, z}$

Системы линейных уравнений составляют фундаментальную часть линейной алгебры. Исторически линейная алгебра и теория матриц были разработаны для решения таких систем. В современном представлении линейной алгебры через векторные пространства и матрицы многие проблемы можно интерпретировать в терминах линейных систем.

Например, пусть

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {7} 2x && \; + \; && y && \; - \; && z && \; = \; && 8 \\ - 3x && \; - \; && y && \; + \; && 2z && \; = \; && - 11 \\ - 2x && \; + \; && y && \; + \; && 2z && \; = \; && - 3 \ end {alignat}}}$

( S )

- линейная система.

С такой системой можно связать ее матрицу

${\ displaystyle M = \ left [{\ begin {array} {rrr} 2 & 1 & -1 \\ - 3 & -1 & 2 \\ - 2 & 1 & 2 \ end {array}} \ right].}$

и его правый вектор-член

${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ begin {bmatrix} 8 \\ - 11 \\ - 3 \ end {bmatrix}}.}$

Пусть Т линейное преобразование , связанное с матрицей М . Решением системы ( S ) является вектор

${\ Displaystyle \ mathbf {X} = {\ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end {bmatrix}}}$

такой, что

${\ Displaystyle Т (\ mathbf {X}) = \ mathbf {v},}$

то есть элемент прообраза из V по Т .

Пусть ( S ' ) - ассоциированная однородная система , в которой правые части уравнений обращены в ноль:

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {7} 2x && \; + \; && y && \; - \; && z && \; = \; && 0 \\ - 3x && \; - \; && y && \; + \; && 2z && \; = \; && 0 \\ - 2x && \; + \; && y && \; + \; && 2z && \; = \; && 0 \ end {alignat}}}$

( S ' )

Растворы ( S» ) в точности элементы ядра из Т или, что эквивалентно, М .

Метод исключения Гаусса состоит из выполнения элементарных операций со строками над расширенной матрицей

${\ displaystyle \ left [\! {\ begin {array} {c | c} M & \ mathbf {v} \ end {array}} \! \ right] = \ left [{\ begin {array} {rrr | r } 2 & 1 & -1 & 8 \\ - 3 & -1 & 2 & -11 \\ - 2 & 1 & 2 & -3 \ end {array}} \ right]}$

для приведения его в вид пониженного ряда . Эти операции со строками не меняют набор решений системы уравнений. В этом примере форма сокращенного эшелона

${\ displaystyle \ left [\! {\ begin {array} {c | c} M & \ mathbf {v} \ end {array}} \! \ right] = \ left [{\ begin {array} {rrr | r } 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \ end {array}} \ right],}$

показывающий, что система ( S ) имеет единственное решение

${\ displaystyle {\ begin {align} x & = 2 \\ y & = 3 \\ z & = - 1 \ end {align}}}$

Из этой матричной интерпретации линейных систем следует, что одни и те же методы могут применяться для решения линейных систем и для многих операций с матрицами и линейных преобразований, которые включают вычисление рангов , ядер , обратных матриц .

Эндоморфизмы и квадратные матрицы

Линейный эндоморфизм - это линейное отображение, которое отображает векторное пространство V в себя. Если V имеет базис из n элементов, такой эндоморфизм представлен квадратной матрицей размера n .

Что касается общих линейных карт, линейные эндоморфизмы и квадратные матрицы обладают некоторыми специфическими свойствами, которые делают их изучение важной частью линейной алгебры, которая используется во многих частях математики, включая геометрические преобразования , изменения координат , квадратичные формы и многие другие части. математики.

Детерминант

Определитель квадратной матрицы A определяется как

${\ displaystyle \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} (- 1) ^ {\ sigma} a_ {1 \ sigma (1)} \ cdots a_ {n \ sigma (n)},}$

где это группа всех перестановок из п элементов, перестановка и четность перестановки. Матрица обратима тогда и только тогда, когда определитель обратим (т.е. ненулевой, если скаляры принадлежат полю). ${\ displaystyle S_ {n}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle (-1) ^ {\ sigma}}$

Правило Крамера - это выражение в замкнутой форме в терминах определителей решения системы n линейных уравнений от n неизвестных . Правило Крамера полезно для рассуждений о решении, но, за исключением n = 2 или 3 , оно редко используется для вычисления решения, поскольку метод исключения Гаусса является более быстрым алгоритмом.

