Сумма клина - Wedge sum

${\ Displaystyle \, \ sim \,}$

${\ displaystyle \ left \ {\ left (p_ {i}, p_ {j} \ right): i, j \ in I \ right \}.}$

${\ displaystyle \ left (p_ {i} \ right) _ {i \ in I},}$

${\ displaystyle \ left (X_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$

Сумма клина снова является точечным пространством, а бинарная операция ассоциативна и коммутативна (с точностью до гомеоморфизма).

Иногда сумму клина называют продуктом клина , но это не то же самое, что и внешний продукт , который также часто называют продуктом клина.

Примеры

Клин сумма двух окружностей гомеоморфно на восьмерка пространстве . Сумму клина кругов часто называют

${\ displaystyle n}$

Обычная конструкция в гомотопии состоит в том, чтобы идентифицировать все точки вдоль экватора -сферы . В результате получатся две копии сферы, соединенные в точке, которая была экватором: ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle S ^ {п}}$

$${\ displaystyle S ^ {n} / {\ sim} = S ^ {n} \ vee S ^ {n}.}$$

Позвольте быть картой, то есть отождествления экватора до единственной точки. Затем добавление двух элементов в n - мерном

${\ displaystyle \ Psi}$

${\ Displaystyle \ Psi: S ^ {n} \ к S ^ {n} \ vee S ^ {n},}$

${\ displaystyle f, g \ in \ pi _ {n} (X, x_ {0})}$

${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ pi _ {n} (X, x_ {0})}$

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle x_ {0} \ in X}$

${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle \ Psi}$

$${\ displaystyle f + g = (f \ vee g) \ circ \ Psi.}$$

Здесь представлены карты, которые переводят выделенную точку в точку. Обратите внимание, что в приведенном выше примере используется сумма клина двух функций, что возможно именно потому, что они совпадают в точке, общей для суммы клина лежащих в основе пространств. ${\ displaystyle f, g: S ^ {n} \ to X}$${\ displaystyle s_ {0} \ in S ^ {n}}$${\ displaystyle x_ {0} \ in X.}$${\ displaystyle s_ {0},}$

Категориальное описание

Сумму клина можно понимать как копроизведение в категории отмеченных пространств . В качестве альтернативы, сумму клина можно рассматривать как выталкивание диаграммы в

${\ Displaystyle X \ leftarrow \ {\ bullet \} \ к Y}$

${\ displaystyle \ {\ bullet \}}$

Характеристики

Теорема Ван Кампена дает определенные условия (которые обычно выполняются для пространств с хорошим поведением , таких как комплексы CW ), при которых фундаментальная группа суммы клина двух пространств и является

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle Y.}$

Смотрите также

• Разбить продукт
• Гавайская серьга , топологическое пространство, напоминающее, но не то же самое, что сумма клина из счетного числа кругов

Рекомендации

• Ротман, Джозеф. Введение в алгебраическую топологию , Springer, 2004, с. 153. ISBN  0-387-96678-1.