Алгебраическая топология - Algebraic topology


Из Википедии, свободной энциклопедии
Тор , один из наиболее часто изучаемых объектов в алгебраической топологии

Алгебраическая топология является ветвью математики , которая использует инструменты от абстрактной алгебры для изучения топологических пространств . Основная цель состоит в том, чтобы найти алгебраические инварианты , которые классифицируют топологические пространства до гомеоморфизма , хотя обычно большинство классифицирует до гомотопической эквивалентности .

Хотя алгебраическая топология прежде всего использует алгебру для изучения топологических задач, используя топологию для решения алгебраических задач иногда также возможно. Алгебраическая топология, например, позволяет удобное доказательство , что любая подгруппа из свободной группы является свободной группой.

Основные ветви алгебраической топологии

Ниже приведены некоторые из основных областей, изучаемых в алгебраической топологии:

Гомотопические группы

В математике, гомотопические группы используются в алгебраической топологии для классификации топологических пространств . Первая и самая простая гомотопическая группа является фундаментальной группой , которая записывает информацию о циклах в пространстве. Наглядно, гомотопические группы записывают информацию о базовой форме, или отверстий, топологического пространства.

гомология

В алгебраической топологии и абстрактной алгебре , гомологиях (в части из греческой ὁμός Homos «идентичный») определенная общая процедура , чтобы связать последовательность из абелевых групп или модулей с заданным математическим объектом , такими как топологическое пространство или группа .

Когомология

В теории гомологии и алгебраической топологии, когомология является общим термином для последовательности из абелевых групп , определенных из со-цепным комплекса . То есть, когомология определяется как абстрактное исследование коцепей , коциклов и кограниц . Когомологии можно рассматривать как метод присвоения алгебраических инвариантов в топологическое пространство , которое имеет более рафинированную алгебраическую структуру , чем делает гомологию . Когомология возникает из алгебраической дуализации построения гомологии. В менее абстрактном языке, Коцепи в фундаментальном смысле следует назначать «количества» к цепям теории гомологии.

Коллекторы

Многообразие является топологическим пространством , что вблизи каждой точки напоминает евклидово пространство . Примеры включают в себя плоскость , в сферу , и тор , который все может быть реализован в трех измерениях, но и бутылку Клейна и реальную проективную плоскость , которая не может быть реализована в трех измерениях, но может быть реализована в четырех измерений. Как правило, приводит к алгебраической топологии акцента на глобальных, недифференцируемых аспектах многообразия; например двойственности Пуанкаре .

теория узлов

Теория узлов является изучение математических узлов . В то время как вдохновленный узлов , которые появляются в повседневной жизни в шнурков и веревки, узел математиком отличается тем , что концы соединены друг с другом таким образом , что оно не может быть отменено. В точном математическом языке, узел является вложением из круга в 3-мерном евклидовом пространстве , . Два математические узлы эквивалентны , если одна может быть преобразованы в другую с помощью деформации на себя (известный как окружающую среду изотопия ); эти преобразования соответствуют манипуляциям накатанной строки, не вовлекает перерезав строку или передавая строку через себя.

Комплексы

Симплициальный 3-комплекса.

Симплициальный комплекс представляет собой топологическое пространство определенного вида, построенное «склейку» точки , линейные сегменты , треугольники , и их п - мерные аналоги (см иллюстрации). Симплициальные комплексы не следует путать с более абстрактным понятием симплициального множества появляющегося в современной теории симплициальной гомотопическому. Чисто комбинаторный аналог симплициального комплекса является абстрактным симплициальным комплексом .

Комплекс CW представляет собой тип топологического пространства вводится JHC Уайтхед для удовлетворения потребностей гомотопической теории . Этот класс пространств шире и имеет некоторые более категоричные свойства , чем симплициальные комплексы , но по- прежнему сохраняет комбинаторный характер , что позволяет для вычисления (часто с гораздо меньшим комплексом).

Метод алгебраических инвариантов

Старое название для субъекта был комбинаторной топологии , что подразумевает акцент на том , как пространство X был построен из более простых (современный стандартный инструмент для такого строительства является комплекс CW ). В 1920 - е и 1930 - е годы, росло внимание на исследовании топологических пространств, находя соответствия из них алгебраических групп , что привело к изменению названия в алгебраической топологии. Комбинаторное имя топологии до сих пор иногда используются , чтобы подчеркнуть алгоритмический подход , основанный на разложении пространств.

В алгебраическом подходе, можно найти соответствие между пространствами и группами , которое уважает отношение гомеоморфизма (или более общей гомотопности ) пространств. Это позволяет переделку заявления о топологических пространствах в заявления о группах, которые имеют большие управляемую структуру, часто делая эти заявления проще доказать. Два основных способа , в которых это можно сделать это через фундаментальные группы , или в более общем смысле гомотопической теории , и через гомологии и когомологий групп. Фундаментальные группы дают нам основную информацию о структуре топологического пространства, но они часто неабелевость и может быть трудно работать. Фундаментальная группа (конечного) симплициального комплекса действительно имеет конечное представление .

Гомологий и когомологий групп, с другой стороны, абелева и во многих важных случаях конечно порожденных. Конечно порожденных абелевых групп полностью классифицированы и особенно легко работать.

Установка в теории категорий

В общем, все конструкции алгебраической топологии являются функториальны ; понятия категории , функтора и естественного преобразования произошли здесь. Фундаментальные группы и гомологии и когомологий не только инварианты подстилающей топологического пространства, в том смысле , что два топологических пространства , которые гомеоморфны имеют те же связанные с ним группы, но связанные с ними морфизмы также соответствуют - непрерывное отображение пространств индуцирует гомоморфизм групп на соответствующие группы, и эти гомоморфизмы могут быть использованы , чтобы показать несуществование (или, гораздо более глубоко, существование) отображений.

Одним из первых математиков для работы с различными типами когомологий была Жорж де Рама . Можно использовать дифференциальную структуру гладких многообразий с помощью когомологий де Рамы , или Чеха или пучковых исследовать разрешимость дифференциальных уравнений , заданных на многообразии в вопросе. Де Рама показала , что все эти подходы были взаимосвязаны и что, для замкнутого, ориентированного многообразия, число Бетти , полученное через симплициальные гомологии были один и то же число Бетти как полученные с помощью когомологий де Рамы. Это было расширено в 1950 - е годы, когда Эйленберг и Стинрод обобщили этот подход. Они определили гомологии и когомологий в качестве функторов , оборудованных естественными преобразованиями при соблюдении определенных аксиом (например, слабая эквивалентность пространств проходит до изоморфизма групп гомологий), проверить , что все теории существующих (ко) гомологии удовлетворяет этим аксиомам, а затем оказалось , что такие аксиоматизация однозначно характеризовал теорию.

Применения алгебраической топологии

Классические приложения алгебраической топологии включают в себя:

Заметные алгебраические топологи

Важные теоремы в алгебраической топологии

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

дальнейшее чтение