Определитель эндоморфизма определитель матрицы , представляющей эндоморфизм в терминах некоторой упорядоченной основе. Это определение имеет смысл, поскольку этот определитель не зависит от выбора базиса.

Собственные значения и собственные векторы

Если F представляет собой линейный эндоморфизм векторного пространства V над полем F , собственный вектором из F является ненулевым вектором v из V таких , что F ( v ) = ср для некоторых скалярных а в F . Это скалярное является собственным значением из е .

Если размерность V конечна и был выбран базис, f и v могут быть представлены, соответственно, квадратной матрицей M и матрицей-столбцом z ; уравнение, определяющее собственные векторы и собственные значения, становится

${\ displaystyle Mz = az.}$

Используя единичную матрицу I , все элементы которой равны нулю, за исключением элементов главной диагонали, которые равны единице, это можно переписать

${\ displaystyle (M-aI) z = 0.}$

Поскольку z предполагается ненулевым, это означает, что M - aI - сингулярная матрица и, следовательно, ее определитель равен нулю. Собственные значения , таким образом, корни этого полинома${\ Displaystyle \ Det (M-AI)}$

${\ Displaystyle \ Det (xI-M).}$

Если V имеет размерность n , это монический многочлен степени n , называемый характеристическим многочленом матрицы (или эндоморфизма), и имеется не более n собственных значений.

Если существует базис, состоящий только из собственных векторов, матрица f на этом базисе имеет очень простую структуру: это диагональная матрица , в которой элементы на главной диагонали являются собственными значениями, а остальные элементы равны нулю. В этом случае эндоморфизм и матрица называются диагонализуемыми . В более общем смысле, эндоморфизм и матрица также называются диагонализируемыми, если они становятся диагонализуемыми после расширения поля скаляров. В этом расширенном смысле, если характеристический многочлен не имеет квадратов , то матрица диагонализуема.

Симметричная матрица всегда диагонализируема. Существуют недиагонализируемые матрицы, простейшая из которых

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}}$

(он не может быть диагонализован, поскольку его квадрат является нулевой матрицей , а квадрат ненулевой диагональной матрицы никогда не равен нулю).

Когда эндоморфизм не диагонализуем, существуют основания, на которых он имеет простую форму, хотя и не такую ​​простую, как диагональная. Нормальная форма Фробениуса не требует расширения поля скаляров и делает характеристический полином немедленно читаемый на матрице. Жордановая нормальная форма требует , чтобы расширить поле скаляра для вмещения всех собственных значений и отличается от диагональной формы только некоторых записями, которые только выше главной диагонали и равны 1.

Двойственность

Линейная форма представляет собой линейное отображение из векторного пространства над полем к полю скаляров , рассматриваются как векторное пространство над самими собой. Оснащенные поточечным сложением и умножением на скаляр, линейные формы образуют векторное пространство, называемое двойственным пространством к и обычно обозначаемое или . ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ displaystyle V '}$

Если является базисом (это означает, что V конечномерно), то можно определить для i = 1, ..., n линейное отображение такое, что и если j ≠ i . Эти линейные отображения образуют базис называется сопряженный базис из (Если V не конечномерен, то может быть определена аналогичным образом , они являются линейно независимыми, но не образуют базис.) ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle v_ {i} ^ {*}}$${\ Displaystyle v_ {я} ^ {*} (\ mathbf {e} _ {я}) = 1}$${\ Displaystyle v_ {я} ^ {*} (\ mathbf {e} _ {j}) = 0}$${\ displaystyle V ^ {*},}$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}.}$${\ displaystyle v_ {i} ^ {*}}$

Для in , карта ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle V}$

${\ Displaystyle от е \ к е (\ mathbf {v})}$

является линейной формой на. Это определяет каноническое линейное отображение из в двойственное к, называемое двузначным от . Эта каноническая карта является изоморфизмом, если она конечномерна, и это позволяет отождествлять ее с ее двумерным. (В бесконечномерном случае каноническое отображение инъективно, но не сюръективно.) ${\ displaystyle V ^ {*}.}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V ^ {**},}$${\ displaystyle V ^ {*},}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$

Таким образом, существует полная симметрия между конечномерным векторным пространством и двойственным ему. Это мотивирует частое использование в данном контексте обозначения на скобках.

