Тензорное произведение - Tensor product

В математике , то тензорное произведение двух векторных пространств V и W (над одной и той же областью ) является векторным пространством , которые можно рассматривать как пространство всех тензоров , которые могут быть построены из векторов из его составных пространств с помощью дополнительной операции , которая может можно рассматривать как обобщение и абстракцию внешнего продукта . Из-за связи с тензорами, которые являются элементами тензорного произведения, тензорные произведения находят применение во многих областях применения, в том числе в физике и технике, хотя полная их теоретическая механика, описанная ниже, может там не цитироваться. Например, в ОТО , то гравитационное поле описывается через метрический тензор , который представляет собой поле (в смысле физики) тензоров, один в каждой точке в пространственно-временном многообразии , и каждый из которых живет в тензора самопроизведение касательных пространств в своей точке нахождения на многообразии (такой набор тензорных произведений, прикрепленных к другому пространству, называется тензорным расслоением ).

Тензоры в конечных размерах и внешний продукт

Демонстрирует тензорное произведение двух полиномов Бернштейна.

Концепция тензорного произведения обобщает идею формирования тензоров из векторов с использованием внешнего произведения, которое представляет собой операцию, которая может быть определена в конечномерных векторных пространствах с использованием матриц : заданных двух векторов и записанных в терминах компонентов, т. Е.

а также

их внешний продукт или продукт Кронекера задается матрицей

или, с точки зрения элементов, -й компонент

Матрица , образованная таким образом , соответствует естественному тензору , где такое понимается как полилинейная функционал на с помощью прослаивая его с матричным умножением между вектором и его двойным или транспонированным:

Важно отметить, что тензор, как написано, принимает два двойственных вектора - это важный момент, который будет рассмотрен позже. В случае конечных размеров не существует сильного различия между пространством и его двойственным пространством, однако оно имеет значение в бесконечных измерениях, и, более того, получение правильной части регулярного против двойственного имеет важное значение для обеспечения того, чтобы идея тензоров будучи развитым здесь, правильно соответствует другим смыслам, в которых они рассматриваются, например, с точки зрения преобразований, что является обычным в физике.

Построенные таким образом тензоры сами генерируют векторное пространство, когда мы добавляем и масштабируем их естественным покомпонентным образом, и, фактически, все полилинейные функционалы данного типа могут быть записаны в виде некоторой суммы внешних произведений, которые мы можем назвать чистыми тензорами или простые тензоры . Этого достаточно для определения тензорного произведения, когда мы можем записывать векторы и преобразования в терминах матриц, однако, чтобы получить полностью общую операцию, потребуется более абстрактный подход. В частности, мы хотели бы выделить «существенные особенности» тензорного произведения без необходимости указывать конкретную основу для его построения, и именно этим мы займемся в следующих разделах.

Абстрагирование тензорного произведения

Для достижения этой цели наиболее естественный способ продолжить - попытаться выделить существенное характеризующее свойство, которое будет описывать из всех возможных векторных пространств, которые мы могли бы построить из V и W , то, которое (с точностью до изоморфизма ) является их тензором. продукт, и который будет применяться без учета каких-либо произвольных вариантов, таких как выбор основы. И способ сделать это , чтобы перевернуть понятие тензорного «наизнанку» -instead просмотра тензоров как объекты , которые действуют на векторы в виде карты билинейной, мы будем рассматривать их как объекты , вместо того, чтобы быть действовало на для плодоовощного а билинейная карта. Уловка состоит в том, чтобы признать, что произведение Кронекера « сохраняет всю информацию » о том, какие векторы входили в него: отношения компонент вектора могут быть получены из

и из этих соотношений были восстановлены сами отдельные компоненты (с точностью до постоянного коэффициента). В результате одно внешнее произведение Кронекера может использоваться вместо пары векторов, которые его сформировали, и наоборот. Что наиболее важно, это означает, что мы можем записать любое билинейное отображение для любого третьего векторного пространства Z как однолинейное отображение, где

Таким образом, универсальное свойство состоит в том, что если у нас есть операция комбинирования и нам дано любое билинейное отображение упомянутой формы, существует ровно одно такое, которое удовлетворяет этому требованию. В этом нетрудно убедиться, если мы расширяемся в терминах базисов, но более важным моментом является то, что его можно использовать как способ характеризовать тензорное произведение, то есть мы можем использовать его для аксиоматического определения тензорного произведения с помощью нет ссылки на такое. Однако, прежде чем мы сможем это сделать, нам сначала нужно показать, что тензорное произведение существует и уникально для всех векторных пространств V и W, и для этого нам понадобится конструкция.

