Кошульский комплекс - Koszul complex

В математике , то комплекс кошу впервые был введен , чтобы определить теорию когомологий для алгебр Ли , на Жан-Луи Кошуля (см алгебры когомологий ). Это оказалось полезной общей конструкцией в гомологической алгебре . В качестве инструмента его гомологии можно использовать, чтобы определить, когда набор элементов (локального) кольца является M-регулярной последовательностью , и, следовательно, его можно использовать для доказательства основных фактов о глубине модуля или идеала, который является алгебраическое понятие размерности, которое связано с геометрическим понятием размерности Крулля, но отличается от него . Более того, в определенных обстоятельствах комплекс представляет собой комплекс сизигий , то есть он сообщает вам отношения между генераторами модуля, отношения между этими отношениями и так далее.

Определение

Пусть R коммутативное кольцо и Е свободный модуль конечного ранга г над R . Мы пишем для я -й внешней степени из Е . Затем дал R -линейную карты , тем Кошуля комплекс , связанную с S является цепным комплекс из R -модулей: ${\ displaystyle \ bigwedge ^ {i} E}$ ${\ displaystyle s \ двоеточие E \ to R}$

${\ displaystyle K _ {\ bullet} (s) \ двоеточие 0 \ to \ bigwedge ^ {r} E {\ overset {d_ {r}} {\ to}} \ bigwedge ^ {r-1} E \ to \ cdots \ to \ bigwedge ^ {1} E {\ overset {d_ {1}} {\ to}} R \ to 0}$,

где дифференциал определяется выражением: для любого из E , ${\ displaystyle d_ {k}}$${\ displaystyle e_ {i}}$

${\ displaystyle d_ {k} (e_ {1} \ wedge \ dots \ wedge e_ {k}) = \ sum _ {i = 1} ^ {k} (- 1) ^ {i + 1} s (e_ { i}) e_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge {\ widehat {e_ {i}}} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {k}}$.

Верхний индекс означает, что термин опущен. Чтобы показать это , используйте самодуальность комплекса Кошуля. ${\ displaystyle {\ widehat {\ cdot}}}$${\ displaystyle d_ {k} \ circ d_ {k + 1} = 0}$

Обратите внимание, что и . Также обратите внимание на то, что ; этот изоморфизм не является каноническим (например, выбор формы объема в дифференциальной геометрии является примером такого изоморфизма.) ${\ displaystyle \ bigwedge ^ {1} E = E}$${\ displaystyle d_ {1} = s}$${\ displaystyle \ bigwedge ^ {r} E \ simeq R}$

Если (т. Е. Выбран упорядоченный базис), то предоставление R- линейного отображения равносильно заданию конечной последовательности элементов в R (а именно, вектора-строки), а затем задается${\ displaystyle E = R ^ {r}}$${\ displaystyle s \ двоеточие R ^ {r} \ to R}$${\ displaystyle s_ {1}, \ dots, s_ {r}}$${\ displaystyle K _ {\ bullet} (s_ {1}, \ dots, s_ {r}) = K _ {\ bullet} (s).}$

Если M - конечно порожденный R -модуль, то устанавливается:

${\ displaystyle K _ {\ bullet} (s, M) = K _ {\ bullet} (s) \ otimes _ {R} M}$,

который снова является цепным комплексом с индуцированным дифференциалом . ${\ Displaystyle (d \ otimes 1_ {M}) (v \ otimes m) = d (v) \ otimes m}$

Я -й гомология комплекса Козюли

${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {i} (K _ {\ bullet} (s, M)) = \ operatorname {ker} (d_ {i} \ otimes 1_ {M}) / \ operatorname {im} (d_ {i + 1} \ otimes 1_ {M})}$

называется i -й гомологиями Кошуля . Например, если и является вектор - строки с элементами R , то есть ${\ displaystyle E = R ^ {r}}$${\ displaystyle s = [s_ {1} \ cdots s_ {r}]}$${\ displaystyle d_ {1} \ otimes 1_ {M}}$

${\ displaystyle s \ двоеточие M ^ {r} \ to M, \, (m_ {1}, \ dots, m_ {r}) \ mapsto s_ {1} m_ {1} + \ dots + s_ {r} m_ {р}}$

так что

${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {0} (K _ {\ bullet} (s, M)) = M / (s_ {1}, \ dots, s_ {r}) M = R / (s_ {1} , \ dots, s_ {r}) \ otimes _ {R} M.}$

Сходным образом,

${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {r} (K _ {\ bullet} (s, M)) = \ {m \ in M: s_ {1} m = s_ {2} m = \ dots = s_ {r } m = 0 \} = \ operatorname {Hom} _ {R} (R / (s_ {1}, \ dots, s_ {r}), M).}$