${\ displaystyle \ langle f, \ mathbf {x} \ rangle}$

для обозначения . ${\ displaystyle f (\ mathbf {x})}$

Двойная карта

Позволять

${\ displaystyle f: V \ to W}$

- линейная карта. Для каждой линейной формы ч на W , то сложная функция ч ∘ е представляет собой линейную форму на V . Это определяет линейную карту

${\ displaystyle f ^ {*}: W ^ {*} \ to V ^ {*}}$

между двойственными пространствами, которое называется двойственным или транспонированным к f .

Если V и W конечномерны, а М представляет собой матрицу F в терминах некоторых упорядоченных баз, то матрица над двумя основаниями является транспонированной из M , получают путем замены строк и столбцов. ${\ displaystyle f ^ {*}}$ ${\ Displaystyle M ^ {\ mathsf {T}}}$

Если элементы векторных пространств и их двойники представлены векторами-столбцами, эта двойственность может быть выражена в скобках-обозначениях как

${\ displaystyle \ langle h ^ {\ mathsf {T}}, M \ mathbf {v} \ rangle = \ langle h ^ {\ mathsf {T}} M, \ mathbf {v} \ rangle.}$

Чтобы подчеркнуть эту симметрию, два члена этого равенства иногда записывают

${\ displaystyle \ langle h ^ {\ mathsf {T}} \ mid M \ mid \ mathbf {v} \ rangle.}$

Внутренние пространства продукта

Помимо этих основных понятий, линейная алгебра также изучает векторные пространства с дополнительной структурой, такой как внутренний продукт . Внутреннее произведение является примером билинейной формы и придает векторному пространству геометрическую структуру, позволяя определять длину и углы. Формально внутренний продукт - это карта

${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: V \ times V \ to F}$

который удовлетворяет следующим трем аксиомам для всех векторов u , v , w в V и всех скаляров a в F :

• Сопряженная симметрия:

  ${\ displaystyle \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle = {\ overline {\ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {u} \ rangle}}.}$

  В R он симметричен.

• Линейность по первому аргументу:

  ${\ displaystyle \ langle a \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle = a \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle.}$

  ${\ displaystyle \ langle \ mathbf {u} + \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ rangle = \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {w} \ rangle + \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ rangle.}$

• Положительная определенность :

  ${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {v} \ rangle \ geq 0}$с равенством только при v = 0.

Мы можем определить длину вектора v в V следующим образом:

${\ Displaystyle \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2} = \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {v} \ rangle,}$

и мы можем доказать неравенство Коши – Шварца :

${\ Displaystyle | \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle | \ leq \ | \ mathbf {u} \ | \ cdot \ | \ mathbf {v} \ |.}$

В частности, количество

${\ displaystyle {\ frac {| \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle |} {\ | \ mathbf {u} \ | \ cdot \ | \ mathbf {v} \ |}} \ leq 1,}$

и поэтому мы можем назвать эту величину косинусом угла между двумя векторами.

Два вектора ортогональны, если . Ортонормированный базис - это базис, в котором все базисные векторы имеют длину 1 и ортогональны друг другу. Для любого конечномерного векторного пространства ортонормированный базис может быть найден с помощью процедуры Грама – Шмидта . С ортонормированными базисами особенно легко иметь дело, поскольку если v = a ₁ v ₁ + ⋯ + a _n v _n , то . ${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle = 0}$ ${\ displaystyle a_ {i} = \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {v} _ {i} \ rangle}$

Внутренний продукт облегчает построение многих полезных концепций. Например, для данного преобразования T мы можем определить его эрмитово сопряженное T * как линейное преобразование, удовлетворяющее

${\ displaystyle \ langle T \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle = \ langle \ mathbf {u}, T ^ {*} \ mathbf {v} \ rangle.}$

Если T удовлетворяет TT * = T * T , мы называем T нормальным . Оказывается, что нормальные матрицами являются именно матрицами , которые имеют ортогональную систему собственных векторов , что оболочка V .