Конструктивное тензорное произведение

Бесплатное векторное пространство

Чтобы выполнить такое построение, первый шаг, который мы рассмотрим, включает введение так называемого « свободного векторного пространства » над заданным набором. Суть этой идеи в основном заключается в том, что мы сказали в первом разделе выше: поскольку общий тензор может быть записан двойной суммой

наиболее естественный способ подойти к этой проблеме как - то понять, как мы можем «забыть» о конкретном выборе оснований и которые используются здесь. В математике мы «забываем» о репрезентативных деталях чего-либо, устанавливая идентификацию, которая говорит нам, что две разные вещи, которые следует рассматривать как репрезентации одного и того же предмета, на самом деле таковы, т.е. , они есть »или« нет, они не », а затем« объединить вместе »все репрезентации как составляющие« представляемую вещь »без ссылки на какую-либо конкретную вещь, упаковывая их все вместе в единый набор. Формально мы сначала строим отношение эквивалентности , а затем берем фактор, установленный этим отношением.

Но прежде чем мы сможем это сделать, нам сначала нужно разработать то, что мы собираемся использовать в отношении отношения эквивалентности. Мы делаем это с другой стороны, «снизу вверх»: поскольку нам не гарантируется, по крайней мере, конструктивная основа при запуске из произвольных векторных пространств, мы могли бы вместо этого попытаться начать с гарантии того, что у нас есть один - то есть мы начнем сначала с рассмотрения «основы» как данности, а затем построим векторное пространство поверх него. С этой целью мы выполняем следующее: предположим, что это некоторый набор, который мы могли бы назвать абстрактным базисным набором . Теперь рассмотрим все формальные выражения вида

произвольной, но конечной длины и для которых являются скалярами и являются членами Интуитивно интуитивно, это линейная комбинация базисных векторов в обычном смысле расширения элемента векторного пространства. Мы называем это «формальным выражением», потому что технически умножение недопустимо, поскольку по умолчанию не существует определенной операции умножения для произвольного набора и произвольного поля скаляров. Вместо этого мы «притворимся» (аналогично определению мнимых чисел ), что это относится к чему-то, а затем будем манипулировать им в соответствии с правилами, которые мы ожидаем для векторного пространства, например, сумма двух таких строк с использованием одной и той же последовательности. членов ИС

где мы использовали ассоциативный , коммутативный и распределительный законы, чтобы преобразовать первую сумму во вторую. Продолжение этого способа для скалярных кратных и всех комбинаций векторов разной длины позволяет нам построить векторное сложение и скалярное умножение на этом наборе формальных выражений, и мы называем это свободным векторным пространством над записью. Обратите внимание, что элементы, рассматриваемые как длина -one формальные выражения с коэффициентом 1 спереди, образуют основу Гамеля для этого пространства.

Выражение тензорного произведения затем абстрагируется с учетом того, что если и представляют «абстрактные базисные векторы» из двух наборов и, т. Е., « » И « », то пары из них в декартовом произведении, т. Е. Принимаются как обозначающие тензорные произведения (обратите внимание, что тензорные произведения в выражении в некотором смысле «атомарны», то есть сложения и скалярные умножения не разделяют их ни на что другое, поэтому мы можем заменить их чем-то другим без изменения математической структуры.) С такой идентификацией мы можем таким образом определим тензорное произведение двух свободных векторных пространств и как нечто (еще предстоит решить), изоморфное

Отношение эквивалентности

Приведенное выше определение будет работать для любого векторного пространства, в котором мы можем указать базис, поскольку мы можем просто перестроить его как свободное векторное пространство над этим базисом: приведенная выше конструкция точно отражает то, как вы представляете векторы с помощью конструкции базиса Хамеля по дизайну. По сути, мы ничего не добились ... пока не сделаем это.

