Дифференциальная геометрия - Differential geometry


Из Википедии, свободной энциклопедии
Треугольник погружает в плоскости седла-формы (а гиперболический параболоид ), а также две расходящегося ultraparallel линии .

Дифференциальная геометрия является математической дисциплиной , которая использует методы дифференциального исчисления , интегральное исчисление , линейную алгебру и полилинейных алгебры для изучения проблем в геометрии . Теории плоских и пространственных кривых и поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве послужили основой для развития дифференциальной геометрии в 18 веке и 19 - го века.

С конца 19 - го века, дифференциальная геометрия превратилась в поле в более общем смысле с геометрическими структурами на дифференцируемых многообразиях . Дифференциальная геометрия тесно связана с дифференциальной топологии и геометрические аспекты теории дифференциальных уравнений . Дифференциальная геометрия поверхностей захватывает многие из ключевых идей и методов , свойственных этой области.

История развития

Дифференциальная геометрия возникла и развивалась как результат , и в связи с математическим анализом кривых и поверхностей. Математический анализ кривых и поверхностей были разработан , чтобы ответить на некоторые из нытье и оставшихся без ответа вопросов , которые появились в исчислении , как и причины отношений между сложными формами и изгибами, серией и аналитическими функциями. Эти нерешенные вопросы указали большие, скрытые отношения.

Общая идея естественных уравнений для получения кривых из локальной кривизны , как представляется, была впервые рассмотрена Леонардом Эйлером в 1736 году, и были изучены множество примеров с довольно простым поведением в 1800 - х годах.

Когда были найдены кривые, поверхности , приложенные кривые и точки на кривых , чтобы быть количественно, и , как правило, связанные с математическими формами, формальное изучение характера кривых и поверхностей стала полем исследования в своем собственном праве, с Монжа «s бумаги в 1795 году, и особенно, с Гаусс «s публикации его статьи, озаглавленной 'Disquisitiones Генералес Circa суперфиция Curvas', в Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores в 1827 году.

Первоначально прикладываются к евклидову пространству, дальнейшие изыскания привели к неевклидовому пространству и метрическим и топологическим пространствам.

ветви

риманова геометрия

Риманова геометрия изучает риманова многообразия , гладкие многообразия с римановой метрикой . Это понятие расстояния выражается с помощью гладкой положительно определенной формы симметричной билинейной , определенной на касательном пространстве в каждой точке. Риманова геометрия обобщает евклидовой геометрии в пространствах, которые не обязательно плоские, хотя они все еще напоминают евклидово пространство в каждой точке бесконечно, то есть в первом приближении . Различные концепции , основанные на длину, такие как длина дуги из кривых , площадь плоских областей, и объем твердых веществ все обладают естественными аналогами в римановой геометрии. Понятие производной по направлению функции от многовариантного исчисления удлиняется в римановой геометрии к понятию ковариантной производной от более тензора . Многие понятия и методы анализа и дифференциальных уравнений были обобщены на установке римановых многообразий.

Расстояние сохраняющих Диффеоморфизм между риманова многообразия называется изометрией . Это понятие можно определить также локально , то есть для малых окрестностей точек. Любые две регулярных кривые локально изометрические. Тем не менее, Theorema Egregium из Гаусса показал , что для поверхностей, существование локальной изометрии накладывает жесткие условия совместимости на их метриках: при гауссовой кривизне в соответствующих точках должна быть одинаковой. В более высоких измерениях, тензор кривизны Римана является важным точечно инвариантно связан с риманова многообразия , который измеряет , насколько близко она должна быть плоской. Важный класс риманова многообразия является симметрические пространства , кривизна которого не обязательно постоянна. Это самые близкие аналоги к «обычной» плоскости и пространства , рассматриваемой в евклидовой и неевклидовой геометрии .

Псевдо-риманова геометрия

Псевдо-риманова геометрия обобщает римановой геометрии на случай , в котором метрический тензор не должен быть положительно определенной . Особый случай это лоренцево многообразие , которое является математической основой Эйнштейна общей теории относительности гравитации .

финслерова геометрия

Финслерово геометрия имеет финслеровы многообразия в качестве основного объекта исследования. Это дифференциальное многообразие с финслеровой метрикой , то есть банахово норма , определенная на каждом касательном пространстве. Риманова многообразия являются частными случаями более общих многообразий Финслеровых. Структура финслерово на многообразии М является функцией Р  : Т М → [0, ∞) таким образом, что:

  1. F ( х , моя ) = | м | Р ( х , у ) для всех х , у в Т М ,
  2. Р бесконечно дифференцируема в Т М ∖ {0} ,
  3. Вертикальной Гессиан F - положительно определен.