Связь с геометрией

Между линейной алгеброй и геометрией существует тесная взаимосвязь , которая началась с введения Рене Декартом в 1637 году декартовых координат . В этой новой (в то время) геометрии, теперь называемой декартовой геометрией , точки представлены декартовыми координатами , которые представляют собой последовательности трех действительных чисел (в случае обычного трехмерного пространства ). Основные объекты геометрии, которыми являются линии и плоскости , представлены линейными уравнениями. Таким образом, вычисление пересечений линий и плоскостей сводится к решению системы линейных уравнений. Это было одним из основных мотивов развития линейной алгебры.

Большинство геометрических преобразований , таких как переводы , вращения , отражения , жесткие движения , изометрии и проекции, преобразуют линии в линии. Отсюда следует, что они могут быть определены, уточнены и изучены в терминах линейных отображений. Это также относится к омографиям и преобразованиям Мёбиуса , если рассматривать их как преобразования проективного пространства .

До конца 19 века геометрические пространства определялись аксиомами, связывающими точки, линии и плоскости ( синтетическая геометрия ). Примерно в это же время выяснилось, что геометрические пространства можно также определять конструкциями, включающими векторные пространства (см., Например, Проективное пространство и Аффинное пространство ). Было показано, что эти два подхода по существу эквивалентны. В классической геометрии задействованные векторные пространства являются векторными пространствами над вещественными числами, но конструкции могут быть расширены до векторных пространств над любым полем, что позволяет рассматривать геометрию над произвольными полями, включая конечные поля .

В настоящее время в большинстве учебников геометрические пространства вводятся из линейной алгебры, а геометрия часто представлена ​​на элементарном уровне как подполе линейной алгебры.

Использование и приложения

Линейная алгебра используется почти во всех областях математики, что делает ее актуальной почти во всех научных областях, в которых используется математика. Эти приложения можно разделить на несколько широких категорий.

Геометрия окружающего пространства

Моделирование из окружающего пространства основано на геометрии . Науки, занимающиеся этой геометрией пространства, широко используют. Так обстоит дело с механикой и робототехникой для описания динамики твердого тела ; геодезия для описания формы Земли ; перспективность , компьютерное зрение и компьютерная графика для описания взаимосвязи между сценой и ее представлением на плоскости; и многие другие области науки.

Во всех этих приложениях синтетическая геометрия часто используется для общего описания и качественного подхода, но для изучения явных ситуаций необходимо проводить вычисления с координатами . Это требует интенсивного использования линейной алгебры.

Функциональный анализ

Функциональный анализ изучает функциональные пространства . Это векторные пространства с дополнительной структурой, например гильбертовы пространства . Таким образом, линейная алгебра является фундаментальной частью функционального анализа и его приложений, которые включают, в частности, квантовую механику ( волновые функции ).

Изучение сложных систем

Большинство физических явлений моделируется уравнениями в частных производных . Чтобы решить их, обычно разбивают пространство, в котором ищутся решения, на небольшие взаимно взаимодействующие ячейки . Для линейных систем это взаимодействие включает линейные функции . Для нелинейных систем это взаимодействие часто аппроксимируется линейными функциями. В обоих случаях обычно используются очень большие матрицы. Прогнозирование погоды - типичный пример, когда вся атмосфера Земли делится на ячейки, скажем, 100 км шириной и 100 м высотой.

Научные вычисления

Почти все научные вычисления связаны с линейной алгеброй. Следовательно, алгоритмы линейной алгебры были сильно оптимизированы. BLAS и LAPACK - самые известные реализации. Для повышения эффективности некоторые из них настраивают алгоритмы автоматически во время выполнения, чтобы адаптировать их к специфике компьютера ( размер кеша , количество доступных ядер , ...).

Некоторые процессоры , обычно графические процессоры (GPU), имеют матричную структуру для оптимизации операций линейной алгебры.

Расширения и обобщения

В этом разделе представлены несколько связанных тем, которые обычно не встречаются в учебниках по линейной алгебре, но обычно рассматриваются в продвинутой математике как части линейной алгебры.

Теория модулей

Существование мультипликативных инверсий в полях не участвует в аксиомах, определяющих векторное пространство. Таким образом, можно заменить поле скаляров кольцом R , и это дает структуру, называемую модулем над R или R -модулем.