Теперь мы не предполагаем доступа к базам векторных пространств, и мы хотим сформировать тензорное произведение . Вместо этого мы будем принимать все из и в качестве «основы» для наращивания тензоры. Это следующая лучшая вещь, и единственная вещь, которую мы гарантированно сможем сделать, независимо от каких-либо проблем с поиском конкретной основы; это соответствует сложению произвольных внешних произведений произвольных векторов. Единственная разница здесь в том, что если мы воспользуемся конструкцией свободного векторного пространства и сформируем очевидное, у него будет много избыточных версий того, что должно быть одним и тем же тензором; возвращаясь к нашему базисному случаю, если мы рассмотрим пример, когда в стандартном базисе мы можем считать, что тензор, образованный векторами и т.е.

может также быть представлены другими суммами, например, суммы , используя отдельные основные тензоры , например ,

Они, будучи равными выражениями в конкретном случае, будут соответствовать различным элементам свободного векторного пространства, а именно

в первом случае и

во втором случае. Таким образом, мы должны их уплотнить - здесь вступает в игру отношение эквивалентности. Уловка для его построения состоит в том, чтобы заметить, что для любого вектора в векторном пространстве всегда можно представить его как сумму двух других векторов, а не как оригинал. Если ничего другого, пусть будет любой вектор, а затем возьмите - что также показывает, что если нам дан один вектор, а затем второй вектор, мы можем записать первый вектор в терминах второго вместе с подходящим третьим вектором (действительно, многими способами - просто рассмотрите скалярные кратные второго вектора в том же вычитании.).

Это полезно для нас, потому что внешнее произведение удовлетворяет следующим свойствам линейности, которые могут быть доказаны простой алгеброй на соответствующих матричных выражениях:

Если мы хотим связать внешний продукт , скажем, мы можем использовать первое соотношение выше вместе с подходящим выражением в виде суммы некоторого вектора и некоторого скалярного кратного

Равенство между двумя конкретными тензорами затем достигается, если использование приведенных выше правил позволит нам переставить одну сумму внешних произведений в другую, соответствующим образом разложив векторы - независимо от того, есть ли у нас набор фактических базисных векторов. Применяя это к нашему примеру выше, мы видим, что, конечно, у нас есть

для которого замена в

дает нам

а разумное использование свойств дистрибутивности позволяет нам преобразовать их в желаемую форму. Точно так же существует соответствующая «зеркальная» манипуляция с точки зрения элементов свободного векторного пространства и т. Д., И это, наконец, приводит нас к формальному определению тензорного произведения.

Собираем всю конструкцию вместе

Абстрактным тензорным произведением двух векторных пространств и над общим базовым полем является фактор-векторное пространство

где есть отношение эквивалентности из формального равенства , порожденное в предположении , что для каждого и принято в качестве формальных выражений в свободном векторном пространстве следующих удержаний:

Личность
Симметрия
подразумевает
Транзитивность
и подразумевает
Распределительность
а также
Скалярные кратные
а также

и затем проверка эквивалентности общих формальных выражений с помощью соответствующих манипуляций на их основе. Арифметика определяется на тензорном произведении путем выбора репрезентативных элементов, применения арифметических правил и, наконец, взятия класса эквивалентности. Кроме того, для любых двух векторов и класса эквивалентности обозначается

Характеристики

Обозначение

Элементы часто называют тензорами , хотя этот термин также относится ко многим другим связанным понятиям. Если v принадлежит V и w принадлежит W , то обозначается класс эквивалентности ( v , w ) , который называется тензорным произведением v на w . В физике и технике это использование символа относится конкретно к работе с внешним продуктом ; результат внешнего произведения является одним из стандартных способов представления класса эквивалентности . Элемент, который может быть записан в форме , называется чистым или простым тензором . В общем, элемент пространства тензорного произведения - это не чистый тензор, а скорее конечная линейная комбинация чистых тензоров. Например, если и являются линейно независимыми , а и также линейно независимы, то не может быть записана в виде чистого тензора. Количество простых тензоров, необходимых для выражения элемента тензорного произведения, называется тензорным рангом (не путать с тензорным порядком , который представляет собой количество пространств, произведенных пользователем, в данном случае 2; в обозначениях число индексов), а для линейных операторов или матриц, рассматриваемых как (1, 1) тензоры (элементы пространства ), это согласуется с рангом матрицы .