Симплектическая геометрия

Симплектическая геометрия является изучение симплектических многообразий . Почти симплектическое многообразие является дифференцируемым многообразием , снабженным плавно меняющейся невырожденным кососимметрической билинейной формой на каждом касательном пространстве, т.е. невырожденной 2- форму со , называется симплектическая форма . Симплектическое многообразие является почти симплектическое многообразие , для которого симплектическая форма ω замкнута: d ω = 0 .

Диффеоморфизм между двумя симплектическими многообразиями, сохраняет симплектическую форму называется симплектоморфизмом . Невырожденный кососимметричные билинейные формы могут существовать только на четномерных векторных пространствах, так симплектические многообразия обязательно имеют четную размерность. В размерности 2, симплектическое многообразие просто поверхность , снабженная формой площади и симплектоморфизм является областью диффеоморфизма. Фазовое пространство механической системы является симплектическим многообразием , и они сделали неявный вид уже в работе Жозеф Луи Лагранж по аналитической механике , а затем в Карл Густав Якоби «s и Уильям Роуэн Гамильтон » ы рецептур классической механики .

В отличие от римановой геометрии, где кривизна обеспечивает локальный инвариант риманова многообразия, теорема Дарбу утверждает , что все симплектические многообразия локально изоморфны. Единственные инварианты симплектического многообразия имеют глобальный характер и топологические аспекты играют важную роль в симплектической геометрии. Первый результат в симплектической топологии, вероятно, теорема Пуанкаре-Биркгофа , высказал предположение по Анри Пуанкаре , а затем доказывается Биркгофом в 1912 г. Он утверждает , что если область сохранения карты в кольцевом пространстве крутит каждую компоненту края в противоположных направлениях, то есть карта по меньшей мере , две неподвижные точки.

Контактная геометрия

Контактная геометрия сделок с определенными многообразий нечетной размерности. Он находится близко к симплектической геометрии и подобно последним, она возникла в вопросах классической механики. Контактная структура на (2 п + 1) n - мерное многообразие M задаются гладкой гиперплоскость поля Н в касательном расслоении , который, насколько это возможно от быть связаны с множествами уровня дифференцируемой функции на М (технический термин является «полностью неинтегрируемо распределением касательной гиперплоскости»). Вблизи каждой точки р , распределение гиперплоскость определяется нигде не исчезающей 1-формы , которая является единственно с точностью до умножения на нигде не исчезающей функции:

Локальная 1-форма на М представляет собой контактную форму , если ограничение ее внешней производной к Н является невырожденной две-формы и , таким образом , индуцирует симплектическую структуру на H р в каждой точке. Если распределение Н может быть определен с помощью глобальной одной формы , то эта форма контакт , если и только если вершина-мерной формы

является формой объема на М , т.е. не обращается в нуль нигде. Контакт аналог теоремы Дарба имеет: все контактные структуры на нечетном-мерном многообразии локально изоморфны и могут быть доведены до некоторой локальной нормальной формы с помощью соответствующего выбора системы координат.

Сложные и Келерова геометрия

Комплексная дифференциальная геометрия является изучение комплексных многообразий . Почти комплексное многообразие является реальным многообразием , наделенным тензором от типа (1, 1), т.е. векторного расслоения эндоморфизма ( так называемое почти комплексная структура )

, Таким образом, что

Из этого определения следует, что почти комплексное многообразие четномерно.

Почти комплексное многообразие называется сложным , если , где есть тензор типа (2, 1) , связанной с , называемый тензор Нийенхейса (или иногда кручение ). Почти комплексное многообразие является сложным , если и только если оно допускает голоморфный атлас координат . Почти эрмитова структура задаются почти комплексная структура J , наряду с римановой метрикой г , удовлетворяющим условие совместимости

,

Почти эрмитова структура определяет естественно дифференциал два-формы

,

Следующие два условия эквивалентны:

где есть связность Леви-Чивита из . В этом случае, называются кэлерово структуры и многообразие Кэлерова является многообразием наделенной структуры кэлеровой. В частности, многообразие Kähler является сложным и симплектическим многообразием . Большой класс кэлеровых многообразий (класс Ходжа многообразий ) дается всем гладкомышечных комплексных проективных многообразий .

CR геометрия

CR геометрия является исследованием внутренней геометрии границ областей в комплексных многообразиях .

Дифференциальная топология

Дифференциальная топология является изучение глобальных геометрических инвариантов без метрики или симплектической формы.