Понятия линейной независимости, промежутка, базиса и линейных отображений (также называемые гомоморфизмами модулей ) определены для модулей точно так же, как для векторных пространств, с той существенной разницей, что, если R не является полем, существуют модули, которые не имеют никаких основание. Модули, у которых есть базис, - это свободные модули , а те, которые натянуты на конечное множество, - это конечно порожденные модули . Модульные гомоморфизмы между конечно порожденными свободными модулями могут быть представлены матрицами. Теория матриц над кольцом аналогична теории матриц над полем, за исключением того, что определители существуют, только если кольцо коммутативно , и что квадратная матрица над коммутативным кольцом обратима, только если ее определитель имеет мультипликативный обратный в кольце .

Векторные пространства полностью характеризуются своей размерностью (с точностью до изоморфизма). В общем, не существует такой полной классификации модулей, даже если ограничиться конечно порожденными модулями. Однако каждый модуль является коядром гомоморфизма свободных модулей.

Модули над целыми числами можно отождествить с абелевыми группами , так как умножение на целое число может быть отождествлено с повторным сложением. Большая часть теории абелевых групп может быть распространена на модули над областью главных идеалов . В частности, над областью главных идеалов каждый подмодуль свободного модуля является свободным, и основная теорема о конечно порожденных абелевых группах может быть прямо распространена на конечно порожденные модули над главным кольцом.

Есть много колец, для которых существуют алгоритмы решения линейных уравнений и систем линейных уравнений. Однако эти алгоритмы обычно имеют вычислительную сложность, которая намного выше, чем аналогичные алгоритмы над полем. Дополнительные сведения см. В разделе Линейное уравнение над кольцом .

Полилинейная алгебра и тензоры

В полилинейной алгебре рассматриваются линейные преобразования с несколькими переменными, то есть отображения, линейные по каждой из ряда различных переменных. Это направление исследований естественным образом приводит к идее двойственного пространства , векторного пространства V ^∗, состоящего из линейных отображений f : V → F, где F - поле скаляров. Полилинейные отображения T : V ⁿ → F описываются тензорными произведениями элементов V ^∗ .

Если помимо векторного сложения и скалярного умножения существует билинейное векторное произведение V × V → V , векторное пространство называется алгеброй ; например, ассоциативные алгебры - это алгебры с ассоциированным векторным произведением (например, алгебра квадратных матриц или алгебра многочленов).

Топологические векторные пространства

Векторные пространства, которые не являются конечномерными, часто требуют дополнительной структуры для обработки. Нормированное векторное пространство является векторным пространством вместе с функцией называется нормой , которая измеряет «размер» элементы. Норма индуцирует метрику , которая измеряет расстояние между элементами, и индуцирует топологию , которая позволяет определять непрерывные отображения. Метрика также позволяет определить пределы и полноту - полное метрическое пространство известно как банахово пространство . Полное метрическое пространство вместе с дополнительной структурой внутреннего продукта (сопряженная симметричная полуторалинейная форма ) известно как гильбертово пространство , которое в некотором смысле является банаховым пространством с особенно хорошим поведением. Функциональный анализ применяет методы линейной алгебры наряду с методами математического анализа для изучения различных функциональных пространств; центральные объекты изучения в функциональном анализе L ^р пространства , которые являются банаховы пространства, и особенно L ² пространство квадратично интегрируемых функций, который является единственным гильбертово пространство между ними. Функциональный анализ имеет особое значение для квантовой механики, теории уравнений в частных производных, цифровой обработки сигналов и электротехники. Он также обеспечивает основу и теоретическую основу, лежащую в основе преобразования Фурье и связанных с ним методов.

Гомологическая алгебра

Смотрите также

• Фундаментальная матрица (компьютерное зрение)
• Геометрическая алгебра
• Линейное программирование
• Линейная регрессия , метод статистической оценки
• Список тем линейной алгебры
• Числовая линейная алгебра
• Матрица трансформации

Примечания

использованная литература

Источники

дальнейшее чтение

История

• Фернли-Сандер, Десмонд, « Герман Грассман и создание линейной алгебры », American Mathematical Monthly 86 (1979), стр. 809–817.
• Grassmann, Hermann (1844), Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetonomus.