Измерение

При заданных базисах и для V и W, соответственно, тензоры образуют основу для Следовательно, если V и W конечномерны, размерность тензорного произведения является произведением размерностей исходных пространств; например , изоморфен

Тензорное произведение линейных карт

Тензорное произведение также работает с линейными отображениями между векторными пространствами. В частности, для двух линейных карт и между векторными пространствами тензорное произведение двух линейных карт S и T является линейным отображением

определяется

Таким образом, тензорное произведение становится бифунктором из категории векторных пространств в себя, ковариантным по обоим аргументам.

Если S и T оба инъективны , сюръективны или (в случае, если V , X , W и Y - нормированные векторные пространства или топологические векторные пространства ) непрерывны , то инъективны, сюръективны или непрерывны соответственно.

Выбирая базы всех задействованных векторных пространств, линейные отображения S и T могут быть представлены матрицами . Затем, в зависимости от того, как векторизуется тензор , матрица, описывающая тензорное произведение, является произведением Кронекера двух матриц. Например, если вышеупомянутые V , X , W и Y двумерны и для всех них фиксированы базисы, а S и T задаются матрицами

соответственно, то тензорное произведение этих двух матриц равно

Результирующий ранг не больше 4, и, таким образом, результирующая размерность равна 4. Обратите внимание, что ранг здесь обозначает тензорный ранг, то есть количество необходимых индексов (в то время как ранг матрицы подсчитывает количество степеней свободы в результирующем массиве). Примечание

Диадический продукт является частным случаем тензорного произведения между двумя векторами одного и того же размера.

Универсальная собственность

Эта коммутативная диаграмма демонстрирует универсальное свойство тензорного произведения. Здесь и билинейны, тогда как линейны.

В контексте векторных пространств тензорное произведение и связанное с ним билинейное отображение характеризуются с точностью до изоморфизма универсальным свойством относительно билинейных отображений . (Напомним, что билинейное отображение - это функция, которая по отдельности линейна по каждому из своих аргументов.) Неформально, это наиболее общее билинейное отображение из

Векторное пространство и связанный с билинейной картой обладает свойством , что любая билинейной карта от любых векторных пространственных факторов через однозначно. Говоря « пропускает однозначно», мы имеем в виду, что существует уникальное линейное отображение такое, что

Эта характеризация может упростить доказательства тензорного произведения. Например, тензорное произведение симметрично, что означает канонический изоморфизм :

Чтобы построить, скажем, отображение из в него, достаточно дать билинейное отображение, которое отображается в. Тогда универсальное свойство средних множителей в карту. Аналогично определяется карта в противоположном направлении, и проверяется, что две линейные карты и являются обратными. друг к другу, снова используя их универсальные свойства.

Универсальное свойство чрезвычайно полезно для демонстрации инъективности отображения тензорного произведения. Например, предположим, что мы хотим показать, что он изоморфен. Поскольку все простые тензоры имеют форму и, следовательно, все элементы тензорного произведения имеют форму аддитивности по первой координате, у нас есть естественный кандидат на изоморфизм, заданный отображением к, и это отображение тривиально сюръективно.

Прямая демонстрация инъективности подразумевает каким-то образом показать, что нет нетривиальных отношений между и для которых кажется устрашающим. Тем не менее, мы знаем , что существует билинейное отображение задается умножением координат вместе, и универсальное свойство тензорного произведения , то обставляет отображение векторных пространств , которая отображает на и , следовательно , является обратным по отношению к ранее построенного гомоморфизма, сразу подразумевающее желаемая результат. Обратите внимание, что априори даже не ясно, правильно ли определено это обратное отображение, но универсальное свойство и связанное с ним билинейное отображение вместе подразумевают, что это так.

Аналогичные рассуждения можно использовать, чтобы показать, что тензорное произведение ассоциативно, то есть существуют естественные изоморфизмы

Поэтому круглые скобки принято опускать и писать , поэтому
ijk-й компонент равен
аналогично первому примеру на этой странице.

Категория векторных пространств с тензорным произведением является примером симметричной моноидальной категории .

Определение универсального свойства тензорного произведения действительно в большем количестве категорий, чем просто категория векторных пространств. Вместо использования полилинейных (билинейных) отображений в общем определении тензорного произведения используются мультиморфизмы.

