Величина (математика) - Magnitude (mathematics)

В математике , то величина или размер из математического объекта является свойством , которое определяет , является ли больше или меньше , чем у других объектов того же рода объект. Более формально величина объекта - это отображаемый результат упорядочения (или ранжирования) класса объектов, к которому он принадлежит.

В физике величину можно определить как количество или расстояние.

История

Греки различали несколько типов величин, в том числе:

• Положительные дроби
• Сегменты линии (упорядочены по длине )
• Фигуры-самолеты (по площади )
• Твердые вещества (по объему )
• Углы (упорядоченные по угловой величине)

Они доказали, что первые две не могут быть одинаковыми или даже изоморфными по величине системами. Они не считали отрицательные величины значимыми, и величина по-прежнему в основном используется в контекстах, в которых ноль является либо наименьшим размером, либо меньшим, чем все возможные размеры.

Числа

Величина любого числа обычно называется его абсолютным значением или модулем и обозначается . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle | x |}$

Действительные числа

Абсолютное значение действительного числа r определяется следующим образом:

${\ displaystyle \ left | r \ right | = r, {\ text {if}} r {\ text {≥}} 0}$

${\ displaystyle \ left | r \ right | = -r, {\ text {if}} r <0.}$

Абсолютное значение также можно рассматривать как расстояние числа от нуля на прямой числовой линии . Например, абсолютное значение 70 и -70 равно 70.

Сложные числа

Комплексное число г может рассматриваться как положение точки Р в 2-мерном пространстве , называется комплексной плоскостью . Абсолютное значение (или модуль) z можно рассматривать как расстояние P от начала этого пространства. Формула для абсолютного значения z = a + bi аналогична формуле для евклидовой нормы вектора в 2-мерном евклидовом пространстве :

${\ displaystyle \ left | z \ right | = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$

где действительные числа а и б являются реальной частью и мнимой частью из г , соответственно. Например, модуль −3 + 4 i равен . С другой стороны , величина комплексного числа г может быть определена как квадратный корень из произведения самого по себе и его комплексно - сопряженной , где для любого комплексного числа , его комплексный конъюгат . ${\ Displaystyle {\ sqrt {(-3) ^ {2} + 4 ^ {2}}} = 5}$${\ displaystyle {\ bar {z}}}$${\ Displaystyle г = а + би}$${\ displaystyle {\ bar {z}} = а-би}$

${\ displaystyle \ left | z \ right | = {\ sqrt {z {\ bar {z}}}} = {\ sqrt {(a + bi) (a-bi)}} = {\ sqrt {a ^ { 2} -abi + abi-b ^ {2} i ^ {2}}} = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$

(где ). ${\ displaystyle i ^ {2} = - 1}$

Векторные пространства

Евклидово векторное пространство

Евклидово вектор представляет положение точки Р в евклидовом пространстве . Геометрически это можно описать как стрелку, идущую от начала пространства (векторный хвост) к этой точке (кончик вектора). Математически, вектор х в п - мерном евклидовом пространстве может быть определен как упорядоченный список п действительных чисел (в декартовых координатах из Р ): х = [ х ₁ , х ₂ , ..., х _п ]. Его величина или длина , обозначаемая , чаще всего определяется как его евклидова норма (или евклидова длина): ${\ Displaystyle \ | х \ |}$

${\ displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}}}.}$

Например, в трехмерном пространстве величина [3, 4, 12] равна 13, потому что это эквивалентно квадратному корню из скалярного произведения вектора на себя: ${\ displaystyle {\ sqrt {3 ^ {2} + 4 ^ {2} + 12 ^ {2}}} = {\ sqrt {169}} = 13.}$

${\ displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | = {\ sqrt {\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x}}}.}$

Евклидова норма вектора - это просто частный случай евклидова расстояния : расстояние между его хвостом и его кончиком. Два аналогичных обозначения используются для евклидовой нормы вектора x :

1. ${\ Displaystyle \ влево \ | \ mathbf {х} \ вправо \ |,}$
2. ${\ displaystyle \ left | \ mathbf {x} \ right |.}$

Недостаток второго обозначений является то , что он также может быть использован для обозначения абсолютного значения из скаляров и детерминантов из матриц , который вводит элемент неопределенности.

Нормированные векторные пространства

По определению, все евклидовы векторы имеют величину (см. Выше). Однако вектор в абстрактном векторном пространстве не имеет величины.

Векторное пространство , снабженное нормой , такой как евклидово пространство, называется нормированное векторное пространство . Нормой вектора v в нормированном векторном пространстве можно считать величину v .

Псевдоевклидово пространство

В псевдоевклидовом пространстве величина вектора - это значение квадратичной формы для этого вектора.

Логарифмические величины

При сравнении звездных величин часто используют логарифмическую шкалу. Примеры включают в себя громкость в виде звука (измеряется в децибелах ), то яркость в виде звезды , а шкалу Рихтера интенсивности землетрясений. Логарифмические величины могут быть отрицательными и не могут быть осмысленно добавлены или вычтены (поскольку отношение нелинейное).

Порядок величины

Порядки величины обозначают разницу в числовых величинах, обычно измерениях, в 10 раз, то есть разницу в одну цифру в расположении десятичной точки.

Смотрите также

• Чувство числа
• Обозначение вектора
• Установить размер

использованная литература