Вводные учебники

• Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (прикладная версия) (9-е изд.), Wiley International
• Банерджи, Судипто; Рой, Аниндия (2014), Линейная алгебра и матричный анализ для статистики , Тексты в статистической науке (1-е изд.), Чепмен и Холл / CRC, ISBN 978-1420095388
• Бретчер, Отто (2004), линейная алгебра с приложениями (3-е изд.), Прентис Холл, ISBN 978-0-13-145334-0
• Фарин, Джеральд; Хансфорд, Дайан (2004), Практическая линейная алгебра: набор инструментов для геометрии , AK Peters, ISBN 978-1-56881-234-2
• Хефферон, Джим (2020). Линейная алгебра (4-е изд.). Анн-Арбор, Мичиган : Ортогональное издательство. ISBN 978-1-944325-11-4. OCLC  1178900366 . ПР  30872051М .
• Колман, Бернард; Хилл, Дэвид Р. (2007), Элементарная линейная алгебра с приложениями (9-е изд.), Прентис Холл, ISBN 978-0-13-229654-0
• Лэй, Дэвид С. (2005), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0-321-28713-7
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл, ISBN 978-0-13-185785-8
• Мурти, Катта Г. (2014) Вычислительная и алгоритмическая линейная алгебра и n-мерная геометрия , World Scientific Publishing, ISBN  978-981-4366-62-5 . Глава 1: Системы одновременных линейных уравнений
• Пул, Дэвид (2010), Линейная алгебра: современное введение (3-е изд.), Cengage - Brooks / Cole, ISBN 978-0-538-73545-2
• Рикардо, Генри (2010), Современное введение в линейную алгебру (1-е изд.), CRC Press, ISBN 978-1-4398-0040-9
• Садун, Лоренцо (2008), Прикладная линейная алгебра: принцип разделения (2-е изд.), AMS, ISBN 978-0-8218-4441-0
• Стрэнг, Гилберт (2016), Введение в линейную алгебру (5-е изд.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6
• Манга Руководство по линейной алгебре (2012), Шин Такахаши , Ироха Иноуэ и Trend-Pro Co., Ltd., ISBN  978-1-59327-413-9

Учебники для продвинутых

• Бхатия, Раджендра (15 ноября 1996 г.), Матричный анализ , Тексты для выпускников по математике , Springer, ISBN 978-0-387-94846-1
• Деммель, Джеймс У. (1 августа 1997 г.), прикладная числовая линейная алгебра , SIAM, ISBN 978-0-89871-389-3
• Дим, Гарри (2007), линейная алгебра в действии , AMS, ISBN 978-0-8218-3813-6
• Гантмахер, Феликс Р. (2005), Приложения теории матриц , Dover Publications, ISBN 978-0-486-44554-0
• Гантмахер, Феликс Р. (1990), Matrix Theory Vol. 1 (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1376-8
• Гантмахер, Феликс Р. (2000), Matrix Theory Vol. 2 (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-2664-5
• Гельфанд, Израиль М. (1989), Лекции по линейной алгебре , Dover Publications, ISBN 978-0-486-66082-0
• Глазман И.М.; Любич, Ю. I. (2006), Конечномерный линейный анализ , Dover Publications, ISBN 978-0-486-45332-3
• Голан, Джонатан С. (январь 2007 г.), Линейная алгебра, которую должен знать начинающий аспирант (2-е изд.), Springer, ISBN 978-1-4020-5494-5
• Голан, Джонатан С. (август 1995 г.), Основы линейной алгебры , Kluwer, ISBN 0-7923-3614-3
• Гройб, Вернер Х. (16 октября 1981 г.), Линейная алгебра , Тексты для выпускников по математике (4-е изд.), Springer, ISBN 978-0-8018-5414-9
• Хоффман, Кеннет; Кунце, Рэй (1971), Линейная алгебра (2-е изд.), Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc., MR  0276251
• Халмос, Пол Р. (20 августа 1993 г.), Конечномерные векторные пространства , Тексты для студентов по математике , Springer, ISBN 978-0-387-90093-3
• Фридберг, Стивен Х .; Insel, Arnold J .; Спенс, Лоуренс Э. (7 сентября 2018 г.), Линейная алгебра (5-е изд.), Пирсон, ISBN 978-0-13-486024-4
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (23 февраля 1990 г.), Матричный анализ , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (24 июня 1994 г.), Темы матричного анализа , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1
• Ланг, Серж (9 марта 2004 г.), Линейная алгебра , Тексты для бакалавриата по математике (3-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-96412-6
• Маркус, Марвин; Минк, Хенрик (2010), Обзор теории матриц и матричных неравенств , Dover Publications, ISBN 978-0-486-67102-4
• Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, Архивируются с оригинала на 31 октября 2009 года
• Мирский, Л. (1990), Введение в линейную алгебру , Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7
• Шафаревич И.Р . ; Ремизов, А. О (2012), Линейная алгебра и геометрия , Springer , ISBN 978-3-642-30993-9
• Шилов, Георгий Э. (1 июня 1977 г.), Линейная алгебра , Dover Publications, ISBN 978-0-486-63518-7
• Шорс, Томас С. (6 декабря 2006 г.), Прикладная линейная алгебра и матричный анализ , Тексты для студентов по математике, Springer, ISBN 978-0-387-33194-2
• Смит, Ларри (28 мая 1998 г.), Линейная алгебра , Тексты для студентов по математике, Springer, ISBN 978-0-387-98455-1
• Trefethen, Lloyd N .; Бау, Дэвид (1997), Численная линейная алгебра , SIAM, ISBN 978-0-898-71361-9