Тензорные силы и плетение

Пусть n - целое неотрицательное число. П - й тензор мощности векторного пространства V является п - кратная тензорное произведение V с самим собой. То есть

Перестановка множества определяет отображение

п - й декартовой степени V следующим образом :

Позволять

естественное вложение полилинейная декартова силы V в тензорной степени V . Тогда по универсальному свойству существует единственный изоморфизм

такой, что

Изоморфизм называется

картой косы, связанной с перестановкой

Произведение тензоров

Для целых неотрицательных чисел r и s тензор типа в векторном пространстве V является элементом

Вот это

двойное векторное пространство (который состоит из всех линейных отображений F из V в основном поле К ).

Существует карта произведения, называемая (тензорным) произведением тензоров

Он определяется путем группирования всех встречающихся «факторов» V вместе: запись для элемента

V и для элемента двойственного пространства,

Комплектование базиса V и соответствующий двойственный базис из естественного образом индуцирует базис (эта основа описана в

статье о продуктах Кронекера ). В терминах этих базисов могут быть вычислены компоненты (тензорного) произведения двух (или более) тензоров . Например, если F и G - два ковариантных тензора порядков m и n соответственно (т.е. и ), то компоненты их тензорного произведения задаются формулами

Таким образом, компоненты тензорного произведения двух тензоров являются обычным произведением компонент каждого тензора. Другой пример: пусть U - тензор типа (1, 1) с компонентами, а

V - тензор типа с компонентами. Тогда

а также

Тензоры, снабженные операцией произведения, образуют алгебру , называемую тензорной алгеброй .

Карта оценки и сжатие тензора

Для тензоров типа (1, 1) существует каноническая оценочная карта

определяется его действием на чистые тензоры:

В более общем смысле, для тензоров типа с

r , s > 0 существует отображение, называемое тензорным сжатием ,

( Должны быть указаны копии и на которых эта карта должна быть применена.)

С другой стороны, если оно

конечномерно , существует каноническая карта в другом направлении (так называемая карта совмещений )

где есть какое-либо основание, а есть его

дуальное основание . Эта карта не зависит от выбора основы.

Взаимодействие оценки и сооценки может использоваться для характеристики конечномерных векторных пространств без обращения к базам.

Присоединенное представительство

Тензорное произведение естественным образом можно рассматривать как модуль

алгебры Ли посредством диагонального действия: для простоты предположим тогда, что для каждого

где является

транспонированной из U , то есть, с точки зрения очевидного спаривания на

Существует канонический изоморфизм, задаваемый формулой

При этом изоморфизме каждый у в может быть первым рассматривать как эндоморфизм , а затем рассматривать как эндоморфизм На самом деле это

присоединенное представление объявления ( у ) из

Связь тензорного произведения с Hom

Для двух конечномерных векторных пространств U , V над одним и тем же полем K обозначим двойственное пространство к U как U * , а K -векторное пространство всех линейных отображений из U в V как Hom ( U , V ) . Есть изоморфизм,

определяется действием чистого тензора на элемент

Его «инверсия» может быть определена с использованием базиса и его дуального базиса, как в разделе «

Карта оценки и сжатие тензора » выше:

Из этого результата следует

который автоматически дает важный факт , что образует основу , где есть основания

U и V .

Кроме того, для трех векторных пространств U , V , W тензорное произведение связано с векторным пространством всех линейных отображений следующим образом:

Это пример сопряженных функторов : тензорное произведение «сопряжено слева» к Hom.

Тензорные произведения модулей над кольцом

Тензорное произведение двух модулей A и B над коммутативным кольцом R определяется точно так же, как тензорное произведение векторных пространств над полем:

где теперь -
свободный R -модуль, порожденный декартовым произведением, а G - R -модуль, порожденный теми же соотношениями, что и выше .

В более общем смысле тензорное произведение может быть определено, даже если кольцо некоммутативно . В этом случае A должен быть правым R -модулем, а B - левым R -модулем, и вместо двух последних соотношений, приведенных выше, соотношение

навязывается. Если R некоммутативен, это уже не R -модуль, а просто абелева группа .

