Вывод (дифференциальная алгебра) - Derivation (differential algebra)

В математике , А вывод является функцией на алгебре , обобщающую определенные функции производной оператора. В частности, дается алгебра над кольцом или полем K , A K -дифференцирование является K - линейное отображение D  : → , которая удовлетворяет закону Лейбница :

${\ Displaystyle D (ab) = aD (b) + D (a) b.}$

Вообще, если M является - бимодулем , A K -линейного карта D  : → M , который удовлетворяет закону Лейбниц также называется дифференцированием. Совокупность всех K -дифференцирований A в себя обозначается Der _K ( A ). Набор K -дифференцирований модуля A в A -модуль M обозначается Der _K ( A , M ) .

Выводы происходят в разных контекстах в разных областях математики. Частная производная по отношению к переменному является R -дифференцированием на алгебре вещественных дифференцируемых функций на R ^н . Производная Ли по векторному полю является R -дифференцированием алгебры дифференцируемых функций на дифференцируемом многообразии ; в более общем смысле это вывод на тензорной алгебре многообразия. Отсюда следует, что присоединенное представление алгебры Ли является дифференцированием на этой алгебре. Производная Пинчерле является примером вывода в абстрактной алгебре . Если алгебра некоммутативен, то коммутатор по отношению к элементу алгебры А определяет линейный эндоморфизм от А к самому себе, что дифференцирование над K . Алгебра A с выделенным выводом d образует дифференциальную алгебру и сама по себе является важным объектом изучения в таких областях, как дифференциальная теория Галуа .

Характеристики

Если A - K -алгебра, для K - кольцо и D : A → A - K- дифференцирование, то

• Если A имеет единицу 1, то D (1) = D (1 ² ) = 2 D (1), так что D (1) = 0. Таким образом, по K- линейности D ( k ) = 0 для всех k ∈ K .
• Если A коммутативна, D ( x ² ) = xD ( x ) + D ( x ) x = 2 xD ( x ) и D ( x ⁿ ) = nx ^{n −1} D ( x ) по правилу Лейбница.
• Вообще говоря, для любых x ₁ , x ₂ ,…, x _n ∈ A по индукции следует, что

${\ Displaystyle D (x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n}) = \ sum _ {i} x_ {1} \ cdots x_ {i-1} D (x_ {i}) x_ {i + 1} \ cdots x_ {n}}$

то есть, если для всех i , D ( x _i ) коммутирует с . ${\ textstyle \ sum _ {i} D (x_ {i}) \ prod _ {j \ neq i} x_ {j}}$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {i-1}}$

• D ⁿ не является производным, а удовлетворяет правилу Лейбница высшего порядка:

${\ Displaystyle D ^ {n} (УФ) = \ сумма _ {к = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} \ cdot D ^ {nk} (u) \ cdot D ^ {k } (v).}$

Более того, если M - A -бимодуль, пишем

${\ displaystyle \ operatorname {Der} _ {K} (A, M)}$

для множества K -дифференцированиях от A до M .

• Der _К ( , М ) является модулем над K .
• Der _K ( A ) - алгебра Ли со скобкой Ли, определяемой коммутатором :

${\ displaystyle [D_ {1}, D_ {2}] = D_ {1} \ circ D_ {2} -D_ {2} \ circ D_ {1}.}$

поскольку легко проверить, что коммутатор двух дифференцирований снова является дифференцированием.

• Существует модуль Ом _{A / K} (называемых дифференциалы кэлеровы ) с К -дифференцирование д : → Ом _{/ К} , через которые любое дифференцирование D : → M факторы. То есть для любого дифференцирования D существует A -модульное отображение φ с

${\ displaystyle D: A {\ stackrel {d} {\ longrightarrow}} \ Omega _ {A / K} {\ stackrel {\ varphi} {\ longrightarrow}} M}$

Соответствие является изоморфизмом A -модулей: ${\ displaystyle D \ leftrightarrow \ varphi}$

${\ displaystyle \ operatorname {Der} _ {K} (A, M) \ simeq \ operatorname {Hom} _ {A} (\ Omega _ {A / K}, M)}$

• Если k ⊂ K - подкольцо , то A наследует структуру k -алгебры, поэтому имеется включение

${\ displaystyle \ operatorname {Der} _ {K} (A, M) \ subset \ operatorname {Der} _ {k} (A, M),}$

поскольку любое K -дифференцирование заведомо является k -дифференцированием.

Градуированные отводы

Для градуированной алгебры A и однородного линейного отображения D степени | D | на A , D является однородным дифференцированием, если

${\ Displaystyle {D (ab) = D (a) b + \ varepsilon ^ {| a || D |} aD (b)}}$

для любого однородного элемента a и каждого элемента b из A при коммутаторе ε = ± 1 . Градуированный вывод является суммой однородных отведений с тем же е .

Если ε = 1 , это определение сводится к обычному случаю. Однако если ε = −1 , то

${\ Displaystyle {D (ab) = D (a) b + (- 1) ^ {| a |} aD (b)}}$

для нечетных | D |, а D называется анти-производным .

Примеры анти-производных включают внешнюю производную и внутренний продукт, действующий на дифференциальные формы .

Градуированные дифференцирования супералгебр (то есть Z ₂ -градуированных алгебр) часто называют супердифференцированием .

Связанные понятия

Дифференцирования Хассе – Шмидта являются гомоморфизмами K -алгебр.

${\ displaystyle A \ to A [[t]].}$

Сочинение далее с картой , которая посылает формальный степенной ряд с коэффициентом дает вывод. ${\ Displaystyle \ сумма а_ {п} т ^ {п}}$${\ displaystyle a_ {1}}$

Смотрите также

• В дифференциальной геометрии производными являются касательные векторы
• Kähler дифференциал
• Производная Хассе
• p-вывод
• Производные Виртингера
• Производная экспоненциального отображения

Рекомендации

• Бурбаки, Николас (1989), Алгебра I , Элементы математики, Springer-Verlag, ISBN   3-540-64243-9 .
• Эйзенбуд, Дэвид (1999), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии (3-е изд.), Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-94269-8 .
• Мацумура, Хидеюки (1970), Коммутативная алгебра , серия лекций по математике, WA Benjamin, ISBN   978-0-8053-7025-6 .
• Коларж, Иван; Slovák, Jan; Мичор, Питер В. (1993), Естественные операции в дифференциальной геометрии , Springer-Verlag .