Кошульские комплексы в малых габаритах

Учитывая коммутативное кольцо R , элемент х в R , и R - модуль M , умножение на х дает гомоморфизм из R - модулей,

${\ displaystyle M \ to M.}$

Рассматривая это как цепной комплекс (помещая их в степени 1 и 0 и добавляя нули в другом месте), он обозначается . По построению гомологии ${\ Displaystyle К (х, М)}$

${\ Displaystyle Н_ {0} (К (х, М)) = М / хМ, Н_ {1} (К (х, М)) = \ OperatorName {Ann} _ {M} (х) = \ {м \ в M, xm = 0 \},}$

аннуляторный из й в М . Таким образом, комплекс Кошуля и его гомологии кодируют фундаментальные свойства умножения на x .

Этот цепной комплекс называется Кошуля комплекс из R относительно х , как и в #Definition . Комплекс Кошуля для пары равен ${\ Displaystyle К _ {\ пуля} (х)}$${\ Displaystyle (х, у) \ в R ^ {2}}$

${\ displaystyle 0 \ to R {\ xrightarrow {\ d_ {2} \}} R ^ {2} {\ xrightarrow {\ d_ {1} \}} R \ to 0,}$

с матрицами и заданными ${\ displaystyle d_ {1}}$${\ displaystyle d_ {2}}$

${\ displaystyle d_ {1} = {\ begin {bmatrix} x & y \\\ end {bmatrix}}}$ а также

${\ displaystyle d_ {2} = {\ begin {bmatrix} -y \\ x \\\ end {bmatrix}}.}$

Обратите внимание, что применяется слева. Тогда циклы степени 1 - это в точности линейные отношения на элементах x и y , а границы - это тривиальные отношения. Таким образом, первые гомологии Кошуля H ₁ ( K _• ( x , y )) точно измеряют отношения по модулю тривиальных отношений. С большим количеством элементов многомерные гомологии Кошуля измеряют более высокоуровневые версии этого. ${\ displaystyle d_ {i}}$

В случае, когда элементы образуют регулярную последовательность , все модули высших гомологий комплекса Кошуля равны нулю. ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}}$

Пример

Если k - поле и неопределенны, а R - кольцо многочленов , комплекс Кошуля на 's образует конкретное свободное R -разрешение k . ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ точки, X_ {d}}$${\ Displaystyle к [X_ {1}, X_ {2}, \ точки, X_ {d}]}$${\ Displaystyle К _ {\ пуля} (X_ {i})}$${\ displaystyle X_ {i}}$

Свойства гомологии Кошуля

Пусть E конечный ранг свободный модуль над R , пусть быть R -линейной картой, и пусть т элемент из R . Позвольте быть комплекс Кошуля . ${\ displaystyle s \ двоеточие E \ to R}$${\ Displaystyle К (s, t)}$${\ Displaystyle (s, t) \ двоеточие E \ oplus R \ to R}$

При использовании , существует точная последовательность комплексов: ${\ displaystyle \ wedge ^ {k} (E \ oplus R) = \ oplus _ {i = 0} ^ {k} \ bigwedge ^ {ki} E \ otimes \ bigwedge ^ {i} R = \ bigwedge ^ {k } E \ oplus \ bigwedge ^ {k-1} E}$

${\ Displaystyle 0 \ к К (s) \ к К (s, t) \ к К (s) [- 1] \ к 0}$

где [-1] означает сдвиг в градусах на -1 и . Одно примечания: для in , ${\ Displaystyle d_ {K (s) [- 1]} = - d_ {K (s)}}$${\ Displaystyle (х, у)}$${\ Displaystyle \ клин ^ {к} E \ oplus \ bigwedge ^ {k-1} E}$

${\ Displaystyle d_ {K (s, t)} ((x, y)) = (d_ {K (s)} x + ty, d_ {K (s) [- 1]} y).}$

На языке гомологической алгебры , выше означает , что это отображение конус из . ${\ Displaystyle К (s, t)}$${\ Displaystyle т \ двоеточие K (s) \ to K (s)}$

Взяв длинную точную последовательность гомологий, получим:

${\ displaystyle \ cdots \ to \ operatorname {H} _ {i} (K (s)) {\ overset {t} {\ to}} \ operatorname {H} _ {i} (K (s)) \ to \ operatorname {H} _ {i} (K (s, t)) \ to \ operatorname {H} _ {i-1} (K (s)) {\ overset {t} {\ to}} \ cdots. }$