Универсальное свойство также сохраняется, но с небольшими изменениями: карта, определяемая с помощью, является

средней линейной картой (называемой «канонической средней линейной картой».); то есть удовлетворяет:

Первые два свойства делают φ билинейной карты абелевой группы Для любого среднего линейного отображения из уникальной групповой гомоморфизм

F из удовлетворяет и это свойство определяет , в пределах группы изоморфизма. См. Основную статью для подробностей.

Тензорное произведение модулей над некоммутативным кольцом

Пусть A - правый R -модуль, а B - левый R -модуль. Тогда тензорное произведение A и B является абелевой группой, определяемой формулой

где -
свободная абелева группа над, а G - подгруппа в, порожденная соотношениями

Универсальное свойство можно сформулировать следующим образом. Пусть G - абелева группа с билинейным отображением в том смысле, что

Тогда существует уникальная карта такая, что для всех и

Кроме того, мы можем дать структуру модуля при некоторых дополнительных условиях:

  1. Если A - ( S , R ) -бимодуль, то является левым
S -модулем, где
  • Если B - ( R , S ) -бимодуль, то является правым
  • S -модулем, где
  • Если A - ( S , R ) -бимодуль, а B - ( R , T ) -бимодуль, то это (
  • S , T ) -бимодуль, в котором левое и правое действия определены так же, как и предыдущие два. Примеры.
  • Если R - коммутативное кольцо, то A и B являются ( R , R ) -бимодулями, где и По 3) мы можем заключить, что это (
  • R , R ) -бимодуль.

    Вычисление тензорного произведения

    Для векторных пространств тензорное произведение вычисляется быстро, так как базисы

    V из W сразу определяют базис, как упоминалось выше. Для модулей над общим (коммутативным) кольцом не каждый модуль свободен. Например, Z / n Z не является свободной абелевой группой ( Z -модулем). Тензорное произведение с Z / n Z имеет вид

    В более общем смысле, учитывая представление некоторого R -модуля M , то есть ряда генераторов вместе с соотношениями

    тензорное произведение можно вычислить как следующее коядро :

    Вот и карта определяется отправкой какой-то в

    j- й копии в (in ). В разговорной речи это можно перефразировать, сказав, что представление M дает начало представлению. На это ссылаются, говоря, что тензорное произведение является точным правым функтором . Вообще говоря, он не является точным слева, т. Е. При инъективном отображении R -модулей тензорное произведение

    обычно не является инъекционным. Например, тензорное отображение (инъективного) отображения, заданного умножением на n , n  : ZZ на Z / n Z, дает нулевое отображение 0: Z / n ZZ / n Z , которое не является инъективным. Высшие функторы Tor измеряют дефект тензорного произведения, не оставаясь точным. Все высшие функторы Tor собраны в производное тензорное произведение .

    Тензорное произведение алгебр

    Пусть R - коммутативное кольцо. Тензорное произведение R -модулей применимо, в частности, если A и B являются R -алгебрами . В этом случае тензорное произведение само является

    R -алгеброй, если положить
    Например,

    Конкретный пример, когда и

    B являются поля , содержащих общий подпол R . Тензорное произведение полей тесно связана с теорией Галуа : если, скажем, = Р [ х ] / е ( х ) , где е некоторый неприводимый многочлен с коэффициентами в R , тензор продукт может быть вычислена как
    где сейчас F интерпретируется как же полинома, но с его коэффициентами , рассматриваемые как элементы B . В большем поле B полином может стать приводимым, что приводит к теории Галуа. Например, если
    = B является расширение Галуа из R , то,
    изоморфна (как A -алгебра) алгебре

    Собственные конфигурации тензоров

    Квадратные матрицы с элементами из

    поля представляют собой линейные карты из векторных пространств , скажем , и , таким образом , линейные карты из проективных пространств над If является неособо , то будет хорошо определены везде, и собственные векторы из соответствуют неподвижным точкам The eigenconfiguration из состоят из точек при условии , носит общий характер и является алгебраически замкнутым . Неподвижные точки нелинейных отображений являются собственными векторами тензоров. Пусть будет -мерном тензором формата с элементами , лежащих в алгебраически замкнутом поле с характерным нулем. Такой тензор определяет полиномиальные отображения и с координатами

    Таким образом , каждый из координат является

    однородным многочленом степени в собственных векторах являются решениями ограничения

    и eigenconfiguration дается разнообразием из

    миноров этой матрицы.