Учебные пособия и схемы

• Ледук, Стивен А. (1 мая 1996 г.), Линейная алгебра (быстрый обзор скал ) , Cliffs Notes, ISBN 978-0-8220-5331-6
• Липшуц, Сеймур; Липсон, Марк (6 декабря 2000 г.), Схема линейной алгебры Шаума (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-136200-9
• Липшуц, Сеймур (1 января 1989 г.), 3000 решенных задач линейной алгебры , McGraw – Hill, ISBN 978-0-07-038023-3
• МакМэхон, Дэвид (28 октября 2005 г.), « Демистификация линейной алгебры» , McGraw – Hill Professional, ISBN 978-0-07-146579-3
• Чжан, Фучжэнь (7 апреля 2009 г.), Линейная алгебра: сложные задачи для студентов , издательство Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-9125-0

внешние ссылки

Интернет-ресурсы

• Видеолекции по линейной алгебре Массачусетского технологического института , серия из 34 записанных лекций профессора Гилберта Стрэнга (весна 2010 г.)
• Международное общество линейной алгебры
• "Линейная алгебра" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Линейная алгебра в MathWorld
• Матричные термины и термины линейной алгебры о самых ранних случаях использования некоторых слов математики
• Самые ранние случаи использования символов для матриц и векторов при раннем использовании различных математических символов
• Суть линейной алгебры , видеопрезентация от 3Blue1Brown основ линейной алгебры, с акцентом на взаимосвязь между геометрической, матричной и абстрактной точками зрения.

Интернет-книги

• Маргалит, Дан; Рабинофф, Джозеф (2019). Интерактивная линейная алгебра . Технологический институт Джорджии , Атланта, Джорджия : самоиздан.
• Бизер, Роберт А. (2009) [2004]. Первый курс линейной алгебры . Гейнсвилл, Флорида : Университетское издательство Флориды . ISBN 9781616100049.
• Коннелл, Эдвин Х. (2004) [1999]. Элементы абстрактной и линейной алгебры . Университет Майами , Корал-Гейблс, Флорида : самоиздан.
• Хефферон, Джим (2020). Линейная алгебра (4-е изд.). Анн-Арбор, Мичиган : Ортогональное издательство. ISBN 978-1-944325-11-4. OCLC  1178900366 . ПР  30872051М .
• Мэтьюз, Кейт Р. (2013) [1991]. Элементарная линейная алгебра . Университет Квинсленда , Брисбен, Австралия : самоиздан.
• Микаэлян, Ваагн Х. (2020) [2017]. Линейная алгебра: теория и алгоритмы . Ереван, Армения : Самостоятельное издание - через ResearchGate .
• Шарипов, Руслан, Курс линейной алгебры и многомерной геометрии.
• Трейл, Сергей, Линейная алгебра сделали неправильно