Здесь соединительный гомоморфизм

${\ displaystyle \ delta: \ operatorname {H} _ {i + 1} (K (s) [- 1]) = \ operatorname {H} _ {i} (K (s)) \ to \ operatorname {H} _ {i} (тыс. (s))}$

вычисляется следующим образом. По определению, где y - это элемент, который отображается в x . Поскольку это прямая сумма, мы можем просто взять y равным (0, x ). Тогда ранняя формула для дает . ${\ Displaystyle \ дельта ([х]) = [d_ {K (s, t)} (y)]}$${\ Displaystyle К (s, t)}$${\ Displaystyle К (s, t)}$${\ displaystyle d_ {K (s, t)}}$${\ Displaystyle \ дельта ([х]) = т [х]}$

Приведенная выше точная последовательность может быть использована для доказательства следующего.

Доказательство индукцией по г . Если , то . Затем предположим, что утверждение верно для r - 1. Затем, используя указанную выше точную последовательность, можно увидеть для любого . Обращение в нуль также справедливо для , так как является ненулевым делителем на${\ displaystyle r = 1}$${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {1} (K (x_ {1}; M)) = \ operatorname {Ann} _ {M} (x_ {1}) = 0}$${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {i} (K (x_ {1}, \ dots, x_ {r}; M)) = 0}$${\ displaystyle i \ geq 2}$${\ displaystyle i = 1}$${\ displaystyle x_ {r}}$${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {0} (K (x_ {1}, \ dots, x_ {r-1}; M)) = M / (x_ {1}, \ dots, x_ {r-1) }) M.}$ ${\ Displaystyle \ квадрат}$

Доказательство: по теореме, примененной к S и S как к S -модулю, мы видим, что K ( y ₁ , ..., y _n ) является S -свободной резольвентой S / ( y ₁ , ..., y _n ) . Таким образом, по определению i -я гомология является правой частью сказанного выше. С другой стороны, по определению S - модуль структура на М .${\ displaystyle K (y_ {1}, \ dots, y_ {n}) \ otimes _ {S} M}$${\ displaystyle K (y_ {1}, \ dots, y_ {n}) \ otimes _ {S} M = K (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ otimes _ {R} M}$${\ Displaystyle \ квадрат}$

Доказательство. Пусть S = R [ y ₁ , ..., y _n ]. Превратите M в S -модуль через гомоморфизм колец S → R , y _i → x _i и R в S -модуль через y _i → 0 . По предыдущему следствию, а затем ${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {i} (K (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ otimes M) = \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {S} (R, M )}$

${\ displaystyle \ operatorname {Ann} _ {S} (\ operatorname {Tor} _ {i} ^ {S} (R, M)) \ supset \ operatorname {Ann} _ {S} (R) + \ operatorname { Ann} _ {S} (M) \ supset (y_ {1}, \ dots, y_ {n}) + \ operatorname {Ann} _ {R} (M) + (y_ {1} -x_ {1}, ..., y_ {n} -x_ {n}).}$ ${\ Displaystyle \ квадрат}$

Для локального кольца верно обратное утверждение теоремы. В более общем смысле,

Доказательство: нам нужно только показать 2. из 1., остальное ясно. Рассуждаем индукцией по r . Случай r = 1 уже известен. Пусть x ' обозначает x ₁ , ..., x _{r -1} . Рассмотреть возможность

${\ displaystyle \ cdots \ to \ operatorname {H} _ {1} (K (x '; M)) {\ overset {x_ {r}} {\ to}} \ operatorname {H} _ {1} (K (x '; M)) \ to \ operatorname {H} _ {1} (K (x_ {1}, \ dots, x_ {r}; M)) = 0 \ to M / x'M {\ overset { x_ {r}} {\ to}} \ cdots.}$

Поскольку первый сюръективен, с . По лемме Накаямы , а значит, x ' регулярная последовательность по предположению индукции. Поскольку вторая инъективна (т. Е. Является ненулевым делителем), она является правильной последовательностью. (Примечание: по лемме Накаямы требование автоматическое.)${\ displaystyle x_ {r}}$${\ Displaystyle N = x_ {r} N}$${\ Displaystyle N = \ OperatorName {H} _ {1} (K (x '; M))}$${\ displaystyle N = 0}$${\ displaystyle x_ {r}}$${\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {r}}$${\ Displaystyle M / (x_ {1}, \ dots, x_ {r}) M \ neq 0}$${\ Displaystyle \ квадрат}$

Тензорные продукты комплексов Кошуля

В общем, если C , D - цепные комплексы, то их тензорное произведение - это цепной комплекс, задаваемый формулой ${\ displaystyle C \ otimes D}$

${\ displaystyle (C \ otimes D) _ {n} = \ sum _ {i + j = n} C_ {i} \ otimes D_ {j}}$

с дифференциалом: для любых однородных элементов x , y ,

${\ Displaystyle d_ {C \ otimes D} (x \ otimes y) = d_ {C} (x) \ otimes y + (- 1) ^ {| x |} x \ otimes d_ {D} (y)}$

где | х | степень x .