Дифференциальная топология начинается с естественных операций , таких как производной Ли природных векторных расслоений и дифференциал де Рама из форм . Кроме алгеброидов Ли , также Курант Алгеброиды начинают играть более важную роль.

группы Ли

Группа Ли является группа в категории гладких многообразий. Кроме алгебраических свойств этого получает удовольствие и дифференциально - геометрические свойства. Наиболее очевидным является то , что конструкция алгебры Ли , которая является касательное пространство в блоке , снабженном скобкой Ли между левоинвариантными векторных полей . Помимо структурной теории существует также широкое поле теории представлений .

Связки и соединения

Аппарат векторных расслоений , главных расслоений и соединений на пучки играет чрезвычайно важную роль в современной дифференциальной геометрии. Гладкое многообразие всегда носит естественный векторное расслоение, то касательное расслоение . Грубо говоря, эта структура самого по себе является достаточной только для разработки анализа на многообразии, при этом геометрии требует, кроме того, какое - то образом связать касательные пространства в различных точках, т.е. понятие параллельного переноса . Важный пример обеспечиваются аффинными соединениями . Для поверхности в R 3 , касательные плоскости в различных точках могут быть идентифицированы с использованием естественного путем-накрест параллелизма , индуцированный окружающей средой евклидова пространства, которое имеет хорошо известное стандартное определение метрики и параллелизм. В римановой геометрии , то связность Леви-Чивита служит той же цели. (Соединение Леви-Чивито определяет путь-накрест параллелизм в терминах заданных произвольных римановых метрик на многообразии.) В более общем смысле , дифференциальные геометры рассматривать пространства с векторным расслоением и произвольной аффинной связностью , который не определен в терминах метрики. В физике, многообразие может быть пространственно-временной континуум и расслоения и соединения связаны с различными физическими полями.

Характеристическая по сравнению с примесной

С самого начала и до середины 18 - го века, дифференциальная геометрия была изучена с внешней точки зрения: кривые и поверхности рассматривались как лежащие в евклидове пространства большей размерности (например , поверхность в окружающем пространстве трех измерений) , Простейшие результаты являются те , в дифференциальной геометрии кривых и дифференциальной геометрии поверхностей . Начиная с работы Римана , то внутренняя была разработана точка зрения, в которой нельзя говорить о движении «вне» геометрический объект , поскольку он считается дается в свободно стоящем пути. Основным результатом здесь является Гаусс Theorema egregium , о том , что гауссова кривизна является присущим инвариантной.

Внутренняя точка зрения является более гибкой. Например, полезно в теории относительности , где пространство-время не может , естественно , быть принятым в примесной (что было бы «вне» его?). Однако, есть цена , чтобы заплатить в технической сложности: внутренние определения кривизны и соединения становятся менее визуально интуитивным.

Эти две точки зрения могут быть согласованы, т.е. внешняя геометрия может рассматриваться как структура дополнительной к внутренним один. (См теоремы вложения Нэша .) В формализме геометрического исчисления как внешняя и внутренней геометрии коллектора можно охарактеризовать одним бивектора-значный одной формы называется оператор формы .

Приложения

Ниже приведены некоторые примеры того, как дифференциальная геометрия применяется к другим областям науки и математики.

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

  • Блох, Этан Д. (1996). Первоначальный курс в геометрической топологии и дифференциальной геометрии .
  • Берк, Уильям Л. (1985). Прикладная дифференциальная геометрия .
  • Кармо, Манфредо (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . ISBN  0-13-212589-7 . Классический геометрический подход к дифференциальной геометрии без анализа тензора.
  • Кармо, Манфредо (1994). Риманова геометрия .
  • Френкель, Теодор (2004). Геометрия физики: введение (. 2 - е изд). ISBN  0-521-53927-7 .
  • Серый, Альфред (1998). Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с Mathematica (2 - е изд.).
  • Kreyszig, Эрвин (1991). Дифференциальная геометрия . ISBN  0-486-66721-9 . Хороший классический геометрический подход к дифференциальной геометрии с тензором машин.
  • Кюнель, Вольфганг (2002). Дифференциальная геометрия: Кривые - Поверхности - Коллекторы (2 - е изд.). ISBN  0-8218-3988-8 .
  • McCleary, Джон (1994). Геометрия из дифференцируемого Viewpoint .
  • Спивак, Михаил (1999). Всестороннее Введение в дифференциальной геометрии (5 томов) (3 - е изд.).
  • тер Хаар Romeny, Барт М. (2003). Front-End видение и Multi-Scale анализ изображений . ISBN  1-4020-1507-0 .

внешняя ссылка