    Другие примеры тензорных произведений

    Тензорное произведение гильбертовых пространств

    Гильбертовы пространства обобщают конечномерные векторные пространства до счетно-бесконечных размерностей. Тензорное произведение все еще определено; это тензорное произведение гильбертовых пространств .

    Топологическое тензорное произведение

    Когда базис векторного пространства больше не является счетным, тогда подходящей аксиоматической формализацией векторного пространства является топологическое векторное пространство . Тензорное произведение все еще определено, это топологическое тензорное произведение .

    Тензорное произведение градуированных векторных пространств

    Некоторые векторные пространства можно разложить на прямые суммы подпространств. В таких случаях тензорное произведение двух пространств может быть разложено на суммы произведений подпространств (аналогично тому, как умножение распределяется по сложению).

    Тензорное произведение представлений

    Векторные пространства, наделенные дополнительной мультипликативной структурой, называются алгебрами . Тензорное произведение таких алгебр описывается правилом Литтлвуда – Ричардсона .

    Тензорное произведение квадратичных форм

    Тензорное произведение полилинейных форм

    Для двух полилинейных форм и в векторном пространстве над полем их тензорное произведение есть полилинейная форма

    Это частный случай произведения тензоров, если они рассматриваются как полилинейные карты (см. Также тензоры как полилинейные карты ). Таким образом, компоненты тензорного произведения полилинейных форм могут быть вычислены с помощью произведения Кронекера .

    Тензорное произведение связок модулей

    Тензорное произведение линейных пучков

    Тензорное произведение полей

    Тензорное произведение графов

    Следует отметить, что, хотя это и называется «тензорным произведением», это не тензорное произведение графов в указанном выше смысле; фактически это теоретико-категориальный продукт в категории графов и гомоморфизмов графов . Однако на самом деле тензорное произведение Кронекера из матрицы смежности графов. Сравните также раздел Тензорное произведение линейных карт выше.

    Моноидальные категории

    Наиболее общим параметром тензорного произведения является моноидальная категория . Он отражает алгебраическую сущность тензора без каких-либо конкретных ссылок на то, что подвергается тензору. Таким образом, все тензорные произведения могут быть выражены как применение моноидальной категории к некоторой конкретной настройке, действующей на некоторые конкретные объекты.

    Фактор-алгебры

    Ряд важных подпространств тензорной алгебры можно построить дроби : они включают в себя внешнюю алгебру , то симметричную алгебру , то алгебру Клиффорд , то алгебру Вейля , и универсальные обертывающую в целом.

    Внешняя алгебра строится из внешнего продукта . Для векторного пространства V внешний продукт определяется как

    Обратите внимание, что когда основное поле V не имеет характеристики 2, это определение эквивалентно
    Изображение во внешнем продукте обычно обозначается и удовлетворяет, по построению, Подобные конструкции возможны для (
    п факторов), что приводит к в п - й внешней степени из V . Последнее понятие лежит в основе дифференциальных n -форм .

    Симметрическая алгебра строится аналогичным образом из симметрического произведения

    В более общем смысле
    То есть в симметричной алгебре два соседних вектора (а значит, и все) можно поменять местами. Полученные объекты называются симметричными тензорами .

    Тензорный продукт в программировании

    Языки программирования массивов

    Этот шаблон может быть встроен в

    языки программирования массивов . Например, в APL тензорное произведение выражается как ○.×(например, A ○.× Bили A ○.× B ○.× C). В J тензорное произведение представляет собой диадическую форму */(например, a */ bили a */ b */ c).

    Обратите внимание, что обработка J также позволяет представлять некоторые тензорные поля, поскольку aи bмогут быть функциями вместо констант. Это произведение двух функций является производной функции, а если aи bявляются дифференцируема , то a */ bдифференцируема.

    Однако такие нотации не всегда присутствуют в языках массивов. Другие языки массивов могут требовать явной обработки индексов (например, MATLAB ) и / или могут не поддерживать функции высшего порядка, такие как производная Якоби (например, Fortran / APL).

    Смотрите также

    Примечания

    использованная литература