Эта конструкция относится, в частности, к комплексам Кошуля. Пусть E , F - свободные модули конечного ранга и пусть и - два R -линейных отображения. Позвольте быть комплекс Кошуля линейного отображения . Тогда как комплексы ${\ displaystyle s \ двоеточие E \ to R}$${\ Displaystyle т \ двоеточие от F \ до R}$${\ Displaystyle К (s, t)}$${\ Displaystyle (s, t) \ двоеточие E \ oplus F \ to R}$

${\ Displaystyle К (s, t) \ simeq K (s) \ otimes K (t).}$

Чтобы убедиться в этом, удобнее работать с внешней алгеброй (в отличие от внешних степеней). Определите градуированный вывод степени${\ displaystyle -1}$

${\ displaystyle d_ {s}: \ клин E \ к \ клин E}$

требуя: для любых однородных элементов x , y в Λ E ,

• ${\ Displaystyle d_ {s} (х) = s (х)}$ когда ${\ Displaystyle | х | = 1}$
• ${\ displaystyle d_ {s} (x \ wedge y) = d_ {s} (x) \ wedge y + (- 1) ^ {| x |} x \ wedge d_ {s} (y)}$

Легко видеть, что (индукция по степени) и что действие на однородные элементы согласуется с дифференциалами в # Определение . ${\ displaystyle d_ {s} \ circ d_ {s} = 0}$${\ displaystyle d_ {s}}$

Теперь у нас есть как градуированные R -модули. Кроме того, по определению тензорного произведения, упомянутому в начале, ${\ Displaystyle \ клин (E \ oplus F) = \ клин E \ otimes \ клин F}$

${\ Displaystyle d_ {K (s) \ otimes K (t)} (e \ otimes 1 + 1 \ otimes f) = d_ {K (s)} (e) \ otimes 1 + 1 \ otimes d_ {K (t )} (f) = s (e) + t (f) = d_ {K (s, t)} (e + f).}$

Поскольку и являются выводами одного типа, отсюда следует${\ displaystyle d_ {K (s) \ otimes K (t)}}$${\ displaystyle d_ {K (s, t)}}$${\ Displaystyle d_ {K (s) \ otimes K (t)} = d_ {K (s, t)}.}$

Отметим, в частности,

${\ displaystyle K (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {r}) \ simeq K (x_ {1}) \ otimes K (x_ {2}) \ otimes \ cdots \ otimes K (x_ {р})}$.

Следующее предложение показывает, как комплекс элементов Кошуля кодирует некоторую информацию о последовательностях в идеале, порожденном ими.

Доказательство: (легко, но пока опущено)

В качестве приложения мы можем показать глубинную чувствительность гомологии Кошуля. Учитывая , конечно порожденный модуль М над кольцом R , с помощью (одного) определению, глубина от М по отношению к идеалу я это грань длин всех регулярных последовательностей элементов I на М . Обозначается он . Напомним, что M -регулярная последовательность x ₁ , ..., x _n в идеале I максимальна, если I не содержит ненулевых делителей на . ${\ displaystyle \ operatorname {depth} (I, M)}$${\ Displaystyle M / (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) M}$

Гомология Кошуля дает очень полезную характеристику глубины.

Доказательство. Чтобы упростить обозначения, мы пишем H (-) вместо H ( K (-)). Пусть y ₁ , ..., y _s максимальная M -регулярная последовательность в идеале I ; обозначим эту последовательность через . Сначала мы покажем индукцией по утверждению, что есть если и равно нулю, если . Основной случай ясен из # Свойств гомологии Кошуля . Из длинной точной последовательности гомологий Кошуля и индуктивного предположения, ${\ displaystyle {\ underline {y}}}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {i} ({\ underline {y}}, x_ {1}, \ dots, x_ {l}; M)}$${\ displaystyle \ operatorname {Ann} _ {M / {\ underline {y}} M} (x_ {1}, \ dots, x_ {l})}$${\ displaystyle i = l}$${\ displaystyle i> l}$${\ displaystyle l = 0}$

${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {l} \ left ({\ underline {y}}, x_ {1}, \ dots, x_ {l}; M \ right) = \ operatorname {ker} \ left (x_ {l}: \ operatorname {Ann} _ {M / {\ underline {y}} M} (x_ {1}, \ dots, x_ {l-1}) \ to \ operatorname {Ann} _ {M / { \ underline {y}} M} (x_ {1}, \ dots, x_ {l-1}) \ right)}$,

что Также, по тому же аргументу, обращение в нуль справедливо для . Это завершает доказательство утверждения. ${\ displaystyle \ operatorname {Ann} _ {M / {\ underline {y}} M} (x_ {1}, \ dots, x_ {l}).}$${\ displaystyle i> l}$

Теперь из утверждения и предыдущего предложения следует, что для всех i > n - s . Чтобы сделать вывод, что n - s = m , осталось показать, что оно отлично от нуля, если i = n - s . Поскольку является максимальной M -регулярной последовательностью в I , идеал I содержится в множестве всех нулевых делителей на конечном объединении ассоциированных простых чисел модуля. Таким образом, по простому избеганию существует ненулевое v в таком, что , то есть ${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {i} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}; M) = 0}$${\ displaystyle {\ underline {y}}}$${\ displaystyle M / {\ underline {y}} M}$${\ displaystyle M / {\ underline {y}} M}$${\ Displaystyle I \ подмножество {\ mathfrak {p}} = \ operatorname {Ann} _ {R} (v)}$

${\ displaystyle 0 \ neq v \ in \ operatorname {Ann} _ {M / {\ underline {y}} M} (I) \ simeq \ operatorname {H} _ {n} \ left (x_ {1}, \ точки, x_ {n}, {\ underline {y}}; M \ right) = \ operatorname {H} _ {ns} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}; M) \ otimes \ wedge ^ {s} R ^ {s}.}$ ${\ Displaystyle \ квадрат}$

Самодуальность

Существует подход к комплексу Кошуля, который использует комплекс коцепей вместо цепного комплекса. Как выясняется, это приводит, по сути, к одному и тому же комплексу (факт, известный как самодуальность комплекса Кошуля).

Пусть Е быть свободным модулем конечного ранга г над кольцом R . Тогда каждый элемент e из E дает внешнее левое умножение на e :

${\ displaystyle l_ {e}: \ wedge ^ {k} E \ to \ wedge ^ {k + 1} E, \, x \ mapsto e \ wedge x.}$

Так как у нас есть :; то есть, ${\ Displaystyle е \ клин е = 0}$${\ displaystyle l_ {e} \ circ l_ {e} = 0}$

${\ displaystyle 0 \ to R {\ overset {1 \ mapsto e} {\ to}} \ wedge ^ {1} E {\ overset {l_ {e}} {\ to}} \ wedge ^ {2} E \ в \ cdots \ to \ wedge ^ {r} E \ to 0}$

является коцепным комплексом свободных модулей. Этот комплекс, также называемый комплексом Кошуля, используется в ( Eisenbud 1995 ) . Взяв дуал, возникает комплекс: ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFEisenbud1995 ( справка )

${\ displaystyle 0 \ to (\ клин ^ {r} E) ^ {*} \ to (\ wedge ^ {r-1} E) ^ {*} \ to \ cdots \ to (\ wedge ^ {2} E ) ^ {*} \ to (\ wedge ^ {1} E) ^ {*} \ to R \ to 0}$.

Используя изоморфизм , комплекс совпадает с комплексом Кошуля в определении . ${\ Displaystyle \ клин ^ {к} E \ simeq (\ клин ^ {rk} E) ^ {*} \ simeq \ wedge ^ {rk} (E ^ {*})}$${\ Displaystyle (\ клин E, l_ {e})}$

Использовать

Комплекс Кошуля необходим для определения совместного спектра набора коммутирующих ограниченных линейных операторов в банаховом пространстве .

Смотрите также

• Комплекс Кошуля – Тейт
• Сизигий (математика)

Примечания

использованная литература

• Дэвид Эйзенбуд , Коммутативная алгебра. С точки зрения алгебраической геометрии , Graduate Texts in Mathematics , vol 150, Springer-Verlag , New York, 1995. ISBN  0-387-94268-8
• Уильям Фултон (1998), теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, MR  1644323
• Мацумура, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец , Кембриджские исследования в области высшей математики (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6
• Серр, Жан-Пьер (1975), язык Альжебра, Multiplicités , Cours au Collège de France, 1957–1958 гг., Rédigé par Pierre Gabriel. Troisième édition, 1975. Конспект лекций по математике (на французском языке), 11 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag

внешние ссылки

• Мелвин Хохстер , Math 711: Лекция 3 октября 2007 г. (особенно последняя часть).